{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-4)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. Wysokość podstawy 𝐴𝐵𝐶 jest\nrówna 2√3. Przekątna 𝐴𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐵𝐸𝐷 tworzy z krawędzią 𝐴𝐵 kąt o mierze 60°\n(zobacz rysunek).\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.\n2ξ3\n60°\n𝐴\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐵\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF. Wysokość podstawy ABC jest równa 2√3. Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt o mierze 60° (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów […], również\nz wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa\noraz poprawne wyniki: 𝑉= 48 i 𝑃𝑐= 56√3.\n3 pkt - obliczenie objętości graniastosłupa: 𝑉= 48,\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: 𝑃𝑐= 56√3.\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 4 oraz obliczenie wysokości\ngraniastosłupa: 𝐻= 4√3,\nALBO\n- zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝑉= 𝑎2 ⋅ √3\n4\n⋅𝑎√3, oraz zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej\ngraniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅ √3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝑎√3.\n1 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 4,\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy a wysokością\ngraniastosłupa, np.: tg 60° = 𝐻\n𝑎\n, 𝐻= 𝑎√3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nc) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów,\nd) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,\nlub\ne) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola\npowierzchni całkowitej graniastosłupa).\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-e), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, ale otrzyma długość\nkrawędzi podstawy większą od 2√3, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej\ngraniastosłupa).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość graniastosłupa.\nZauważamy, że 𝑎> 0 i 𝐻> 0.\nPodstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, stąd:\n2√3 = 𝑎√3\n2\nZatem:\n𝑎= 4\nObliczamy wysokość 𝐻 graniastosłupa:\ntg 60° = 𝐻\n𝑎= 𝐻\n4\n2ξ3\n60°\n𝐴\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐵\n𝑎\n𝐻\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd:\n𝐻= 4 ⋅tg 60° = 4√3\nObliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa:\n𝑉= 𝑎2 ⋅√3\n4\n⋅𝐻= 42 ⋅√3\n4\n⋅4√3 = 4√3 ⋅4√3 = 48\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 graniastosłupa:\n𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅√3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝐻= 2 ⋅42 ⋅√3\n4\n+ 3 ⋅4 ⋅4√3 = 8√3 + 48√3 = 56√3","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-3,\\ 1)\\)\n\nZadanie otwarte (0-2) - wyznaczamy zbiór wszystkich rozwiązań nierówności.\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci ogólnej i pierwiastki trójmianu\n\n**Krok 1: Przenosimy wszystko na lewą stronę.**\n\n\\[-3x^2 > 6x - 9\\]\n\\[-3x^2 - 6x + 9 > 0\\]\n\n**Krok 2: Dzielimy obie strony przez \\(-3\\).**\n\nUwaga: dzielimy przez liczbę **ujemną**, więc **zmieniamy znak nierówności** z \\(>\\) na \\(<\\):\n\n\\[x^2 + 2x - 3 < 0\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy pierwiastki trójmianu \\(x^2 + 2x - 3\\).**\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-3) = 4 + 12 = 16\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 4\\]\n\nPierwiastki:\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-2 - 4}{2} = \\frac{-6}{2} = -3\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-2 + 4}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Krok 4: Odczytujemy zbiór rozwiązań.**\n\nParabola \\(y = x^2 + 2x - 3\\) ma współczynnik przy \\(x^2\\) dodatni (\\(a = 1 > 0\\)), więc jej ramiona są skierowane **w górę**. Wartości **ujemne** (\\(< 0\\)) przyjmuje **między** miejscami zerowymi.