{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o równaniu\n𝒪: (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 4\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nOkrąg 𝒪 nie ma punktów wspólnych z osią 𝑂𝑥 układu współrzędnych.\nP\nF\nOkrąg 𝒪 ma z osią 𝑂𝑦 układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o równaniu O: (x-1)² + (y+3)² = 4 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Okrąg O nie ma punktów wspólnych z osią Ox układu współrzędnych. | P | F | Okrąg O ma z osią Oy układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne. | P | F |","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(75\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie według cyfry setek\n\n**Cyfry nieparzyste to: 1, 3, 5, 7, 9** - jest ich 5.\n\nSzukamy trzycyfrowych liczb **większych od 500**, w których **każda cyfra jest nieparzysta**.\n\nCyfra setek musi być nieparzysta i nadawać liczbie wartość > 500. Cyfra setek może być zatem:\n- \\(5\\) → liczby \\(5\\text{??}\\), od 511 w górę, wszystkie \\(> 500\\) ✓\n- \\(7\\) → liczby \\(7\\text{??}\\), wszystkie \\(> 500\\) ✓\n- \\(9\\) → liczby \\(9\\text{??}\\), wszystkie \\(> 500\\) ✓\n\n(Cyfry 1 i 3 na miejscu setek dają liczby \\(< 500\\) - odpadają.)\n\nDla każdego z 3 wyborów cyfry setek:\n- cyfra dziesiątek: 5 możliwości \\((1, 3, 5, 7, 9)\\)\n- cyfra jedności: 5 możliwości \\((1, 3, 5, 7, 9)\\)\n\nŁącznie:\n\\[3 \\times 5 \\times 5 = \\mathbf{75}\\]\n\n## Sposób 2 - Odjęcie od pełnego zbioru\n\n**Wszystkie** trzycyfrowe liczby z samymi cyframi nieparzyste:\n\\[5 \\times 5 \\times 5 = 125\\]\n(5 możliwości na każde z 3 miejsc)\n\nOdejmujemy liczby **nieprzekraczające 500** (tj. \\(\\leq 500\\)) z samymi nieparzyste:\n- Cyfra setek \\(= 1\\): \\(5 \\times 5 = 25\\) liczb\n- Cyfra setek \\(= 3\\): \\(5 \\times 5 = 25\\) liczb\n- Cyfra setek \\(= 5\\): liczby \\(5\\text{??}\\) z cyframi nieparzyste zaczynają się od 511 - wszystkie są \\(> 500\\), więc **żadna nie odpada**\n\nZatem:\n\\[125 - 25 - 25 = \\mathbf{75}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zasada mnożenia (reguła iloczynu) z kombinatoryki: jeśli pierwsze zdarzenie ma \\(m\\) możliwości, a drugie \\(n\\), to łącznie jest \\(m \\cdot n\\) możliwości.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A. 13** | Poważny błąd rachunkowy - np. liczenie tylko jednej pozycji cyfry zamiast wszystkich trzech pozycji naraz |\n| **B. 50** | Wzięto tylko cyfry setek \\(7\\) i \\(9\\), zapominając, że liczby z setką \\(5\\) **też są większe od 500** (bo 511 > 500): \\(2 \\times 5 \\times 5 = 50\\) zamiast \\(3 \\times 5 \\times 5 = 75\\) |\n| **D. 107** | Prawdopodobnie uwzględniono liczby z cyfrą setek \\(= 1\\) lub \\(3\\), nie zwracając uwagi na warunek \\(> 500\\), albo pomylono „cyfry nieparzyste\" z „przynajmniej jedna cyfra nieparzysta\" |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczby **5**11, **5**13, …, **5**99 (z cyfrą setek = 5) **są większe od 500** - nie wolno ich pomijać! To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „tylko cyfry nieparzyste\" dotyczy **wszystkich trzech cyfr** - setek, dziesiątek i jedności. Każda z nich musi być z zestawu \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(0\\) jest **parzysta** - nie należy do cyfr nieparzystych. Liczba 501 zawiera cyfrę 0, więc **nie spełnia** warunku.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia (karta wzorów, dział 10)\nCyfry nieparzyste: \\(\\{1,3,5,7,9\\}\\) (5 cyfr).