{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nRóżnica tego ciągu jest równa (-4) oraz 𝑎10 = -24.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSzósty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. (-12)\nB. (-8)\nC. (-4)\nD. 0\n\nMMAP-P0_100\nCiąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Różnica tego ciągu jest równa (-4) oraz a_10=-24. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Szósty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. (-12) B. (-8) C. (-4) D. 0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(1\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie wartości z tabeli\n\nZnamy wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów \\(30°\\) i \\(60°\\) z tabeli na karcie wzorów:\n\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\quad \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nPodstawiamy bezpośrednio:\n\n\\[\\sin 30° \\cdot \\cos 60° + \\sin 60° \\cdot \\cos 30° = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[= \\frac{1}{4} + \\frac{3}{4} = \\frac{4}{4} = \\mathbf{1}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozpoznanie wzoru na sinus sumy\n\nPatrząc na wyrażenie \\(\\sin 30° \\cdot \\cos 60° + \\sin 60° \\cdot \\cos 30°\\), zauważamy, że **jest to dokładnie wzór na sinus sumy kątów**:\n\n\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\n\nTutaj \\(\\alpha = 30°\\), \\(\\beta = 60°\\), więc:\n\n\\[\\sin 30° \\cdot \\cos 60° + \\cos 30° \\cdot \\sin 60° = \\sin(30° + 60°) = \\sin 90°\\]\n\n\\[\\sin 90° = \\mathbf{1}\\]\n\nElegancki i szybki - bez żadnych obliczeń!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - wzór na sinus sumy kątów:\n\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 - natychmiastowe rozpoznanie struktury wyrażenia.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - tabela wartości dla kątów \\(30°, 60°\\):\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2},\\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\quad \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\quad \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do bezpośredniego podstawienia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\(\\left(\\frac{1}{2}\\right)\\) | Uczeń liczy tylko pierwszy składnik: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{4}\\), albo myli \\(\\sin(30° \\cdot 60°)\\) z \\(\\sin(30°) \\cdot \\sin(60°)\\) |\n| B \\(\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)\\) | Skojarzenie z kątem \\(45°\\) - uczeń myśli o wartościach dla \\(45°\\) zamiast \\(30°\\) i \\(60°\\) |\n| C \\(\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) | Uczeń liczy \\(\\sin 60°\\) lub \\(\\cos 30°\\) i bierze ten wynik jako odpowiedź, pomijając drugi składnik |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mnóż kątów - \\(\\sin 30° \\cdot \\cos 60°\\) to **iloczyn dwóch funkcji**, a nie \\(\\sin(30° \\cdot 60°)\\). To zupełnie różne rzeczy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wartości \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) z \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - zapamiętaj: sinus rośnie, więc większy kąt \\(60°\\) daje większy sinus.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli rozpoznasz wzór \\(\\sin(\\alpha+\\beta)\\), możesz rozwiązać to zadanie **w 5 sekund** bez żadnych obliczeń. Warto znać wzory na sinus i cosinus sumy - na maturze pojawiają się często!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wartości tablicowe (karta wzorów, dział 6)\n\\(\\sin 30^{\\circ} = \\tfrac{1}{2}\\), \\(\\cos 60^{\\circ} = \\tfrac{1}{2}\\), \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\cos 30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\\[\\tfrac{1}{2} \\cdot \\tfrac{1}{2} + \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{1}{4} + \\tfrac{3}{4} = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór na sinus sumy (rozszerzenie)\n\\(\\sin(A+B) = \\sin A \\cos B + \\cos A \\sin B\\). Tu \\(A = 30^{\\circ}, B = 60^{\\circ}\\):\n\\(\\sin(30^{\\circ} + 60^{\\circ}) = \\sin 90^{\\circ} = 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - błąd przy dodawaniu ułamków.\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)** - mylona z \\(\\sin 45^{\\circ}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** - tylko jeden składnik.\n\n**Trik:** to wzór na \\(\\sin(30^{\\circ}+60^{\\circ}) = \\sin 90^{\\circ} = 1\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Różnica tego ciągu jest równa (-4) oraz 𝑎10 = -24.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy
A. (-12)
B. (-8)
C. (-4)
D. 0

\n

MMAP-P0_100
Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Różnica tego ciągu jest równa (-4) oraz a_10=-24. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Szósty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. (-12) B. (-8) C. (-4) D. 0

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu
arytmetycznego.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(1\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie wartości z tabeli

\n

Znamy wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów \\(30°\\) i \\(60°\\) z tabeli na karcie wzorów:

\n

\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\quad \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Podstawiamy bezpośrednio:

\n

\\[\\sin 30° \\cdot \\cos 60° + \\sin 60° \\cdot \\cos 30° = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

\\[= \\frac{1}{4} + \\frac{3}{4} = \\frac{4}{4} = \\mathbf{1}\\]

\n

Sposób 2 - Rozpoznanie wzoru na sinus sumy

\n

Patrząc na wyrażenie \\(\\sin 30° \\cdot \\cos 60° + \\sin 60° \\cdot \\cos 30°\\), zauważamy, że jest to dokładnie wzór na sinus sumy kątów:

\n

\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]

\n

Tutaj \\(\\alpha = 30°\\), \\(\\beta = 60°\\), więc:

\n

\\[\\sin 30° \\cdot \\cos 60° + \\cos 30° \\cdot \\sin 60° = \\sin(30° + 60°) = \\sin 90°\\]

\n

\\[\\sin 90° = \\mathbf{1}\\]

\n

Elegancki i szybki - bez żadnych obliczeń!

