{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nCiąg geometryczny (𝑎𝑛), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od 0, jest\nokreślony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWyrazy tego ciągu spełniają warunek 𝑎3 = -8 ⋅𝑎6 .\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nIloraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. (-2)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n2\nD. 2\nCiąg geometryczny (a_n), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od 0, jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek a_3=-8⋅a_6. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloraz ciągu (a_n) jest równy A. (-2) B. (-1/2) C. 1/2 D. 2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.6) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(80°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Punkt \\(S\\) leży na odcinku \\(BD\\), a \\(S\\) jest środkiem okręgu - zatem \\(BD\\) jest **średnicą** okręgu.\n\n**Krok 1 - Identyfikacja kąta wpisanego i środkowego.**\n\nKąt \\(\\angle BDA = 40°\\) jest **kątem wpisanym** w okrąg (wierzchołek \\(D\\) leży na okręgu). Opiera się on na łuku \\(\\overset{\\frown}{BA}\\) (łuk od \\(B\\) do \\(A\\) niezawierający \\(D\\)).\n\nKąt \\(\\angle BSA\\) jest **kątem środkowym** (wierzchołek w środku \\(S\\)), który opiera się na **tym samym łuku** \\(\\overset{\\frown}{BA}\\).\n\n**Krok 2 - Zastosowanie twierdzenia.**\n\n\\[\\angle BSA = 2 \\cdot \\angle BDA\\]\n\\[\\angle BSA = 2 \\cdot 40° = 80°\\]\n\n**Krok 3 - Sprawdzenie, czy kąt jest ostry.**\n\nPonieważ \\(80° < 90°\\), kąt \\(BSA\\) jest rzeczywiście **ostry**.\n\n**Odpowiedź: \\(\\angle BSA = 80°\\)**\n\n## Sposób 2 - Kąt wpisany w półokrąg + suma kątów trójkąta\n\n**Krok 1 - Kąt oparty na średnicy.**\n\nPonieważ \\(BD\\) jest średnicą, każdy kąt wpisany oparty na \\(BD\\) wynosi \\(90°\\):\n\\[\\angle BAD = 90°\\]\n\n**Krok 2 - Suma kątów w trójkącie \\(ABD\\).**\n\n\\[\\angle ABD + \\angle BDA + \\angle BAD = 180°\\]\n\\[\\angle ABD + 40° + 90° = 180°\\]\n\\[\\angle ABD = 50°\\]\n\n**Krok 3 - Kąt \\(\\angle ABD\\) jako kąt wpisany.**\n\nKąt \\(\\angle ABD = 50°\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(\\overset{\\frown}{AD}\\) (od \\(A\\) do \\(D\\), niezawierającym \\(B\\)).\n\nZatem kąt środkowy:\n\\[\\angle ASD = 2 \\cdot \\angle ABD = 2 \\cdot 50° = 100°\\]\n\n**Krok 4 - Kąt \\(\\angle BSA\\) jako kąt suplementarny.**\n\nPunkty \\(B\\), \\(S\\), \\(D\\) są współliniowe (BD jest średnicą), więc kąty \\(\\angle BSA\\) i \\(\\angle ASD\\) są suplementarne:\n\\[\\angle BSA + \\angle ASD = 180°\\]\n\\[\\angle BSA = 180° - 100° = \\mathbf{80°}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n\n> Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego, gdy obydwa opierają się na tym samym łuku.\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio w **Sposobie 1** (\\(\\angle BSA = 2 \\cdot \\angle BDA\\)).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Kąt wpisany w półokrąg:\n\n> Kąt wpisany oparty na średnicy wynosi \\(90°\\).\n\nUżyliśmy tego w **Sposobie 2** (\\(\\angle BAD = 90°\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(20°\\) | Wzięcie połowy kąta \\(BDA\\) zamiast dwukrotności: \\(\\frac{40°}{2} = 20°\\) - pomylenie kierunku zależności (środkowy = 2 × wpisany, nie odwrotnie) |\n| B. \\(40°\\) | Przepisanie kąta \\(BDA\\) bez użycia twierdzenia - błędne uznanie, że kąt środkowy = kąt wpisany |\n| C. \\(50°\\) | Wynik pośredni - kąt \\(\\angle ABD = 50°\\) z Sposobu 2, ale to **nie** jest szukany kąt \\(BSA\\); alternatywnie - pomylenie kąta \\(BSC\\) z \\(BSA\\) (kąt środkowy dla łuku \\(BC\\): \\(2 \\cdot \\angle DBC\\) ale to wymaga innego łuku) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek twierdzenia - kąt **środkowy** jest **dwa razy większy** od wpisanego (nie odwrotnie!). Zatem szukany kąt to \\(2 \\times 40° = 80°\\), a nie \\(40° / 2 = 20°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Informacja o kącie \\(\\angle DBC = 65°\\) i promieniu \\(36\\) są w tym zadaniu **nieużywane** do wyznaczenia \\(\\angle BSA\\) - to typowa pułapka, żeby zmylić i skłonić do niepotrzebnych obliczeń.