{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (√5, 1, 𝑥) jest arytmetyczny.\nTrzywyrazowy ciąg (√5, 1, 𝑦) jest geometryczny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczby 𝑥 oraz 𝑦 spełniają warunki\nA. 𝑥< 0 i 𝑦< 0\nB. 𝑥< 0 i 𝑦> 0\nC. 𝑥> 0 i 𝑦< 0\nD. 𝑥> 0 i 𝑦> 0\n\nMMAP-P0_100\nTrzywyrazowy ciąg (√5,1,x) jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg (√5,1,x) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczby x oraz y spełniają warunki A. x<0 i y<0 B. x<0 i y>0 C. x>0 i y<0 D. x>0 i y>0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(10\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Talesa + suma kątów w trójkącie\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Punkt \\(S\\) leży na odcinku \\(BD\\), czyli \\(BD\\) jest **średnicą** okręgu (przechodzi przez środek).\n\n**Krok 1: Kąt BCD = 90°**\n\nZ **twierdzenia Talesa (kąt wpisany w półokrąg)**: każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Punkt \\(C\\) leży na okręgu, a \\(BD\\) jest średnicą, więc:\n\\[\\angle BCD = 90°\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz kąt CDB z trójkąta BCD**\n\nW trójkącie \\(BCD\\) znamy:\n- \\(\\angle DBC = 65°\\) (dane)\n- \\(\\angle BCD = 90°\\) (właśnie obliczone)\n\nSuma kątów w trójkącie:\n\\[\\angle BDC = 180° - 90° - 65° = 25°\\]\n\n**Krok 3: Kąt środkowy łuku BC**\n\nKąt wpisany \\(\\angle BDC = 25°\\) jest oparty na łuku \\(BC\\) (niiezawierającym \\(D\\)). Kąt środkowy = **dwukrotność kąta wpisanego**:\n\\[\\angle BOC_{\\text{środkowy}} = 2 \\cdot 25° = 50°\\]\n\n**Krok 4: Długość łuku BC**\n\nObwód okręgu: \\(L = 2\\pi r = 2\\pi \\cdot 36 = 72\\pi\\)\n\n\\[\\text{Długość łuku } BC = \\frac{50°}{360°} \\cdot 72\\pi = \\frac{50}{360} \\cdot 72\\pi = \\frac{1}{7{,}2} \\cdot 72\\pi = \\boxed{10\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez łuki (sprawdzenie spójności)\n\nUżywamy tylko właściwości łuków i kąta wpisanego.\n\n**BD jest średnicą** → łuk \\(BD\\) (z obu stron) = \\(180°\\) każdy.\n\nKąt wpisany \\(\\angle DBC = 65°\\) jest oparty na łuku \\(DC\\) (niezawierającym \\(B\\)):\n\\[\\text{łuk } DC = 2 \\cdot 65° = 130°\\]\n\nPonieważ łuk \\(BC + \\text{łuk } CD = \\text{łuk } BD = 180°\\) (po tej samej stronie co \\(C\\)):\n\\[\\text{łuk } BC = 180° - 130° = 50°\\]\n\n**Weryfikacja kąta:** \\(\\angle BDC = \\frac{50°}{2} = 25°\\) ✓ (zgodne ze Sposobem 1)\n\nDługość łuku:\n\\[\\text{łuk } BC = \\frac{50°}{360°} \\cdot 72\\pi = 10\\pi\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i kąt środkowy:\n\\[\\text{Kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy}\\]\nUżyte w Sposobie 1 (krok 3) do wyznaczenia kąta środkowego łuku \\(BC\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - długość łuku (kąt środkowy \\(\\alpha\\)):\n\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]\nUżyte w kroku 4 do obliczenia długości łuku.