{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry oraz cos 𝛼= 5\n13\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 5\n12\nB. 12\n13\nC. 13\n12\nD. 12\n5\nKąt α jest ostry oraz cosα=5/13. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α jest równy A. 5/12 B. 12/13 C. 13/12 D. 12/5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (pole = \\(4\\))\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów + trójkąty równopodstawowe\n\n**Krok 1: Wyznaczamy pole trójkąta \\(ABE\\) przez podobieństwo.**\n\nPonieważ \\(AB \\parallel CD\\), trójkąty \\(CDE\\) i \\(ABE\\) są podobne (kąty naprzemianległe + kąty przy wierzchołku \\(E\\) są wertykalne).\n\nStosunek podobieństwa:\n\\[k = \\frac{|CD|}{|AB|} = \\frac{|CD|}{2 \\cdot |CD|} = \\frac{1}{2}\\]\n\nStosunek pól:\n\\[\\frac{P_{CDE}}{P_{ABE}} = k^2 = \\frac{1}{4}\\]\n\nStąd:\n\\[P_{ABE} = 4 \\cdot P_{CDE} = 4 \\cdot 2 = 8\\]\n\n**Krok 2: Kluczowa obserwacja - trójkąty \\(ABC\\) i \\(ABD\\) mają równe pola.**\n\nTrójkąty \\(ABC\\) i \\(ABD\\) mają wspólną podstawę \\(AB\\). Ich wierzchołki \\(C\\) i \\(D\\) leżą na prostej \\(CD \\parallel AB\\), więc mają **tę samą wysokość** (odległość od \\(AB\\) do prostej \\(CD\\)).\n\n\\[P_{ABC} = P_{ABD}\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy pole \\(AED\\).**\n\nRozbijamy oba trójkąty na mniejsze:\n\\[P_{ABC} = P_{ABE} + P_{BCE} = 8 + 4 = 12\\]\n\\[P_{ABD} = P_{ABE} + P_{AED} = 8 + P_{AED}\\]\n\nZ równości \\(P_{ABC} = P_{ABD}\\):\n\\[8 + P_{AED} = 12\\]\n\\[\\boxed{P_{AED} = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Stosunek podziału przekątnych\n\n**Krok 1: Wyznaczamy stosunek \\(BE : ED\\).**\n\nZ podobieństwa trójkątów \\(ABE \\sim CDE\\) (bo \\(AB \\parallel CD\\)):\n\\[\\frac{BE}{ED} = \\frac{AB}{CD} = \\frac{2}{1}\\]\n\nCzyli \\(E\\) dzieli przekątną \\(BD\\) w stosunku \\(2 : 1\\) (licząc od \\(B\\)).\n\n**Krok 2: Porównujemy pola trójkątów \\(ABE\\) i \\(AED\\).**\n\nTrójkąty \\(ABE\\) i \\(AED\\) mają wspólny wierzchołek \\(A\\), a ich podstawy \\(BE\\) i \\(ED\\) leżą na tej samej prostej \\(BD\\). Zatem:\n\\[\\frac{P_{ABE}}{P_{AED}} = \\frac{|BE|}{|ED|} = \\frac{2}{1}\\]\n\nStąd:\n\\[P_{AED} = \\frac{P_{ABE}}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]\n\n**Weryfikacja sumy pól:**\n\\[P_{CDE} + P_{BCE} + P_{AED} + P_{ABE} = 2 + 4 + 4 + 8 = 18\\]\n\nPole trapezu z podstawami \\(1\\) i \\(2\\) (w odpowiedniej skali): \\(\\frac{(1+2)}{2} \\cdot h\\) - zgadza się. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - podobieństwo figur i stosunek pól:\n\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]\ngdzie \\(k\\) to skala podobieństwa. Użyte w Sposobie 1 i 2 do wyznaczenia \\(P_{ABE}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a\\]\nPośrednio użyte przy argumentacji o równych wysokościach trójkątów \\(ABC\\) i \\(ABD\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A. \\(2\\)** | Uczeń utożsamia \\(P_{AED}\\) z \\(P_{CDE}\\), zakładając błędnie, że wszystkie cztery trójkąty mają równe pola. |\n| **B. \\(3\\)** | Uczeń liczy średnią arytmetyczną \\(\\frac{2+4}{2} = 3\\) - bez żadnego uzasadnienia geometrycznego. |\n| **D. \\(8\\)** | Uczeń podaje \\(P_{ABE}\\) zamiast \\(P_{AED}\\) - myli wierzchołki, bo wyznaczył \\(P_{ABE} = 4 \\cdot P_{CDE} = 8\\) i na tym kończy. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątne trapezu **nie** dzielą go na cztery trójkąty o równych polach - tylko dwa trójkąty (boczne, tzn. \\(BCE\\) i \\(AED\\)) mają równe pola; trójkąty \\(CDE\\) i \\(ABE\\) są w stosunku \\(1:4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(BE : ED = 2 : 1\\) wynika z podobieństwa, a **nie** z żadnych danych wprost - to kluczowy krok, który uczniowie często pomijają lub mylą z podziałem na połowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Argument „\\(P_{ABC} = P_{ABD}\\)\" działa **tylko** dlatego, że \\(AB \\parallel CD\\) - gdyby trapez nie był prawdziwym trapezem, ten krok by się posypał.