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że warunkiem koniecznym do zastosowania twierdzenia jest to, że **oba kąty opierają się na tym samym łuku** - sprawdź zawsze, po której stronie cięciwy leży wierzchołek kąta wpisanego.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany (karta wzorów, dział 7)\nPonieważ \\(S\\) leży na odcinku \\(BD\\), odcinek \\(BD\\) jest średnicą okręgu. Kąt \\(BDA\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(BA\\), a kąt \\(BSA\\) jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku.\n\\[|\\angle BSA| = 2 \\cdot |\\angle BDA| = 2 \\cdot 40^{\\circ} = 80^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez trójkąt równoramienny\nW trójkącie \\(ASD\\): \\(|SA| = |SD| = 36\\) (promienie), więc jest równoramienny. Kąty przy podstawie \\(AD\\): \\(|\\angle SDA| = |\\angle SAD| = 40^{\\circ}\\). Kąt \\(\\angle ASD = 180^{\\circ} - 80^{\\circ} = 100^{\\circ}\\). Kąt \\(\\angle BSA = 180^{\\circ} - 100^{\\circ} = 80^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(20^{\\circ}\\)** - pomyłka: połowa zamiast dwukrotności.\n- **B. \\(40^{\\circ}\\)** - pomylone z kątem wpisanym.\n- **C. \\(50^{\\circ}\\)** - użyto błędnego kąta.\n\n**Trik:** kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (oparte na tym samym łuku).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Ciąg geometryczny","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Ciąg geometryczny (𝑎𝑛), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od 0, jest<br>określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.<br>Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 𝑎3 = -8 ⋅𝑎6 .<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Iloraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy<br>A. (-2)<br>B. (-1<br>2)<br>C. 1<br>2<br>D. 2<br>Ciąg geometryczny (a_n), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od 0, jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek a_3=-8⋅a_6. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloraz ciągu (a_n) jest równy A. (-2) B. (-1/2) C. 1/2 D. 2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VI.6) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu<br>geometrycznego.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(80°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym</h4>\n<p><strong>Kluczowe spostrzeżenie:</strong> Punkt \\(S\\) leży na odcinku \\(BD\\), a \\(S\\) jest środkiem okręgu - zatem \\(BD\\) jest <strong>średnicą</strong> okręgu.</p>\n<p><strong>Krok 1 - Identyfikacja kąta wpisanego i środkowego.</strong></p>\n<p>Kąt \\(\\angle BDA = 40°\\) jest <strong>kątem wpisanym</strong> w okrąg (wierzchołek \\(D\\) leży na okręgu). Opiera się on na łuku \\(\\overset{\\frown}{BA}\\) (łuk od \\(B\\) do \\(A\\) niezawierający \\(D\\)).</p>\n<p>Kąt \\(\\angle BSA\\) jest <strong>kątem środkowym</strong> (wierzchołek w środku \\(S\\)), który opiera się na <strong>tym samym łuku</strong> \\(\\overset{\\frown}{BA}\\).</p>\n<p><strong>Krok 2 - Zastosowanie twierdzenia.</strong></p>\n<p>\\[\\angle BSA = 2 \\cdot \\angle BDA\\]<br>\\[\\angle BSA = 2 \\cdot 40° = 80°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Sprawdzenie, czy kąt jest ostry.</strong></p>\n<p>Ponieważ \\(80° &lt; 90°\\), kąt \\(BSA\\) jest rzeczywiście <strong>ostry</strong>.</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(\\angle BSA = 80°\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Kąt wpisany w półokrąg + suma kątów trójkąta</h4>\n<p><strong>Krok 1 - Kąt oparty na średnicy.</strong></p>\n<p>Ponieważ \\(BD\\) jest średnicą, każdy kąt wpisany oparty na \\(BD\\) wynosi \\(90°\\):<br>\\[\\angle BAD = 90°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Suma kątów w trójkącie \\(ABD\\).</strong></p>\n<p>\\[\\angle ABD + \\angle BDA + \\angle BAD = 180°\\]<br>\\[\\angle ABD + 40° + 90° = 180°\\]<br>\\[\\angle ABD = 50°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Kąt \\(\\angle ABD\\) jako kąt wpisany.</strong></p>\n<p>Kąt \\(\\angle ABD = 50°\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(\\overset{\\frown}{AD}\\) (od \\(A\\) do \\(D\\), niezawierającym \\(B\\)).