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie Talesa (kąt wpisany w półokrąg):\nKąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\). Kluczowe dla wyznaczenia \\(\\angle BCD\\) w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd | Skąd się bierze |\n| **A** (\\(8\\pi\\)) | Użyto kąta \\(\\angle BDA = 40°\\) jako kąta środkowego łuku \\(BC\\) (bez podwajania i zły kąt) | \\(\\frac{40°}{360°} \\cdot 72\\pi = 8\\pi\\) |\n| **C** (\\(13\\pi\\)) | Użyto \\(\\angle DBC = 65°\\) bezpośrednio jako kąta środkowego (zapomniano podwoić) | \\(\\frac{65°}{360°} \\cdot 72\\pi = 13\\pi\\) |\n| **D** (\\(20\\pi\\)) | Poprawnie obliczono łuk \\(AD = 100°\\) (bo łuk \\(AB = 80°\\), łuk \\(ABD = 180°\\)), ale pomylono go z łukiem \\(BC\\) | \\(\\frac{100°}{360°} \\cdot 72\\pi = 20\\pi\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najważniejszy krok to rozpoznanie, że \\(S \\in BD\\) oznacza **BD jest średnicą**. Bez tego cały tok rozumowania się sypie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle DBC = 65°\\) jest oparty na łuku **DC**, nie na łuku **BC**! Łatwo pomylić, który łuk odpowiada danemu kątowi wpisanemu - zawsze sprawdzaj, które ramiona kąta wyznaczają dany łuk (łuk jest naprzeciwko wierzchołka kąta).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy kącie wpisanym pamiętaj o podwajaniu: kąt środkowy = 2 × kąt wpisany. Pominięcie tego podwojenia to jeden z najczęstszych błędów w tego typu zadaniach.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Długość łuku (karta wzorów, dział G10)\nW trójkącie \\(BSC\\): \\(|SB| = |SC| = 36\\), więc równoramienny. Kąt \\(\\angle SBC = 65^{\\circ}\\), \\(\\angle SCB = 65^{\\circ}\\). Kąt środkowy \\(\\angle BSC = 180^{\\circ} - 130^{\\circ} = 50^{\\circ}\\).\nDługość łuku: \\(l = \\dfrac{\\alpha}{360^{\\circ}} \\cdot 2\\pi r = \\dfrac{50}{360} \\cdot 2\\pi \\cdot 36 = \\dfrac{50 \\cdot 72}{360}\\pi = \\dfrac{3600}{360}\\pi = 10\\pi\\).\n\n### Sposób 2 - Przez kąt wpisany\nKąt wpisany \\(\\angle CDB = \\tfrac{1}{2} \\angle BSC\\). Jeśli \\(\\angle BSC = 50^{\\circ}\\), to \\(\\angle CDB = 25^{\\circ}\\).\nŁuk \\(BC\\) odpowiada kątowi środkowemu \\(50^{\\circ}\\), więc jego długość to \\(\\tfrac{50}{360} \\cdot 72\\pi = 10\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\pi\\)** - źle policzony kąt środkowy.\n- **C. \\(13\\pi\\)** - niewłaściwa proporcja.\n- **D. \\(20\\pi\\)** - wzięto dwukrotnie.\n\n**Trik:** długość łuku = \\(\\tfrac{\\alpha}{360^{\\circ}} \\cdot 2\\pi r\\); najpierw wyznacz kąt środkowy.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Ciąg geometryczny","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Trzywyrazowy ciąg (√5, 1, 𝑥) jest arytmetyczny.<br>Trzywyrazowy ciąg (√5, 1, 𝑦) jest geometryczny.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczby 𝑥 oraz 𝑦 spełniają warunki<br>A. 𝑥&lt; 0 i 𝑦&lt; 0<br>B. 𝑥&lt; 0 i 𝑦&gt; 0<br>C. 𝑥&gt; 0 i 𝑦&lt; 0<br>D. 𝑥&gt; 0 i 𝑦&gt; 0</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Trzywyrazowy ciąg (√5,1,x) jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg (√5,1,x) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczby x oraz y spełniają warunki A. x&lt;0 i y&lt;0 B. x&lt;0 i y&gt;0 C. x&gt;0 i y&lt;0 D. x&gt;0 i y&gt;0</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym<br>arytmetycznych i geometrycznych, do<br>rozwiązywania zadań […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(10\\pi\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie Talesa + suma kątów w trójkącie</h4>\n<p><strong>Kluczowe spostrzeżenie:</strong> Punkt \\(S\\) leży na odcinku \\(BD\\), czyli \\(BD\\) jest <strong>średnicą</strong> okręgu (przechodzi przez środek).