{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: 𝑦= (3 -𝑚)𝑥+ 5\n𝑙: 𝑦= (𝑚+ 3)𝑥-4\nUzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie\nbyło prawdziwe.\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami k: y = (3-m)x+5 l\\!: y = (m+3)x-4 Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa ............... .","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniami prostych na\npłaszczyźnie, w postaci kierunkowej […],\nw tym wyznacza równanie prostej\no zadanych własnościach (takich, jak np.\n[…] równoległość do innej prostej).\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawne uzupełnienie zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nRozwiązanie\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa 0.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(h = 4\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na objętość walca\n\nZnamy wzór na objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(r = 2\\), \\(V = 16\\pi^2\\):\n\\[\\pi \\cdot 2^2 \\cdot h = 16\\pi^2\\]\n\\[4\\pi h = 16\\pi^2\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(4\\pi\\):\n\\[h = \\frac{16\\pi^2}{4\\pi} = 4\\pi\\]\n\n**Wysokość walca wynosi \\(4\\pi\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy dla \\(r = 2\\) i \\(h = 4\\pi\\) objętość wynosi \\(16\\pi^2\\):\n\\[V = \\pi \\cdot 2^2 \\cdot 4\\pi = \\pi \\cdot 4 \\cdot 4\\pi = 16\\pi^2 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio, podstawiając \\(V = 16\\pi^2\\) i \\(r = 2\\), żeby wyznaczyć \\(h\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(2\\) | Uczeń wstawia \\(h = r = 2\\) bez liczenia - zgaduje zamiast rozwiązać |\n| B. \\(4\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{16}{4} = 4\\), zapominając, że \\(\\pi\\) z wzoru i \\(\\pi^2\\) z objętości nie redukują się w całości - zostaje jedno \\(\\pi\\) |\n| C. \\(2\\pi\\) | Uczeń poprawnie upraszcza \\(\\pi\\), ale błędnie dzieli: \\(\\frac{16}{4} = 2\\) zamiast \\(4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Objętość zawiera \\(\\pi^2\\) - to sygnał, że wysokość też będzie zawierać \\(\\pi\\). Nie ma w tym nic dziwnego: \\(\\pi \\cdot r^2 \\cdot h = \\pi \\cdot 4 \\cdot 4\\pi = 16\\pi^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu \\(\\frac{16\\pi^2}{4\\pi}\\) pamiętaj, że \\(\\frac{\\pi^2}{\\pi} = \\pi\\) - zostaje jedno \\(\\pi\\) w wyniku. Bardzo częsty błąd to \"zgubienie\" tego \\(\\pi\\) i wybranie odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl promienia z promieniem kwadratem: \\(r = 2\\), więc \\(r^2 = 4\\), a nie \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na objętość walca (karta wzorów, dział G11)\n\\[V = \\pi r^{2} H \\Rightarrow 16\\pi^{2} = \\pi \\cdot 4 \\cdot H \\Rightarrow H = \\dfrac{16\\pi^{2}}{4\\pi} = 4\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Przekształcenie wprost\n\\(V = \\pi r^{2} H\\). Podstawiamy \\(r = 2\\): \\(V = 4\\pi H\\).\nStąd \\(H = \\tfrac{V}{4\\pi} = \\tfrac{16\\pi^{2}}{4\\pi} = 4\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - pominięto \\(\\pi\\) w objętości.\n- **B. \\(4\\)** - zignorowano jedno \\(\\pi\\).\n- **C. \\(2\\pi\\)** - błąd rachunkowy.\n\n**Trik:** uważaj - objętość ma \\(\\pi^{2}\\) (nie \\(\\pi\\)), więc wysokość musi zawierać \\(\\pi\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Funkcja liniowa","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami<br>𝑘: 𝑦= (3 -𝑚)𝑥+ 5<br>𝑙: 𝑦= (𝑚+ 3)𝑥-4<br>Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie<br>było prawdziwe.<br>Proste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami k: y = (3-m)x+5 l\\!: y = (m+3)x-4 Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa ............... .</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>IX.2) posługuje się równaniami prostych na<br>płaszczyźnie, w postaci kierunkowej […],<br>w tym wyznacza równanie prostej<br>o zadanych własnościach (takich, jak np.<br>[…] równoległość do innej prostej).<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - poprawne uzupełnienie zdania.<br>0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.<br>Rozwiązanie<br>Proste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa 0.