</p>\n<p>Zatem kąt środkowy:<br>\\[\\angle ASD = 2 \\cdot \\angle ABD = 2 \\cdot 50° = 100°\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - Kąt \\(\\angle BSA\\) jako kąt suplementarny.</strong></p>\n<p>Punkty \\(B\\), \\(S\\), \\(D\\) są współliniowe (BD jest średnicą), więc kąty \\(\\angle BSA\\) i \\(\\angle ASD\\) są suplementarne:<br>\\[\\angle BSA + \\angle ASD = 180°\\]<br>\\[\\angle BSA = 180° - 100° = \\mathbf{80°}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:</p>\n<blockquote>Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego, gdy obydwa opierają się na tym samym łuku.</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego bezpośrednio w <strong>Sposobie 1</strong> (\\(\\angle BSA = 2 \\cdot \\angle BDA\\)).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - Kąt wpisany w półokrąg:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany oparty na średnicy wynosi \\(90°\\).</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego w <strong>Sposobie 2</strong> (\\(\\angle BAD = 90°\\)).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A. \\(20°\\) | Wzięcie połowy kąta \\(BDA\\) zamiast dwukrotności: \\(\\frac{40°}{2} = 20°\\) - pomylenie kierunku zależności (środkowy = 2 × wpisany, nie odwrotnie) |<br>| B. \\(40°\\) | Przepisanie kąta \\(BDA\\) bez użycia twierdzenia - błędne uznanie, że kąt środkowy = kąt wpisany |<br>| C. \\(50°\\) | Wynik pośredni - kąt \\(\\angle ABD = 50°\\) z Sposobu 2, ale to <strong>nie</strong> jest szukany kąt \\(BSA\\); alternatywnie - pomylenie kąta \\(BSC\\) z \\(BSA\\) (kąt środkowy dla łuku \\(BC\\): \\(2 \\cdot \\angle DBC\\) ale to wymaga innego łuku) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić kierunek twierdzenia - kąt <strong>środkowy</strong> jest <strong>dwa razy większy</strong> od wpisanego (nie odwrotnie!). Zatem szukany kąt to \\(2 \\times 40° = 80°\\), a nie \\(40° / 2 = 20°\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Informacja o kącie \\(\\angle DBC = 65°\\) i promieniu \\(36\\) są w tym zadaniu <strong>nieużywane</strong> do wyznaczenia \\(\\angle BSA\\) - to typowa pułapka, żeby zmylić i skłonić do niepotrzebnych obliczeń.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że warunkiem koniecznym do zastosowania twierdzenia jest to, że <strong>oba kąty opierają się na tym samym łuku</strong> - sprawdź zawsze, po której stronie cięciwy leży wierzchołek kąta wpisanego.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany (karta wzorów, dział 7)</h5>\n<p>Ponieważ \\(S\\) leży na odcinku \\(BD\\), odcinek \\(BD\\) jest średnicą okręgu. Kąt \\(BDA\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(BA\\), a kąt \\(BSA\\) jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku.<br>\\[|\\angle BSA| = 2 \\cdot |\\angle BDA| = 2 \\cdot 40^{\\circ} = 80^{\\circ}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez trójkąt równoramienny</h5>\n<p>W trójkącie \\(ASD\\): \\(|SA| = |SD| = 36\\) (promienie), więc jest równoramienny. Kąty przy podstawie \\(AD\\): \\(|\\angle SDA| = |\\angle SAD| = 40^{\\circ}\\). Kąt \\(\\angle ASD = 180^{\\circ} - 80^{\\circ} = 100^{\\circ}\\). Kąt \\(\\angle BSA = 180^{\\circ} - 100^{\\circ} = 80^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(20^{\\circ}\\)</strong> - pomyłka: połowa zamiast dwukrotności.</li><li><strong>B. \\(40^{\\circ}\\)</strong> - pomylone z kątem wpisanym.</li><li><strong>C. \\(50^{\\circ}\\)</strong> - użyto błędnego kąta.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (oparte na tym samym łuku).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, obliczamy iloraz $q$ z równania $a_6 = a_3 q^3$. Podstawiając, otrzymujemy $a_3 = -8 a_3 q^3$, co po uproszczeniu daje $q^3 = -\\displaystyle\\small\\frac{1}{8}$, więc $q = -\\displaystyle\\small\\frac{1}{2}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz q .</p>\n<p>Mamy:</p>\n<p>a_6=a_3· q^3</p>\n<p>Z treści zadania:</p>\n<p>a_3=-8a_6</p>\n<p>Podstawiamy a_6=a_3q^3 :</p>\n<p>a_3=-8a_3q^3</p>\n<p>Ponieważ wszystkie wyrazy są różne od zera, możemy podzielić przez a_3 :</p>\n<p>1=-8q^3</p>\n<p>q^3=-(1)/(8)</p>\n<p>q=-(1)/(2)</p>\n<p>Odpowiedź: B. -(1)/(2) .</p>"}]}