</p>\n<p><strong>Krok 1: Kąt BCD = 90°</strong></p>\n<p>Z <strong>twierdzenia Talesa (kąt wpisany w półokrąg)</strong>: każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Punkt \\(C\\) leży na okręgu, a \\(BD\\) jest średnicą, więc:<br>\\[\\angle BCD = 90°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz kąt CDB z trójkąta BCD</strong></p>\n<p>W trójkącie \\(BCD\\) znamy:</p>\n<ul><li>\\(\\angle DBC = 65°\\) (dane)</li><li>\\(\\angle BCD = 90°\\) (właśnie obliczone)</li></ul>\n<p>Suma kątów w trójkącie:<br>\\[\\angle BDC = 180° - 90° - 65° = 25°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Kąt środkowy łuku BC</strong></p>\n<p>Kąt wpisany \\(\\angle BDC = 25°\\) jest oparty na łuku \\(BC\\) (niiezawierającym \\(D\\)). Kąt środkowy = <strong>dwukrotność kąta wpisanego</strong>:<br>\\[\\angle BOC_{\\text{środkowy}} = 2 \\cdot 25° = 50°\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Długość łuku BC</strong></p>\n<p>Obwód okręgu: \\(L = 2\\pi r = 2\\pi \\cdot 36 = 72\\pi\\)</p>\n<p>\\[\\text{Długość łuku } BC = \\frac{50°}{360°} \\cdot 72\\pi = \\frac{50}{360} \\cdot 72\\pi = \\frac{1}{7{,}2} \\cdot 72\\pi = \\boxed{10\\pi}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez łuki (sprawdzenie spójności)</h4>\n<p>Używamy tylko właściwości łuków i kąta wpisanego.</p>\n<p><strong>BD jest średnicą</strong> → łuk \\(BD\\) (z obu stron) = \\(180°\\) każdy.</p>\n<p>Kąt wpisany \\(\\angle DBC = 65°\\) jest oparty na łuku \\(DC\\) (niezawierającym \\(B\\)):<br>\\[\\text{łuk } DC = 2 \\cdot 65° = 130°\\]</p>\n<p>Ponieważ łuk \\(BC + \\text{łuk } CD = \\text{łuk } BD = 180°\\) (po tej samej stronie co \\(C\\)):<br>\\[\\text{łuk } BC = 180° - 130° = 50°\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja kąta:</strong> \\(\\angle BDC = \\frac{50°}{2} = 25°\\) ✓ (zgodne ze Sposobem 1)</p>\n<p>Długość łuku:<br>\\[\\text{łuk } BC = \\frac{50°}{360°} \\cdot 72\\pi = 10\\pi\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - kąt wpisany i kąt środkowy:<br>\\[\\text{Kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy}\\]<br>Użyte w Sposobie 1 (krok 3) do wyznaczenia kąta środkowego łuku \\(BC\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - długość łuku (kąt środkowy \\(\\alpha\\)):<br>\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]<br>Użyte w kroku 4 do obliczenia długości łuku.