{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 25-2\n125-4 jest równa\nA. 5-16\nB. 5-2\nC. 54\nD. 58\n\nMMAP-P0_100\nLiczba 25^{-2} / 125^{-4} jest równa A. 5^{-16} B. 5^{-2} C. 5^4 D. 5^8","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt[3]{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączanie przed pierwiastek\n\nKluczowy pomysł: rozbijamy liczby pod pierwiastkami na iloczyn sześcianów i reszty.\n\n**Krok 1.** Rozkładamy \\(24\\) i \\(192\\):\n\\[24 = 8 \\cdot 3 = 2^3 \\cdot 3\\]\n\\[192 = 64 \\cdot 3 = 4^3 \\cdot 3\\]\n\n**Krok 2.** Wyłączamy pełne sześciany przed pierwiastek (korzystamy z \\(\\sqrt[3]{a \\cdot b} = \\sqrt[3]{a} \\cdot \\sqrt[3]{b}\\)):\n\\[\\sqrt[3]{24} = \\sqrt[3]{2^3 \\cdot 3} = 2\\sqrt[3]{3}\\]\n\\[\\sqrt[3]{192} = \\sqrt[3]{4^3 \\cdot 3} = 4\\sqrt[3]{3}\\]\n\n**Krok 3.** Dodajemy (jak wyrazy podobne - oba mają wspólny czynnik \\(\\sqrt[3]{3}\\)):\n\\[\\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{192} = 2\\sqrt[3]{3} + 4\\sqrt[3]{3} = \\mathbf{6\\sqrt[3]{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika spod pierwiastka\n\nInny punkt wejścia: zauważamy od razu, że \\(192 = 8 \\cdot 24\\).\n\n**Krok 1.** Wyłączamy \\(\\sqrt[3]{24}\\) jako wspólny czynnik:\n\\[\\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{192} = \\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{8 \\cdot 24} = \\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{8} \\cdot \\sqrt[3]{24}\\]\n\n**Krok 2.** Ponieważ \\(\\sqrt[3]{8} = 2\\):\n\\[= \\sqrt[3]{24} + 2\\sqrt[3]{24} = 3\\sqrt[3]{24}\\]\n\n**Krok 3.** Upraszczamy \\(\\sqrt[3]{24}\\):\n\\[3\\sqrt[3]{24} = 3\\sqrt[3]{8 \\cdot 3} = 3 \\cdot 2\\sqrt[3]{3} = \\mathbf{6\\sqrt[3]{3}}\\]\n\nTen sposób jest sprytniejszy - mniej rozkładów, ale wymaga zauważenia relacji \\(192 = 8 \\cdot 24\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własności pierwiastków:\n\\[\\sqrt[3]{a \\cdot b} = \\sqrt[3]{a} \\cdot \\sqrt[3]{b}\\]\n\\[\\sqrt[n]{a^n} = a \\quad \\text{(dla } a \\geq 0\\text{)}\\]\n\nUżyliśmy tych własności w obu Sposobach - rozbijając iloczyn spod pierwiastka i wyciągając pełną potęgę (np. \\(\\sqrt[3]{4^3} = 4\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Próba bezpośredniego dodania liczb pod pierwiastkami: \\(\\sqrt[3]{24 + 192} = \\sqrt[3]{216} = 6\\). **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{a} + \\sqrt[3]{b} \\neq \\sqrt[3]{a+b}\\)! |\n| B | Błędny rozkład: np. \\(24 = 4 \\cdot 6\\), \\(192 = 32 \\cdot 6\\), a potem błędne wyciągnięcie - wynik \\((2+4)\\sqrt[3]{6} = 6\\sqrt[3]{6}\\) albo \\(3\\sqrt[3]{6}\\) przy pomyleniu czynników. Pojawia się gdy ktoś \"widzi\" \\(\\sqrt[3]{6}\\) zamiast \\(\\sqrt[3]{3}\\). |\n| D | Połączenie dwóch błędów: próba dodania \\(\\sqrt[3]{a + b}\\) albo błędny rozkład na czynnik \\(\\sqrt[3]{6}\\) i dodatkowo błędny współczynnik. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno dodawać liczb **pod** pierwiastkami: \\(\\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{192} \\neq \\sqrt[3]{24+192}\\). To jeden z najczęstszych błędów - pierwiastki działają na mnożeniu, nie dodawaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szukaj pełnych sześcianów w rozkładzie. Pytanie: *ile razy 8 (= \\(2^3\\)) wchodzi w tę liczbę?* - to klucz do uproszczenia pierwiastka sześciennego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B (\\(3\\sqrt[3]{6}\\)) pojawia się, gdy pomylisz \\(\\sqrt[3]{3}\\) z \\(\\sqrt[3]{6}\\) - łatwo to zrobić \"z głowy\". Zawsze sprawdź, co dokładnie zostaje pod pierwiastkiem po wyciągnięciu sześcianu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie czynnika (karta wzorów, dział 1)\n\\(24 = 8 \\cdot 3\\), \\(192 = 64 \\cdot 3\\).\n\\[\\sqrt[3]{24} = \\sqrt[3]{8 \\cdot 3} = 2\\sqrt[3]{3}, \\quad \\sqrt[3]{192} = \\sqrt[3]{64 \\cdot 3} = 4\\sqrt[3]{3}.\\]\nSuma: \\(2\\sqrt[3]{3} + 4\\sqrt[3]{3} = 6\\sqrt[3]{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Przybliżenie numeryczne\n\\(\\sqrt[3]{24} \\approx 2{,}884\\), \\(\\sqrt[3]{192} \\approx 5{,}769\\). Suma \\(\\approx 8{,}653\\). \\(6\\sqrt[3]{3} \\approx 6 \\cdot 1{,}442 \\approx 8{,}653\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\)** - wartość znacznie mniejsza.\n- **B. \\(3\\sqrt[3]{6}\\)** - błędne wyłączenie czynnika.\n- **D. \\(6\\sqrt[3]{6}\\)** - niepoprawny rozkład na czynniki.\n\n**Trik:** szukaj największych sześcianów w liczbach podpierwiastkowych: \\(8 = 2^3\\), \\(64 = 4^3\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Liczby rzeczywiste","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 25-2
125-4 jest równa
A. 5-16
B. 5-2
C. 54
D. 58