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(h = 4\\pi\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór na objętość walca</h4>\n<p>Znamy wzór na objętość walca:<br>\\[V = \\pi r^2 h\\]</p>\n<p>Podstawiamy dane: \\(r = 2\\), \\(V = 16\\pi^2\\):<br>\\[\\pi \\cdot 2^2 \\cdot h = 16\\pi^2\\]<br>\\[4\\pi h = 16\\pi^2\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\(4\\pi\\):<br>\\[h = \\frac{16\\pi^2}{4\\pi} = 4\\pi\\]</p>\n<p><strong>Wysokość walca wynosi \\(4\\pi\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie wyniku)</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy dla \\(r = 2\\) i \\(h = 4\\pi\\) objętość wynosi \\(16\\pi^2\\):<br>\\[V = \\pi \\cdot 2^2 \\cdot 4\\pi = \\pi \\cdot 4 \\cdot 4\\pi = 16\\pi^2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - objętość walca:<br>\\[V = \\pi r^2 h\\]<br>Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio, podstawiając \\(V = 16\\pi^2\\) i \\(r = 2\\), żeby wyznaczyć \\(h\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A. \\(2\\) | Uczeń wstawia \\(h = r = 2\\) bez liczenia - zgaduje zamiast rozwiązać |<br>| B. \\(4\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{16}{4} = 4\\), zapominając, że \\(\\pi\\) z wzoru i \\(\\pi^2\\) z objętości nie redukują się w całości - zostaje jedno \\(\\pi\\) |<br>| C. \\(2\\pi\\) | Uczeń poprawnie upraszcza \\(\\pi\\), ale błędnie dzieli: \\(\\frac{16}{4} = 2\\) zamiast \\(4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Objętość zawiera \\(\\pi^2\\) - to sygnał, że wysokość też będzie zawierać \\(\\pi\\). Nie ma w tym nic dziwnego: \\(\\pi \\cdot r^2 \\cdot h = \\pi \\cdot 4 \\cdot 4\\pi = 16\\pi^2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy dzieleniu \\(\\frac{16\\pi^2}{4\\pi}\\) pamiętaj, że \\(\\frac{\\pi^2}{\\pi} = \\pi\\) - zostaje jedno \\(\\pi\\) w wyniku. Bardzo częsty błąd to &quot;zgubienie&quot; tego \\(\\pi\\) i wybranie odpowiedzi B.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl promienia z promieniem kwadratem: \\(r = 2\\), więc \\(r^2 = 4\\), a nie \\(2\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na objętość walca (karta wzorów, dział G11)</h5>\n<p>\\[V = \\pi r^{2} H \\Rightarrow 16\\pi^{2} = \\pi \\cdot 4 \\cdot H \\Rightarrow H = \\dfrac{16\\pi^{2}}{4\\pi} = 4\\pi.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przekształcenie wprost</h5>\n<p>\\(V = \\pi r^{2} H\\). Podstawiamy \\(r = 2\\): \\(V = 4\\pi H\\).<br>Stąd \\(H = \\tfrac{V}{4\\pi} = \\tfrac{16\\pi^{2}}{4\\pi} = 4\\pi\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\)</strong> - pominięto \\(\\pi\\) w objętości.</li><li><strong>B. \\(4\\)</strong> - zignorowano jedno \\(\\pi\\).</li><li><strong>C. \\(2\\pi\\)</strong> - błąd rachunkowy.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> uważaj - objętość ma \\(\\pi^{2}\\) (nie \\(\\pi\\)), więc wysokość musi zawierać \\(\\pi\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisania równań prostych $k$ i $l$:</li></ol>\n<p>$$ k: \\, y = (3 - m)x + 5 $$<br>$$ l: \\, y = (m + 3)x - 4 $$</p>\n<ol><li>Aby ustalić, kiedy proste są równoległe, należy porównać ich współczynniki kierunkowe. Z równania prostej $y = mx + b$ widzimy, że współczynnik kierunkowy to $m$.</li></ol>\n<ol><li>W przypadku prostej $k$, współczynnik kierunkowy wynosi $(3 - m)$, zaś w prostej $l$ wynosi $(m + 3)$.</li></ol>\n<ul><li>Dla $k$: $$ a_k = 3 - m $$</li><li>Dla $l$: $$ a_l = m + 3 $$</li></ul>\n<ol><li>Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe. Możemy więc zapisać równanie:</li></ol>\n<p>$$ 3 - m = m + 3 $$</p>\n<ol><li>Rozwiązujemy powyższe równanie. Najpierw dodamy $m$ do obu stron, aby pozbyć się $m$ z lewej strony:</li></ol>\n<p>$$ 3 = 2m + 3 $$</p>\n<ol><li>Następnie odejmujemy $3$ od obu stron:</li></ol>\n<p>$$ 0 = 2m $$</p>\n<ol><li>Dzielimy obie strony przez $2$, aby obliczyć $m$:</li></ol>\n<p>$$ m = 0 $$</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> 0</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe.</p>\n<p>Dane są proste:</p>\n<p>k: y=(3-m)x+5</p>\n<p>l: y=(m+3)x-4</p>\n<p>Współczynniki kierunkowe to:</p>\n<p>3-m oraz m+3</p>\n<p>Warunek równoległości:</p>\n<p>3-m=m+3</p>\n<p>-m=m</p>\n<p>2m=0</p>\n<p>m=0</p>"}]}