{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22.\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 6, |𝐴𝐶| = 4 oraz |∡𝐶𝐴𝐵| = 60° (zobacz\nrysunek).\nDany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=6, |AC|=4 oraz |∠CAB| = 60° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta ABC jest równe A. 6 B. 6√3 C. 12 D. 12√3","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(m = 0\\))\n\n## Sposób 1 - Warunek równoległości prostych (równe współczynniki kierunkowe)\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne:\n\\[a_k = a_l \\quad \\text{i} \\quad b_k \\neq b_l\\]\n\nOdczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:\n- prosta \\(k\\): współczynnik kierunkowy \\(= 3 - m\\)\n- prosta \\(l\\): współczynnik kierunkowy \\(= m + 3\\)\n\nPrzyrównujemy:\n\\[3 - m = m + 3\\]\n\\[3 - 3 = m + m\\]\n\\[0 = 2m\\]\n\\[\\boxed{m = 0}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne** (tożsame proste nie są równoległe - to ten sam obiekt):\n\nDla \\(m = 0\\):\n- prosta \\(k\\): \\(y = 3x + 5\\)\n- prosta \\(l\\): \\(y = 3x - 4\\)\n\nWyrazy wolne \\(5 \\neq -4\\) - **proste są różne**, więc rzeczywiście równoległe. ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem każdej odpowiedzi\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź, czy daje równe współczynniki kierunkowe:\n\n| \\(m\\) | \\(a_k = 3-m\\) | \\(a_l = m+3\\) | Równe? |\n| \\(-3\\) | \\(6\\) | \\(0\\) | ✗ |\n| \\(0\\) | \\(3\\) | \\(3\\) | ✓ |\n| \\(\\sqrt{10}\\) | \\(3 - \\sqrt{10}\\) | \\(3 + \\sqrt{10}\\) | ✗ |\n| \\(3\\) | \\(0\\) | \\(6\\) | ✗ |\n\nJedynie \\(m = 0\\) daje \\(a_k = a_l = 3\\), więc **odpowiedź B**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n\\[\\text{Proste równoległe} \\iff a_1 = a_2\\]\n\ngdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe w równaniu \\(y = ax + b\\).\n\nUżyliśmy tego warunku w Sposobie 1 do ustawienia równania \\(3 - m = m + 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(m = -3\\)) | Uczeń liczy \\(3 - m = 0\\) zamiast przyrównać \\(a_k = a_l\\), czyli szuka kiedy jeden ze współczynników wynosi 0 |\n| C (\\(m = \\sqrt{10}\\)) | Uczeń przyrównuje \\((3-m)^2 = (m+3)^2\\) (np. kwadratuje równanie), co daje dodatkowe fałszywe rozwiązanie \\(m = 0\\) i \\(m = \\) - błąd transformacji |\n| D (\\(m = 3\\)) | Uczeń liczy \\(m + 3 = 6\\) myląc się co do tego, który wyraz to współczynnik kierunkowy, lub szuka kiedy \\(3 - m = 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równoległość to **nie to samo** co prostopadłość. Dla prostopadłości warunek brzmi \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), nie \\(a_1 = a_2\\). Nie pomyl tych dwóch warunków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(m\\) koniecznie sprawdź, czy proste **nie są tożsame** (identyczne). Tożsame proste mają te same wyrazy wolne - w takim przypadku nie są \"równoległe\" w klasycznym sensie. Tutaj \\(5 \\neq -4\\), więc wszystko OK.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu \\(a_k = 3 - m\\) - uważaj na kolejność: to nie jest \\(m - 3\\)! Łatwo pomylić znak przy przepisywaniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Równe współczynniki kierunkowe (karta wzorów, dział 8)\nProste są równoległe gdy \\(a_{k} = a_{l}\\) (i \\(b_{k} \\ne b_{l}\\) by nie były tożsame):\n\\[3 - m = m + 3\\]\n\\[-2m = 0\\]\n\\[m = 0.\\]\nWyrazy wolne \\(5 \\ne -4\\) - warunek równoległości (a nie tożsamości) spełniony.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie dla \\(m=0\\)\n\\(k: y = 3x + 5\\), \\(l: y = 3x - 4\\). Obie mają \\(a = 3\\), więc są równoległe ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - \\(a_{k}=6, a_{l}=0\\), różne.\n- **C. \\(\\sqrt{10}\\)** - błąd, nie spełnia równania.\n- **D. \\(3\\)** - \\(a_{k}=0, a_{l}=6\\), różne.\n\n**Trik:** równoległość = równe współczynniki kierunkowe.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":null,"page_from":20,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 22.<br>Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 6, |𝐴𝐶| = 4 oraz |∡𝐶𝐴𝐵| = 60° (zobacz<br>rysunek).