\n

MMAP-P0_100
Liczba 25^{-2} / 125^{-4} jest równa A. 5^{-16} B. 5^{-2} C. 5^4 D. 5^8

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
I.4) stosuje […] prawa działań na potęgach
[…].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt[3]{3}\\)

\n

Sposób 1 - Wyłączanie przed pierwiastek

\n

Kluczowy pomysł: rozbijamy liczby pod pierwiastkami na iloczyn sześcianów i reszty.

\n

Krok 1. Rozkładamy \\(24\\) i \\(192\\):
\\[24 = 8 \\cdot 3 = 2^3 \\cdot 3\\]
\\[192 = 64 \\cdot 3 = 4^3 \\cdot 3\\]

\n

Krok 2. Wyłączamy pełne sześciany przed pierwiastek (korzystamy z \\(\\sqrt[3]{a \\cdot b} = \\sqrt[3]{a} \\cdot \\sqrt[3]{b}\\)):
\\[\\sqrt[3]{24} = \\sqrt[3]{2^3 \\cdot 3} = 2\\sqrt[3]{3}\\]
\\[\\sqrt[3]{192} = \\sqrt[3]{4^3 \\cdot 3} = 4\\sqrt[3]{3}\\]

\n

Krok 3. Dodajemy (jak wyrazy podobne - oba mają wspólny czynnik \\(\\sqrt[3]{3}\\)):
\\[\\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{192} = 2\\sqrt[3]{3} + 4\\sqrt[3]{3} = \\mathbf{6\\sqrt[3]{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika spod pierwiastka

\n

Inny punkt wejścia: zauważamy od razu, że \\(192 = 8 \\cdot 24\\).

\n

Krok 1. Wyłączamy \\(\\sqrt[3]{24}\\) jako wspólny czynnik:
\\[\\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{192} = \\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{8 \\cdot 24} = \\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{8} \\cdot \\sqrt[3]{24}\\]

\n

Krok 2. Ponieważ \\(\\sqrt[3]{8} = 2\\):
\\[= \\sqrt[3]{24} + 2\\sqrt[3]{24} = 3\\sqrt[3]{24}\\]

\n

Krok 3. Upraszczamy \\(\\sqrt[3]{24}\\):
\\[3\\sqrt[3]{24} = 3\\sqrt[3]{8 \\cdot 3} = 3 \\cdot 2\\sqrt[3]{3} = \\mathbf{6\\sqrt[3]{3}}\\]

\n

Ten sposób jest sprytniejszy - mniej rozkładów, ale wymaga zauważenia relacji \\(192 = 8 \\cdot 24\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - własności pierwiastków:
\\[\\sqrt[3]{a \\cdot b} = \\sqrt[3]{a} \\cdot \\sqrt[3]{b}\\]
\\[\\sqrt[n]{a^n} = a \\quad \\text{(dla } a \\geq 0\\text{)}\\]

