Zadanie 21.
Punkty 饾惔, 饾惖, 饾惗 oraz 饾惙 le偶膮 na okr臋gu o 艣rodku w punkcie 饾憜 i o promieniu 36.
Punkt 饾憜 le偶y na odcinku 饾惖饾惙. K膮t 饾惖饾惙饾惔 ma miar臋 40掳, a k膮t 饾惙饾惖饾惗 ma miar臋 65掳
(zobacz rysunek).
Punkty A, B, C oraz D le偶膮 na okr臋gu o 艣rodku w punkcie S i o promieniu 36. Punkt S le偶y na odcinku BD. K膮t BDA ma miar臋 40掳, a k膮t DBC ma miar臋 65掳 (zobacz rysunek). [rysunek] Doko艅cz zdanie. Wybierz w艂a艣ciw膮 odpowied藕 spo艣r贸d podanych. Miara k膮ta ostrego BSA jest r贸wna A. 20掳 B. 40掳 C. 50掳 & D. 80掳
Znamy dwa boki tr贸jk膮ta i k膮t mi臋dzy nimi:
\nBezpo艣rednio stosujemy wz贸r:
\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |AC| \\cdot \\sin(\\angle CAB)\\]
\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4 \\cdot \\sin 60掳\\]
\nK膮t \\(60掳\\) to k膮t "z艂oty" - znamy jego warto艣膰 na pami臋膰:
\n\\[\\sin 60掳 = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
\nZatem:
\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{1}{2} \\cdot 24 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{24\\sqrt{3}}{4} = \\mathbf{6\\sqrt{3}}\\]
\nNarysujmy wysoko艣膰 \\(h\\) z wierzcho艂ka \\(C\\) na bok \\(AB\\). W tr贸jk膮cie prostok膮tnym \\(ACH\\) (gdzie \\(H\\) to stopa wysoko艣ci):
\n\\[\\sin(\\angle CAB) = \\frac{h}{|AC|}\\]
\n\\[h = |AC| \\cdot \\sin 60掳 = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]
\nTeraz obliczamy pole jako po艂owa podstawy razy wysoko艣膰:
\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 2\\sqrt{3} = \\frac{1}{2} \\cdot 12\\sqrt{3} = \\mathbf{6\\sqrt{3}}\\]
\nOba sposoby daj膮 ten sam wynik - poprawna odpowied藕 to B.
\nDzia艂 10 (Planimetria, s. 15-16) - pole tr贸jk膮ta z dw贸ch bok贸w i k膮ta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]
U偶yli艣my tego wzoru w Sposobie 1, podstawiaj膮c \\(a = 6\\), \\(b = 4\\), \\(\\gamma = 60掳\\).
Dzia艂 9 (Trygonometria, s. 11-12) - warto艣膰 funkcji trygonometrycznej:
\\[\\sin 60掳 = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
Kluczowa warto艣膰 u偶yta w obu sposobach.
| Odp. | B艂膮d |
| A (\\(6\\)) | Policzono \\(\\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4 \\cdot \\frac{1}{2}\\) - wzi臋to \\(\\sin 60掳 = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) (to warto艣膰 \\(\\sin 30掳\\)!) |
| C (\\(12\\)) | Zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze na pole - policzono \\(6 \\cdot 4 \\cdot \\frac{1}{2}\\cdot \\frac{1}{\\text{czego艣}}\\) lub po prostu \\(\\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4 = 12\\) ignoruj膮c \\(\\sin 60掳\\) |
| D (\\(12\\sqrt{3}\\)) | Zapomniano o \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze - policzono \\(6 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\) |
鈿狅笍 Uwaga: \\(\\sin 30掳 = \\frac{1}{2}\\), ale \\(\\sin 60掳 = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - to najcz臋stszy b艂膮d! Nie myli膰 tych dw贸ch warto艣ci.\n
鈿狅笍 Uwaga: We wzorze \\(P = \\frac{1}{2} ab \\sin\\gamma\\) u艂amek \\(\\frac{1}{2}\\) jest obowi膮zkowy - bez niego wynik jest dwa razy za du偶y (odpowied藕 D).\n
鈿狅笍 Uwaga: Wz贸r dzia艂a tylko wtedy, gdy \\(\\gamma\\) to k膮t mi臋dzy podanymi bokami \\(a\\) i \\(b\\). Tu \\(60掳\\) to k膮t \\(\\angle CAB\\), kt贸ry le偶y dok艂adnie mi臋dzy bokami \\(AC\\) i \\(AB\\) - warunek jest spe艂niony.\n
Poprawna odpowied藕: B
\n\\[P = \\dfrac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |AC| \\cdot \\sin(\\angle CAB) = \\dfrac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4 \\cdot \\sin 60^{\\circ} = 12 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}.\\]
\nWysoko艣膰 z \\(C\\) na \\(AB\\): \\(h = |AC| \\cdot \\sin 60^{\\circ} = 4 \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\).
\\(P = \\tfrac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 2\\sqrt{3} = 6\\sqrt{3}\\).
Trik: gdy znasz dwa boki i k膮t mi臋dzy nimi, u偶ywaj \\(P = \\tfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\).
"}]}