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność trapezu\nW trapezie trójkąty \\(AED\\) i \\(BEC\\), utworzone przez przekątne, mają równe pola (stoją między tymi samymi podstawami \\(AD\\) i \\(BC\\) trójkątów \\(ABD\\) i \\(ABC\\) o wspólnej podstawie \\(AB\\) i tych samych wysokościach).\nZatem \\(P_{AED} = P_{BCE} = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Przez pole trójkąta \\(ABD\\)\n\\(P_{ABD} = P_{ABC}\\) (ta sama podstawa \\(AB\\), ta sama wysokość). Odejmując pole trójkąta \\(AEB\\):\n\\(P_{AED} = P_{ABD} - P_{AEB} = P_{ABC} - P_{AEB} = P_{BCE} = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - to pole trójkąta \\(CDE\\).\n- **B. \\(3\\)** - średnia, niepoprawna reguła.\n- **D. \\(8\\)** - podwojenie bez uzasadnienia.\n\n**Trik:** w każdym trapezie \\(P_{AED} = P_{BEC}\\), niezależnie od długości podstaw.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Kąt 𝛼 jest ostry oraz cos 𝛼= 5<br>13<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Tangens kąta 𝛼 jest równy<br>A. 5<br>12<br>B. 12<br>13<br>C. 13<br>12<br>D. 12<br>5<br>Kąt α jest ostry oraz cosα=5/13. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α jest równy A. 5/12 B. 12/13 C. 13/12 D. 12/5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VII.2) korzysta z wzorów<br>sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼<br>cos𝛼<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C (pole = \\(4\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów + trójkąty równopodstawowe</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy pole trójkąta \\(ABE\\) przez podobieństwo.</strong></p>\n<p>Ponieważ \\(AB \\parallel CD\\), trójkąty \\(CDE\\) i \\(ABE\\) są podobne (kąty naprzemianległe + kąty przy wierzchołku \\(E\\) są wertykalne).</p>\n<p>Stosunek podobieństwa:<br>\\[k = \\frac{|CD|}{|AB|} = \\frac{|CD|}{2 \\cdot |CD|} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Stosunek pól:<br>\\[\\frac{P_{CDE}}{P_{ABE}} = k^2 = \\frac{1}{4}\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[P_{ABE} = 4 \\cdot P_{CDE} = 4 \\cdot 2 = 8\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Kluczowa obserwacja - trójkąty \\(ABC\\) i \\(ABD\\) mają równe pola.</strong></p>\n<p>Trójkąty \\(ABC\\) i \\(ABD\\) mają wspólną podstawę \\(AB\\). Ich wierzchołki \\(C\\) i \\(D\\) leżą na prostej \\(CD \\parallel AB\\), więc mają <strong>tę samą wysokość</strong> (odległość od \\(AB\\) do prostej \\(CD\\)).</p>\n<p>\\[P_{ABC} = P_{ABD}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznaczamy pole \\(AED\\).</strong></p>\n<p>Rozbijamy oba trójkąty na mniejsze:<br>\\[P_{ABC} = P_{ABE} + P_{BCE} = 8 + 4 = 12\\]<br>\\[P_{ABD} = P_{ABE} + P_{AED} = 8 + P_{AED}\\]</p>\n<p>Z równości \\(P_{ABC} = P_{ABD}\\):<br>\\[8 + P_{AED} = 12\\]<br>\\[\\boxed{P_{AED} = 4}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Stosunek podziału przekątnych</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy stosunek \\(BE : ED\\).</strong></p>\n<p>Z podobieństwa trójkątów \\(ABE \\sim CDE\\) (bo \\(AB \\parallel CD\\)):<br>\\[\\frac{BE}{ED} = \\frac{AB}{CD} = \\frac{2}{1}\\]</p>\n<p>Czyli \\(E\\) dzieli przekątną \\(BD\\) w stosunku \\(2 : 1\\) (licząc od \\(B\\)).</p>\n<p><strong>Krok 2: Porównujemy pola trójkątów \\(ABE\\) i \\(AED\\).</strong></p>\n<p>Trójkąty \\(ABE\\) i \\(AED\\) mają wspólny wierzchołek \\(A\\), a ich podstawy \\(BE\\) i \\(ED\\) leżą na tej samej prostej \\(BD\\). Zatem:<br>\\[\\frac{P_{ABE}}{P_{AED}} = \\frac{|BE|}{|ED|} = \\frac{2}{1}\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[P_{AED} = \\frac{P_{ABE}}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja sumy pól:</strong><br>\\[P_{CDE} + P_{BCE} + P_{AED} + P_{ABE} = 2 + 4 + 4 + 8 = 18\\]</p>\n<p>Pole trapezu z podstawami \\(1\\) i \\(2\\) (w odpowiedniej skali): \\(\\frac{(1+2)}{2} \\cdot h\\) - zgadza się. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)</strong> - podobieństwo figur i stosunek pól:<br>\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]<br>gdzie \\(k\\) to skala podobieństwa. Użyte w Sposobie 1 i 2 do wyznaczenia \\(P_{ABE}\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - pole trójkąta:<br>\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a\\]<br>Pośrednio użyte przy argumentacji o równych wysokościach trójkątów \\(ABC\\) i \\(ABD\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| <strong>A. \\(2\\)</strong> | Uczeń utożsamia \\(P_{AED}\\) z \\(P_{CDE}\\), zakładając błędnie, że wszystkie cztery trójkąty mają równe pola. |<br>| <strong>B. \\(3\\)</strong> | Uczeń liczy średnią arytmetyczną \\(\\frac{2+4}{2} = 3\\) - bez żadnego uzasadnienia geometrycznego. |<br>| <strong>D. \\(8\\)</strong> | Uczeń podaje \\(P_{ABE}\\) zamiast \\(P_{AED}\\) - myli wierzchołki, bo wyznaczył \\(P_{ABE} = 4 \\cdot P_{CDE} = 8\\) i na tym kończy. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przekątne trapezu <strong>nie</strong> dzielą go na cztery trójkąty o równych polach - tylko dwa trójkąty (boczne, tzn. \\(BCE\\) i \\(AED\\)) mają równe pola; trójkąty \\(CDE\\) i \\(ABE\\) są w stosunku \\(1:4\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Stosunek \\(BE : ED = 2 : 1\\) wynika z podobieństwa, a <strong>nie</strong> z żadnych danych wprost - to kluczowy krok, który uczniowie często pomijają lub mylą z podziałem na połowy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Argument „\\(P_{ABC} = P_{ABD}\\)&quot; działa <strong>tylko</strong> dlatego, że \\(AB \\parallel CD\\) - gdyby trapez nie był prawdziwym trapezem, ten krok by się posypał.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własność trapezu</h5>\n<p>W trapezie trójkąty \\(AED\\) i \\(BEC\\), utworzone przez przekątne, mają równe pola (stoją między tymi samymi podstawami \\(AD\\) i \\(BC\\) trójkątów \\(ABD\\) i \\(ABC\\) o wspólnej podstawie \\(AB\\) i tych samych wysokościach).<br>Zatem \\(P_{AED} = P_{BCE} = 4\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez pole trójkąta \\(ABD\\)</h5>\n<p>\\(P_{ABD} = P_{ABC}\\) (ta sama podstawa \\(AB\\), ta sama wysokość). Odejmując pole trójkąta \\(AEB\\):<br>\\(P_{AED} = P_{ABD} - P_{AEB} = P_{ABC} - P_{AEB} = P_{BCE} = 4\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\)</strong> - to pole trójkąta \\(CDE\\).</li><li><strong>B. \\(3\\)</strong> - średnia, niepoprawna reguła.</li><li><strong>D. \\(8\\)</strong> - podwojenie bez uzasadnienia.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w każdym trapezie \\(P_{AED} = P_{BEC}\\), niezależnie od długości podstaw.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, aby znaleźć tengens, używamy wzoru $\\tg \\alpha = \\displaystyle\\small\\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}$ oraz jedynki trygonometrycznej. Mamy $\\sin \\alpha = \\sqrt{1 - \\left({\\displaystyle\\small\\frac{5}{13}}\\right)^2} = {\\displaystyle\\small\\frac{12}{13}}$. Dlatego $\\tg \\alpha = {\\displaystyle\\small\\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}} = {\\displaystyle\\small\\frac{12}{5}}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Kąt α jest ostry i:</p>\n<p>cosα=(5)/(13)</p>\n<p>Możemy wykorzystać trójkąt prostokątny. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej, więc:</p>\n<p>przyprostokątna przyległa=5, przeciwprostokątna=13</p>\n<p>Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną:</p>\n<p>13^2-5^2=169-25=144</p>\n<p>√(144)=12</p>\n<p>Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przyległej:</p>\n<p>tanα=(12)/(5)</p>\n<p>Odpowiedź: D. (12)/(5) .</p>"}]}