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 13) - wzór na sinus sumy kątów:
\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 - natychmiastowe rozpoznanie struktury wyrażenia.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - tabela wartości dla kątów \\(30°, 60°\\):
\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2},\\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\quad \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\quad \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do bezpośredniego podstawienia.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\(\\left(\\frac{1}{2}\\right)\\) | Uczeń liczy tylko pierwszy składnik: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{4}\\), albo myli \\(\\sin(30° \\cdot 60°)\\) z \\(\\sin(30°) \\cdot \\sin(60°)\\) |
| B \\(\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)\\) | Skojarzenie z kątem \\(45°\\) - uczeń myśli o wartościach dla \\(45°\\) zamiast \\(30°\\) i \\(60°\\) |
| C \\(\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) | Uczeń liczy \\(\\sin 60°\\) lub \\(\\cos 30°\\) i bierze ten wynik jako odpowiedź, pomijając drugi składnik |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie mnóż kątów - \\(\\sin 30° \\cdot \\cos 60°\\) to iloczyn dwóch funkcji, a nie \\(\\sin(30° \\cdot 60°)\\). To zupełnie różne rzeczy!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić wartości \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) z \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - zapamiętaj: sinus rośnie, więc większy kąt \\(60°\\) daje większy sinus.
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli rozpoznasz wzór \\(\\sin(\\alpha+\\beta)\\), możesz rozwiązać to zadanie w 5 sekund bez żadnych obliczeń. Warto znać wzory na sinus i cosinus sumy - na maturze pojawiają się często!
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Wartości tablicowe (karta wzorów, dział 6)
\n

\\(\\sin 30^{\\circ} = \\tfrac{1}{2}\\), \\(\\cos 60^{\\circ} = \\tfrac{1}{2}\\), \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\cos 30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).
\\[\\tfrac{1}{2} \\cdot \\tfrac{1}{2} + \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{1}{4} + \\tfrac{3}{4} = 1.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór na sinus sumy (rozszerzenie)
\n

\\(\\sin(A+B) = \\sin A \\cos B + \\cos A \\sin B\\). Tu \\(A = 30^{\\circ}, B = 60^{\\circ}\\):
\\(\\sin(30^{\\circ} + 60^{\\circ}) = \\sin 90^{\\circ} = 1\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: to wzór na \\(\\sin(30^{\\circ}+60^{\\circ}) = \\sin 90^{\\circ} = 1\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zapisujemy wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $$ a_n = a_1 + (n-1) \\cdot d $$ gdzie $d$ to różnica ciągu, a $a_1$ to pierwszy wyraz.
\n
  1. W naszym przypadku różnica ciągu jest równa $d = -4$. Zapisujemy więc wzór na wyraz ciągu jako:
\n

$$ a_n = a_1 + (n-1) \\cdot (-4) $$

\n
  1. Możemy przekształcić ten wzór: $$ a_n = a_1 - 4(n-1) $$
\n
  1. Znamy wyraz $a_{10} = -24$. Podstawiamy $n = 10$ do wzoru:
\n

$$ a_{10} = a_1 - 4(10-1) $$

\n
  1. Obliczamy:
\n

$$ a_{10} = a_1 - 4 \\cdot 9 $$
$$ a_{10} = a_1 - 36 $$

\n
  1. Ponieważ $a_{10} = -24$, ustawiamy równanie:
\n

$$ -24 = a_1 - 36 $$

\n
  1. Rozwiązujemy to równanie, dodając 36 do obu stron:
\n

$$ a_1 = -24 + 36 $$
$$ a_1 = 12 $$

\n
  1. Mamy już pierwszy wyraz $a_1 = 12$. Teraz obliczymy szósty wyraz $a_6$. Znowu zapisujemy wzór:
\n

$$ a_6 = a_1 + (6-1) \\cdot (-4) $$

\n
  1. Podstawiamy $a_1 = 12$:
\n

$$ a_6 = 12 + 5 \\cdot (-4) $$

\n
  1. Obliczamy:
\n

$$ a_6 = 12 - 20 $$
$$ a_6 = -8 $$

\n
  1. Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ wynosi $-8$.
\n

Odpowiedź: B

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Ciąg jest arytmetyczny, jego różnica jest równa:

\n

r=-4

\n

Dane jest:

\n

a_10=-24

\n

Od wyrazu szóstego do dziesiątego są cztery kroki:

\n

a_10=a_6+4r

\n

Podstawiamy dane:

\n

-24=a_6+4·(-4)

\n

-24=a_6-16

\n

a_6=-8

\n

Odpowiedź: B. (-8) .

"}]}