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - twierdzenie Talesa (kąt wpisany w półokrąg):<br>Kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\). Kluczowe dla wyznaczenia \\(\\angle BCD\\) w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd | Skąd się bierze |<br>| <strong>A</strong> (\\(8\\pi\\)) | Użyto kąta \\(\\angle BDA = 40°\\) jako kąta środkowego łuku \\(BC\\) (bez podwajania i zły kąt) | \\(\\frac{40°}{360°} \\cdot 72\\pi = 8\\pi\\) |<br>| <strong>C</strong> (\\(13\\pi\\)) | Użyto \\(\\angle DBC = 65°\\) bezpośrednio jako kąta środkowego (zapomniano podwoić) | \\(\\frac{65°}{360°} \\cdot 72\\pi = 13\\pi\\) |<br>| <strong>D</strong> (\\(20\\pi\\)) | Poprawnie obliczono łuk \\(AD = 100°\\) (bo łuk \\(AB = 80°\\), łuk \\(ABD = 180°\\)), ale pomylono go z łukiem \\(BC\\) | \\(\\frac{100°}{360°} \\cdot 72\\pi = 20\\pi\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najważniejszy krok to rozpoznanie, że \\(S \\in BD\\) oznacza <strong>BD jest średnicą</strong>. Bez tego cały tok rozumowania się sypie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(\\angle DBC = 65°\\) jest oparty na łuku <strong>DC</strong>, nie na łuku <strong>BC</strong>! Łatwo pomylić, który łuk odpowiada danemu kątowi wpisanemu - zawsze sprawdzaj, które ramiona kąta wyznaczają dany łuk (łuk jest naprzeciwko wierzchołka kąta).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy kącie wpisanym pamiętaj o podwajaniu: kąt środkowy = 2 × kąt wpisany. Pominięcie tego podwojenia to jeden z najczęstszych błędów w tego typu zadaniach.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Długość łuku (karta wzorów, dział G10)</h5>\n<p>W trójkącie \\(BSC\\): \\(|SB| = |SC| = 36\\), więc równoramienny. Kąt \\(\\angle SBC = 65^{\\circ}\\), \\(\\angle SCB = 65^{\\circ}\\). Kąt środkowy \\(\\angle BSC = 180^{\\circ} - 130^{\\circ} = 50^{\\circ}\\).<br>Długość łuku: \\(l = \\dfrac{\\alpha}{360^{\\circ}} \\cdot 2\\pi r = \\dfrac{50}{360} \\cdot 2\\pi \\cdot 36 = \\dfrac{50 \\cdot 72}{360}\\pi = \\dfrac{3600}{360}\\pi = 10\\pi\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez kąt wpisany</h5>\n<p>Kąt wpisany \\(\\angle CDB = \\tfrac{1}{2} \\angle BSC\\). Jeśli \\(\\angle BSC = 50^{\\circ}\\), to \\(\\angle CDB = 25^{\\circ}\\).<br>Łuk \\(BC\\) odpowiada kątowi środkowemu \\(50^{\\circ}\\), więc jego długość to \\(\\tfrac{50}{360} \\cdot 72\\pi = 10\\pi\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(8\\pi\\)</strong> - źle policzony kąt środkowy.</li><li><strong>C. \\(13\\pi\\)</strong> - niewłaściwa proporcja.</li><li><strong>D. \\(20\\pi\\)</strong> - wzięto dwukrotnie.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> długość łuku = \\(\\tfrac{\\alpha}{360^{\\circ}} \\cdot 2\\pi r\\); najpierw wyznacz kąt środkowy.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ponieważ w ciągu arytmetycznym $2\\cdot1=x+\\sqrt{5}$ a $\\sqrt5&gt;2$, czyli $x&lt;0$. W ciągu geometrycznym $1=y\\sqrt5$, czyli $y&gt;0$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Najpierw korzystamy z tego, że ciąg (√(5),1,x) jest arytmetyczny.</p>\n<p>W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe:</p>\n<p>1-√(5)=x-1</p>\n<p>x=2-√(5)</p>\n<p>Ponieważ √(5)&gt;2 , otrzymujemy:</p>\n<p>x&lt;0</p>\n<p>Teraz ciąg (√(5),1,y) jest geometryczny. Iloraz tego ciągu:</p>\n<p>q=(1)/(√(5))</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>y=1· (1)/(√(5))=(1)/(√(5))</p>\n<p>czyli:</p>\n<p>y&gt;0</p>\n<p>Odpowiedź: B. x&lt;0 i y&gt;0 .</p>"}]}