\nLiczba \\(> 500\\) i trzycyfrowa, wszystkie cyfry nieparzyste:\n- Cyfra setek \\(\\in \\{5,7,9\\}\\) - 3 możliwości (bo \\(\\geq 5\\) nieparzysta, a \\(500\\) ma parzyste \\(0\\), więc zaczynamy od \\(\\geq 501\\); cyfra setek musi być nieparzysta i \\(\\geq 5\\)).\n- Cyfra dziesiątek: 5 możliwości.\n- Cyfra jedności: 5 możliwości.\nŁącznie: \\(3 \\cdot 5 \\cdot 5 = 75\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie uwagi o \\(500\\)\nCyfra setek \\(\\in\\{5,7,9\\}\\) wszystkie dają liczby \\(\\geq 500\\). \\(5\\bar{0}0 = 500\\) nie spełnia (dziesiątki parzyste). Najmniejsza kandydatka to \\(511 > 500\\) ✓. Nie ma problemu z granicą.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(13\\)** - za mało.\n- **B. \\(50\\)** - tylko \\(2 \\cdot 5 \\cdot 5\\), pominięto jedną cyfrę setek.\n- **D. \\(107\\)** - zlicza wszystkie, w tym parzyste cyfry.\n\n**Trik:** reguła mnożenia: mnóż liczby możliwości dla każdego miejsca niezależnie.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Równanie okręgu","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o równaniu<br>𝒪: (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 4<br>Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest<br>prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.<br>Okrąg 𝒪 nie ma punktów wspólnych z osią 𝑂𝑥 układu współrzędnych.<br>P<br>F<br>Okrąg 𝒪 ma z osią 𝑂𝑦 układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.<br>P<br>F</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o równaniu O: (x-1)² + (y+3)² = 4 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Okrąg O nie ma punktów wspólnych z osią Ox układu współrzędnych. | P | F | Okrąg O ma z osią Oy układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne. | P | F |</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>IX.4) posługuje się równaniem okręgu<br>(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>PP<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(75\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zliczanie według cyfry setek</h4>\n<p><strong>Cyfry nieparzyste to: 1, 3, 5, 7, 9</strong> - jest ich 5.</p>\n<p>Szukamy trzycyfrowych liczb <strong>większych od 500</strong>, w których <strong>każda cyfra jest nieparzysta</strong>.</p>\n<p>Cyfra setek musi być nieparzysta i nadawać liczbie wartość &gt; 500. Cyfra setek może być zatem:</p>\n<ul><li>\\(5\\) → liczby \\(5\\text{??}\\), od 511 w górę, wszystkie \\(&gt; 500\\) ✓</li><li>\\(7\\) → liczby \\(7\\text{??}\\), wszystkie \\(&gt; 500\\) ✓</li><li>\\(9\\) → liczby \\(9\\text{??}\\), wszystkie \\(&gt; 500\\) ✓</li></ul>\n<p>(Cyfry 1 i 3 na miejscu setek dają liczby \\(&lt; 500\\) - odpadają.)</p>\n<p>Dla każdego z 3 wyborów cyfry setek:</p>\n<ul><li>cyfra dziesiątek: 5 możliwości \\((1, 3, 5, 7, 9)\\)</li><li>cyfra jedności: 5 możliwości \\((1, 3, 5, 7, 9)\\)</li></ul>\n<p>Łącznie:<br>\\[3 \\times 5 \\times 5 = \\mathbf{75}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Odjęcie od pełnego zbioru</h4>\n<p><strong>Wszystkie</strong> trzycyfrowe liczby z samymi cyframi nieparzyste:<br>\\[5 \\times 5 \\times 5 = 125\\]<br>(5 możliwości na każde z 3 miejsc)</p>\n<p>Odejmujemy liczby <strong>nieprzekraczające 500</strong> (tj. \\(\\leq 500\\)) z samymi nieparzyste:</p>\n<ul><li>Cyfra setek \\(= 1\\): \\(5 \\times 5 = 25\\) liczb</li><li>Cyfra setek \\(= 3\\): \\(5 \\times 5 = 25\\) liczb</li><li>Cyfra setek \\(= 5\\): liczby \\(5\\text{??