\n\nZatem:\n\\[x^2 + 2x - 3 < 0 \\iff x \\in (-3,\\ 1)\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in (-3,\\ 1)\\)\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (wzory Viète'a)\n\nDla trójmianu \\(x^2 + 2x - 3\\) szukamy dwóch liczb o sumie \\(-2\\) (czyli \\(-b\\)) i iloczynie \\(-3\\) (czyli \\(c\\)). Są to \\(-3\\) oraz \\(1\\):\n\\[(-3) + 1 = -2, \\qquad (-3) \\cdot 1 = -3\\]\n\nStąd:\n\\[x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x + 3)(x - 1) < 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy czynniki mają **różne znaki**, co zachodzi dla \\(x\\) leżącego między \\(-3\\) a \\(1\\):\n\\[x \\in (-3,\\ 1)\\]\n\n## Weryfikacja\n\nSprawdźmy \\(x = 0\\) (leży w \\((-3,1)\\)) w wyjściowej nierówności \\(-3x^2 > 6x - 9\\):\n\\[L = -3 \\cdot 0 = 0, \\qquad P = 6 \\cdot 0 - 9 = -9\\]\n\\[0 > -9 \\quad \\checkmark\\]\n\nSprawdźmy \\(x = 2\\) (poza przedziałem):\n\\[L = -3 \\cdot 4 = -12, \\qquad P = 6 \\cdot 2 - 9 = 3\\]\n\\[-12 > 3 \\quad \\text{fałsz} \\ \\checkmark\\]\n\nWynik \\(x \\in (-3, 1)\\) jest zgodny z kluczem CKE.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-3, 1)\\)**\n\n### Sposób 1 - Standardowa postać (karta wzorów, dział 3)\nPrzekształcamy: \\(-3x^{2} > 6x - 9 \\iff -3x^{2} - 6x + 9 > 0\\).\nDzielimy przez \\(-3\\) (zmiana znaku nierówności):\n\\[x^{2} + 2x - 3 < 0.\\]\nWyznaczamy miejsca zerowe: \\(\\Delta = 4 + 12 = 16\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 4\\):\n\\[x_{1} = \\dfrac{-2-4}{2} = -3, \\quad x_{2} = \\dfrac{-2+4}{2} = 1.\\]\nParabola \\(y = x^{2}+2x-3\\) ma ramiona w górę, więc \\(< 0\\) między miejscami zerowymi:\n\\[x \\in (-3, 1).\\]\n\n### Sposób 2 - Rozkład na czynniki\n\\(x^{2} + 2x - 3 = (x+3)(x-1) < 0\\). Iloczyn ujemny gdy czynniki mają różne znaki:\n\\(-3 < x < 1\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt - poprawne rozwiązanie \\(x \\in (-3,1)\\).\n- 1 pkt - obliczenie pierwiastków \\(x_{1} = -3, x_{2} = 1\\).\n- Zapis w postaci \\(x \\in [-3, 1]\\) to 1 pkt (błędny typ nawiasów).\n\n**Trik:** dzieląc przez \\(-3\\) ZAWSZE zmień znak nierówności.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-4)<br>Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. Wysokość podstawy 𝐴𝐵𝐶 jest<br>równa 2√3. Przekątna 𝐴𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐵𝐸𝐷 tworzy z krawędzią 𝐴𝐵 kąt o mierze 60°<br>(zobacz rysunek).<br>Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.<br>2ξ3<br>60°<br>𝐴<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>𝐶<br>𝐵</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF. Wysokość podstawy ABC jest równa 2√3. Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt o mierze 60° (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>X.5) oblicza objętości i pola powierzchni<br>graniastosłupów […], również<br>z wykorzystaniem trygonometrii.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa<br>oraz poprawne wyniki: 𝑉= 48 i 𝑃𝑐= 56√3.<br>3 pkt - obliczenie objętości graniastosłupa: 𝑉= 48,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: 𝑃𝑐= 56√3.</li></ul>\n<p>2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 4 oraz obliczenie wysokości<br>graniastosłupa: 𝐻= 4√3,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np.</li></ul>\n<p>𝑉= 𝑎2 ⋅ √3<br>4<br>⋅𝑎√3, oraz zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej<br>graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅ √3<br>4</p>\n<ul><li>3 ⋅𝑎⋅𝑎√3.</li></ul>\n<p>1 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 4,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy a wysokością</li></ul>\n<p>graniastosłupa, np.: tg 60° = 𝐻<br>𝑎<br>, 𝐻= 𝑎√3.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:</li></ol>\n<p>a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,<br>b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,<br>c) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów,<br>d) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,<br>lub<br>e) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°,<br>i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać<br>co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola<br>powierzchni całkowitej graniastosłupa).<br>Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-e), to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, ale otrzyma długość</li></ol>\n<p>krawędzi podstawy większą od 2√3, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe<br>rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej<br>graniastosłupa).