<br>Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=6, |AC|=4 oraz |∠CAB| = 60° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta ABC jest równe A. 6 B. 6√3 C. 12 D. 12√3</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (\\(m = 0\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Warunek równoległości prostych (równe współczynniki kierunkowe)</h4>\n<p>Dwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są <strong>równoległe</strong>, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne:<br>\\[a_k = a_l \\quad \\text{i} \\quad b_k \\neq b_l\\]</p>\n<p>Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:</p>\n<ul><li>prosta \\(k\\): współczynnik kierunkowy \\(= 3 - m\\)</li><li>prosta \\(l\\): współczynnik kierunkowy \\(= m + 3\\)</li></ul>\n<p>Przyrównujemy:<br>\\[3 - m = m + 3\\]<br>\\[3 - 3 = m + m\\]<br>\\[0 = 2m\\]<br>\\[\\boxed{m = 0}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne</strong> (tożsame proste nie są równoległe - to ten sam obiekt):</p>\n<p>Dla \\(m = 0\\):</p>\n<ul><li>prosta \\(k\\): \\(y = 3x + 5\\)</li><li>prosta \\(l\\): \\(y = 3x - 4\\)</li></ul>\n<p>Wyrazy wolne \\(5 \\neq -4\\) - <strong>proste są różne</strong>, więc rzeczywiście równoległe. ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem każdej odpowiedzi</h4>\n<p>Sprawdzamy każdą odpowiedź, czy daje równe współczynniki kierunkowe:</p>\n<p>| \\(m\\) | \\(a_k = 3-m\\) | \\(a_l = m+3\\) | Równe? |<br>| \\(-3\\) | \\(6\\) | \\(0\\) | ✗ |<br>| \\(0\\) | \\(3\\) | \\(3\\) | ✓ |<br>| \\(\\sqrt{10}\\) | \\(3 - \\sqrt{10}\\) | \\(3 + \\sqrt{10}\\) | ✗ |<br>| \\(3\\) | \\(0\\) | \\(6\\) | ✗ |</p>\n<p>Jedynie \\(m = 0\\) daje \\(a_k = a_l = 3\\), więc <strong>odpowiedź B</strong>. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek równoległości prostych:</p>\n<p>\\[\\text{Proste równoległe} \\iff a_1 = a_2\\]</p>\n<p>gdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe w równaniu \\(y = ax + b\\).</p>\n<p>Użyliśmy tego warunku w Sposobie 1 do ustawienia równania \\(3 - m = m + 3\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A (\\(m = -3\\)) | Uczeń liczy \\(3 - m = 0\\) zamiast przyrównać \\(a_k = a_l\\), czyli szuka kiedy jeden ze współczynników wynosi 0 |<br>| C (\\(m = \\sqrt{10}\\)) | Uczeń przyrównuje \\((3-m)^2 = (m+3)^2\\) (np. kwadratuje równanie), co daje dodatkowe fałszywe rozwiązanie \\(m = 0\\) i \\(m = \\) - błąd transformacji |<br>| D (\\(m = 3\\)) | Uczeń liczy \\(m + 3 = 6\\) myląc się co do tego, który wyraz to współczynnik kierunkowy, lub szuka kiedy \\(3 - m = 0\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równoległość to <strong>nie to samo</strong> co prostopadłość. Dla prostopadłości warunek brzmi \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), nie \\(a_1 = a_2\\). Nie pomyl tych dwóch warunków!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po znalezieniu \\(m\\) koniecznie sprawdź, czy proste <strong>nie są tożsame</strong> (identyczne). Tożsame proste mają te same wyrazy wolne - w takim przypadku nie są &quot;równoległe&quot; w klasycznym sensie. Tutaj \\(5 \\neq -4\\), więc wszystko OK.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W zadaniu \\(a_k = 3 - m\\) - uważaj na kolejność: to nie jest \\(m - 3\\)! Łatwo pomylić znak przy przepisywaniu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Równe współczynniki kierunkowe (karta wzorów, dział 8)</h5>\n<p>Proste są równoległe gdy \\(a_{k} = a_{l}\\) (i \\(b_{k} \\ne b_{l}\\) by nie były tożsame):<br>\\[3 - m = m + 3\\]<br>\\[-2m = 0\\]<br>\\[m = 0.\\]<br>Wyrazy wolne \\(5 \\ne -4\\) - warunek równoległości (a nie tożsamości) spełniony.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie dla \\(m=0\\)</h5>\n<p>\\(k: y = 3x + 5\\), \\(l: y = 3x - 4\\). Obie mają \\(a = 3\\), więc są równoległe ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-3\\)</strong> - \\(a_{k}=6, a_{l}=0\\), różne.</li><li><strong>C. \\(\\sqrt{10}\\)</strong> - błąd, nie spełnia równania.</li><li><strong>D. \\(3\\)</strong> - \\(a_{k}=0, a_{l}=6\\), różne.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> równoległość = równe współczynniki kierunkowe.</p>"}]}