}\\) z cyframi nieparzyste zaczynają się od 511 - wszystkie są \\(&gt; 500\\), więc <strong>żadna nie odpada</strong></li></ul>\n<p>Zatem:<br>\\[125 - 25 - 25 = \\mathbf{75}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zasada mnożenia (reguła iloczynu) z kombinatoryki: jeśli pierwsze zdarzenie ma \\(m\\) możliwości, a drugie \\(n\\), to łącznie jest \\(m \\cdot n\\) możliwości.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A. 13</strong> | Poważny błąd rachunkowy - np. liczenie tylko jednej pozycji cyfry zamiast wszystkich trzech pozycji naraz |<br>| <strong>B. 50</strong> | Wzięto tylko cyfry setek \\(7\\) i \\(9\\), zapominając, że liczby z setką \\(5\\) <strong>też są większe od 500</strong> (bo 511 &gt; 500): \\(2 \\times 5 \\times 5 = 50\\) zamiast \\(3 \\times 5 \\times 5 = 75\\) |<br>| <strong>D. 107</strong> | Prawdopodobnie uwzględniono liczby z cyfrą setek \\(= 1\\) lub \\(3\\), nie zwracając uwagi na warunek \\(&gt; 500\\), albo pomylono „cyfry nieparzyste&quot; z „przynajmniej jedna cyfra nieparzysta&quot; |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczby <strong>5</strong>11, <strong>5</strong>13, …, <strong>5</strong>99 (z cyfrą setek = 5) <strong>są większe od 500</strong> - nie wolno ich pomijać! To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi B.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek „tylko cyfry nieparzyste&quot; dotyczy <strong>wszystkich trzech cyfr</strong> - setek, dziesiątek i jedności. Każda z nich musi być z zestawu \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Cyfra \\(0\\) jest <strong>parzysta</strong> - nie należy do cyfr nieparzystych. Liczba 501 zawiera cyfrę 0, więc <strong>nie spełnia</strong> warunku.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Reguła mnożenia (karta wzorów, dział 10)</h5>\n<p>Cyfry nieparzyste: \\(\\{1,3,5,7,9\\}\\) (5 cyfr).<br>Liczba \\(&gt; 500\\) i trzycyfrowa, wszystkie cyfry nieparzyste:</p>\n<ul><li>Cyfra setek \\(\\in \\{5,7,9\\}\\) - 3 możliwości (bo \\(\\geq 5\\) nieparzysta, a \\(500\\) ma parzyste \\(0\\), więc zaczynamy od \\(\\geq 501\\); cyfra setek musi być nieparzysta i \\(\\geq 5\\)).</li><li>Cyfra dziesiątek: 5 możliwości.</li><li>Cyfra jedności: 5 możliwości.</li></ul>\n<p>Łącznie: \\(3 \\cdot 5 \\cdot 5 = 75\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie uwagi o \\(500\\)</h5>\n<p>Cyfra setek \\(\\in\\{5,7,9\\}\\) wszystkie dają liczby \\(\\geq 500\\). \\(5\\bar{0}0 = 500\\) nie spełnia (dziesiątki parzyste). Najmniejsza kandydatka to \\(511 &gt; 500\\) ✓. Nie ma problemu z granicą.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(13\\)</strong> - za mało.</li><li><strong>B. \\(50\\)</strong> - tylko \\(2 \\cdot 5 \\cdot 5\\), pominięto jedną cyfrę setek.</li><li><strong>D. \\(107\\)</strong> - zlicza wszystkie, w tym parzyste cyfry.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> reguła mnożenia: mnóż liczby możliwości dla każdego miejsca niezależnie.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Okrąg ma równanie:</p>\n<p>(x-1)^2+(y+3)^2=4</p>\n<p>Stąd środek okręgu to:</p>\n<p>S=(1,-3)</p>\n<p>a promień:</p>\n<p>r=2</p>\n<p>Odległość środka od osi Ox wynosi 3 . Ponieważ 3&gt;2 , okrąg nie ma punktów wspólnych z osią Ox . Pierwsze zdanie jest prawdziwe.</p>\n<p>Odległość środka od osi Oy wynosi 1 . Ponieważ 1&lt;2 , oś Oy przecina okrąg w dwóch punktach. Drugie zdanie jest prawdziwe.</p>\n<p>Odpowiedź: P, P.</p>"}]}