\n

Użyliśmy tych własności w obu Sposobach - rozbijając iloczyn spod pierwiastka i wyciągając pełną potęgę (np. \\(\\sqrt[3]{4^3} = 4\\)).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Próba bezpośredniego dodania liczb pod pierwiastkami: \\(\\sqrt[3]{24 + 192} = \\sqrt[3]{216} = 6\\). Uwaga: \\(\\sqrt[3]{a} + \\sqrt[3]{b} \\neq \\sqrt[3]{a+b}\\)! |
| B | Błędny rozkład: np. \\(24 = 4 \\cdot 6\\), \\(192 = 32 \\cdot 6\\), a potem błędne wyciągnięcie - wynik \\((2+4)\\sqrt[3]{6} = 6\\sqrt[3]{6}\\) albo \\(3\\sqrt[3]{6}\\) przy pomyleniu czynników. Pojawia się gdy ktoś "widzi" \\(\\sqrt[3]{6}\\) zamiast \\(\\sqrt[3]{3}\\). |
| D | Połączenie dwóch błędów: próba dodania \\(\\sqrt[3]{a + b}\\) albo błędny rozkład na czynnik \\(\\sqrt[3]{6}\\) i dodatkowo błędny współczynnik. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno dodawać liczb pod pierwiastkami: \\(\\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{192} \\neq \\sqrt[3]{24+192}\\). To jeden z najczęstszych błędów - pierwiastki działają na mnożeniu, nie dodawaniu!
\n
⚠️ Uwaga: Szukaj pełnych sześcianów w rozkładzie. Pytanie: ile razy 8 (= \\(2^3\\)) wchodzi w tę liczbę? - to klucz do uproszczenia pierwiastka sześciennego.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź B (\\(3\\sqrt[3]{6}\\)) pojawia się, gdy pomylisz \\(\\sqrt[3]{3}\\) z \\(\\sqrt[3]{6}\\) - łatwo to zrobić "z głowy". Zawsze sprawdź, co dokładnie zostaje pod pierwiastkiem po wyciągnięciu sześcianu.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wyłączenie czynnika (karta wzorów, dział 1)
\n

\\(24 = 8 \\cdot 3\\), \\(192 = 64 \\cdot 3\\).
\\[\\sqrt[3]{24} = \\sqrt[3]{8 \\cdot 3} = 2\\sqrt[3]{3}, \\quad \\sqrt[3]{192} = \\sqrt[3]{64 \\cdot 3} = 4\\sqrt[3]{3}.\\]
Suma: \\(2\\sqrt[3]{3} + 4\\sqrt[3]{3} = 6\\sqrt[3]{3}\\).

\n
Sposób 2 - Przybliżenie numeryczne
\n

\\(\\sqrt[3]{24} \\approx 2{,}884\\), \\(\\sqrt[3]{192} \\approx 5{,}769\\). Suma \\(\\approx 8{,}653\\). \\(6\\sqrt[3]{3} \\approx 6 \\cdot 1{,}442 \\approx 8{,}653\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: szukaj największych sześcianów w liczbach podpierwiastkowych: \\(8 = 2^3\\), \\(64 = 4^3\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zapisu wyrażenia, które musimy obliczyć:
\n

$$\\frac{25^{-2}}{125^{-4}}$$

\n
  1. Przekształcamy liczby 25 i 125 w postać potęg liczby 5. Zauważamy, że:
\n

$$25 = 5^2 \\text{ oraz } 125 = 5^3$$

\n
  1. Zapisujemy nasze wyrażenie z użyciem tych postaci:
\n

$$\\frac{(5^2)^{-2}}{(5^3)^{-4}}$$

\n
  1. Używamy własności potęg, która mówi, że $(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$, aby uprościć:
\n

$$(5^2)^{-2} = 5^{2 \\cdot (-2)} = 5^{-4}$$
$$(5^3)^{-4} = 5^{3 \\cdot (-4)} = 5^{-12}$$

\n
  1. Zastępujemy w naszym wyrażeniu te uproszczone potęgi:
\n

$$\\frac{5^{-4}}{5^{-12}}$$

\n
  1. Teraz stosujemy kolejną własność potęg: $$\\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$. W naszym przypadku mamy więc:
\n

$$5^{-4 - (-12)} = 5^{-4 + 12}$$

\n
  1. Obliczamy wykładnik:
\n

$$-4 + 12 = 8$$

\n
  1. Ostatecznie otrzymujemy:
\n

$$5^8$$

\n
  1. Zidentyfikowaliśmy odpowiedź; porównujemy ją z dostępnymi opcjami. Nasze obliczenia prowadzą nas do:
\n

$$5^8$$, co odpowiada opcji D.

\n

Odpowiedź: 5^8

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Obliczamy wartość wyrażenia:

\n

frac 25^-2 125^-4

\n

Sprowadzamy liczby 25 i 125 do potęg liczby 5 :

\n

25=5^2, 125=5^3

\n

Zatem:

\n

25^-2=(5^2)^-2

\n

Korzystamy ze wzoru (a^m)^n=a^mn :

\n

(5^2)^-2=5^2·(-2)=5^-4

\n

Analogicznie:

\n

125^-4=(5^3)^-4=5^3·(-4)=5^-12

\n

Podstawiamy do wyrażenia:

\n

frac 25^-2 125^-4
frac 5^-4 5^-12

\n

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

\n

frac 5^-4 5^-12 =5^-4-(-12)

\n

Upraszczamy wykładnik:

\n

-4-(-12)=-4+12=8

\n

Zatem:

\n

5^-4-(-12)=5^8

\n

Odpowiedź: D. 5^8

"}]}