{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba sin 30° ⋅cos 60° + sin 60° ⋅cos 30° jest równa\nA. 1\n2\nB.\n√2\n2\nC.\n√3\n2\nD. 1\n\nMMAP-P0_100\nLiczba sin30°⋅cos60° + sin60°⋅cos30° jest równa A. 1/2 B. √2/2 C. √3/2 D. 1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus,\ncosinus […] dla kątów od 0° do 180°,\nw szczególności wyznacza wartości funkcji\ntrygonometrycznych dla kątów 30°, 45°,\n60°.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nTrójkąty \\(ABE\\) i \\(CDE\\) są podobne - \\(AB\\parallel CD\\), więc kąty \\(\\angle ABE=\\angle CDE\\) i \\(\\angle BAE=\\angle DCE\\) (naprzemianległe). Skala podobieństwa to \\(k=\\dfrac{|AB|}{|CD|}=2\\), zatem stosunek pól wynosi \\(k^2=4\\).\n\nStąd \\(P_{ABE}=4\\cdot P_{CDE}=4\\cdot 2=8\\). Odpowiedź **C**.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność trapezu\nW trapezie trójkąty \\(AED\\) i \\(BEC\\), utworzone przez przekątne, mają równe pola (stoją między tymi samymi podstawami \\(AD\\) i \\(BC\\) trójkątów \\(ABD\\) i \\(ABC\\) o wspólnej podstawie \\(AB\\) i tych samych wysokościach).\nZatem \\(P_{AED} = P_{BCE} = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Przez pole trójkąta \\(ABD\\)\n\\(P_{ABD} = P_{ABC}\\) (ta sama podstawa \\(AB\\), ta sama wysokość). Odejmując pole trójkąta \\(AEB\\):\n\\(P_{AED} = P_{ABD} - P_{AEB} = P_{ABC} - P_{AEB} = P_{BCE} = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - to pole trójkąta \\(CDE\\).\n- **B. \\(3\\)** - średnia, niepoprawna reguła.\n- **D. \\(8\\)** - podwojenie bez uzasadnienia.\n\n**Trik:** w każdym trapezie \\(P_{AED} = P_{BEC}\\), niezależnie od długości podstaw.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba sin 30° ⋅cos 60° + sin 60° ⋅cos 30° jest równa<br>A. 1<br>2<br>B.<br>√2<br>2<br>C.<br>√3<br>2<br>D. 1</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Liczba sin30°⋅cos60° + sin60°⋅cos30° jest równa A. 1/2 B. √2/2 C. √3/2 D. 1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VII.1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus,<br>cosinus […] dla kątów od 0° do 180°,<br>w szczególności wyznacza wartości funkcji<br>trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°,<br>60°.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Trójkąty \\(ABE\\) i \\(CDE\\) są podobne - \\(AB\\parallel CD\\), więc kąty \\(\\angle ABE=\\angle CDE\\) i \\(\\angle BAE=\\angle DCE\\) (naprzemianległe). Skala podobieństwa to \\(k=\\dfrac{|AB|}{|CD|}=2\\), zatem stosunek pól wynosi \\(k^2=4\\).</p>\n<p>Stąd \\(P_{ABE}=4\\cdot P_{CDE}=4\\cdot 2=8\\). Odpowiedź <strong>C</strong>.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własność trapezu</h5>\n<p>W trapezie trójkąty \\(AED\\) i \\(BEC\\), utworzone przez przekątne, mają równe pola (stoją między tymi samymi podstawami \\(AD\\) i \\(BC\\) trójkątów \\(ABD\\) i \\(ABC\\) o wspólnej podstawie \\(AB\\) i tych samych wysokościach).<br>Zatem \\(P_{AED} = P_{BCE} = 4\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez pole trójkąta \\(ABD\\)</h5>\n<p>\\(P_{ABD} = P_{ABC}\\) (ta sama podstawa \\(AB\\), ta sama wysokość). Odejmując pole trójkąta \\(AEB\\):<br>\\(P_{AED} = P_{ABD} - P_{AEB} = P_{ABC} - P_{AEB} = P_{BCE} = 4\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\)</strong> - to pole trójkąta \\(CDE\\).</li><li><strong>B. \\(3\\)</strong> - średnia, niepoprawna reguła.</li><li><strong>D. \\(8\\)</strong> - podwojenie bez uzasadnienia.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w każdym trapezie \\(P_{AED} = P_{BEC}\\), niezależnie od długości podstaw.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, wiemy, że $\\sin 30^\\circ = \\displaystyle\\small\\frac{1}{2}$, $\\cos 60^\\circ = \\displaystyle\\small\\frac{1}{2}$, $\\sin 60^\\circ = \\displaystyle\\small\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ i $\\cos 30^\\circ = \\displaystyle\\small\\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Zatem, $\\displaystyle\\small\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{1}{4} + \\frac{3}{4} = 1$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Korzystamy ze wzoru:</p>\n<p>sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)</p>\n<p>W zadaniu mamy:</p>\n<p>sin30^°·cos60^°+sin60^°·cos30^°</p>\n<p>To jest:</p>\n<p>sin30^°cos60^°+cos30^°sin60^°</p>\n<p>czyli:</p>\n<p>sin(30^°+60^°)=sin90^°=1</p>\n<p>Odpowiedź: D. 1 .</p>"}]}