<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:<br>𝑎 - długość krawędzi podstawy,<br>𝐻 - wysokość graniastosłupa.<br>Zauważamy, że 𝑎&gt; 0 i 𝐻&gt; 0.<br>Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, stąd:<br>2√3 = 𝑎√3<br>2<br>Zatem:<br>𝑎= 4<br>Obliczamy wysokość 𝐻 graniastosłupa:<br>tg 60° = 𝐻<br>𝑎= 𝐻<br>4<br>2ξ3<br>60°<br>𝐴<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>𝐶<br>𝐵<br>𝑎<br>𝐻<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Stąd:<br>𝐻= 4 ⋅tg 60° = 4√3<br>Obliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa:<br>𝑉= 𝑎2 ⋅√3<br>4<br>⋅𝐻= 42 ⋅√3<br>4<br>⋅4√3 = 4√3 ⋅4√3 = 48<br>Obliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 graniastosłupa:<br>𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅√3<br>4</p>\n<ul><li>3 ⋅𝑎⋅𝐻= 2 ⋅42 ⋅√3</li></ul>\n<p>4</p>\n<ul><li>3 ⋅4 ⋅4√3 = 8√3 + 48√3 = 56√3</li></ul>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-3,\\ 1)\\)</h4>\n<p>Zadanie otwarte (0-2) - wyznaczamy zbiór wszystkich rozwiązań nierówności.</p>\n<h4>Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci ogólnej i pierwiastki trójmianu</h4>\n<p><strong>Krok 1: Przenosimy wszystko na lewą stronę.</strong></p>\n<p>\\[-3x^2 &gt; 6x - 9\\]<br>\\[-3x^2 - 6x + 9 &gt; 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Dzielimy obie strony przez \\(-3\\).</strong></p>\n<p>Uwaga: dzielimy przez liczbę <strong>ujemną</strong>, więc <strong>zmieniamy znak nierówności</strong> z \\(&gt;\\) na \\(&lt;\\):</p>\n<p>\\[x^2 + 2x - 3 &lt; 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznaczamy pierwiastki trójmianu \\(x^2 + 2x - 3\\).</strong></p>\n<p>Liczymy wyróżnik:<br>\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-3) = 4 + 12 = 16\\]<br>\\[\\sqrt{\\Delta} = 4\\]</p>\n<p>Pierwiastki:<br>\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-2 - 4}{2} = \\frac{-6}{2} = -3\\]<br>\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-2 + 4}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Odczytujemy zbiór rozwiązań.</strong></p>\n<p>Parabola \\(y = x^2 + 2x - 3\\) ma współczynnik przy \\(x^2\\) dodatni (\\(a = 1 &gt; 0\\)), więc jej ramiona są skierowane <strong>w górę</strong>. Wartości <strong>ujemne</strong> (\\(&lt; 0\\)) przyjmuje <strong>między</strong> miejscami zerowymi.</p>\n<p>Zatem:<br>\\[x^2 + 2x - 3 &lt; 0 \\iff x \\in (-3,\\ 1)\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(x \\in (-3,\\ 1)\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - Rozkład na czynniki (wzory Viète&#x27;a)</h4>\n<p>Dla trójmianu \\(x^2 + 2x - 3\\) szukamy dwóch liczb o sumie \\(-2\\) (czyli \\(-b\\)) i iloczynie \\(-3\\) (czyli \\(c\\)). Są to \\(-3\\) oraz \\(1\\):<br>\\[(-3) + 1 = -2, \\qquad (-3) \\cdot 1 = -3\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)\\]</p>\n<p>Nierówność przyjmuje postać:<br>\\[(x + 3)(x - 1) &lt; 0\\]</p>\n<p>Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy czynniki mają <strong>różne znaki</strong>, co zachodzi dla \\(x\\) leżącego między \\(-3\\) a \\(1\\):<br>\\[x \\in (-3,\\ 1)\\]</p>\n<h4>Weryfikacja</h4>\n<p>Sprawdźmy \\(x = 0\\) (leży w \\((-3,1)\\)) w wyjściowej nierówności \\(-3x^2 &gt; 6x - 9\\):<br>\\[L = -3 \\cdot 0 = 0, \\qquad P = 6 \\cdot 0 - 9 = -9\\]<br>\\[0 &gt; -9 \\quad \\checkmark\\]</p>\n<p>Sprawdźmy \\(x = 2\\) (poza przedziałem):<br>\\[L = -3 \\cdot 4 = -12, \\qquad P = 6 \\cdot 2 - 9 = 3\\]<br>\\[-12 &gt; 3 \\quad \\text{fałsz} \\ \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik \\(x \\in (-3, 1)\\) jest zgodny z kluczem CKE.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-3, 1)\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Standardowa postać (karta wzorów, dział 3)</h5>\n<p>Przekształcamy: \\(-3x^{2} &gt; 6x - 9 \\iff -3x^{2} - 6x + 9 &gt; 0\\).<br>Dzielimy przez \\(-3\\) (zmiana znaku nierówności):<br>\\[x^{2} + 2x - 3 &lt; 0.\\]<br>Wyznaczamy miejsca zerowe: \\(\\Delta = 4 + 12 = 16\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 4\\):<br>\\[x_{1} = \\dfrac{-2-4}{2} = -3, \\quad x_{2} = \\dfrac{-2+4}{2} = 1.\\]<br>Parabola \\(y = x^{2}+2x-3\\) ma ramiona w górę, więc \\(&lt; 0\\) między miejscami zerowymi:<br>\\[x \\in (-3, 1).\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozkład na czynniki</h5>\n<p>\\(x^{2} + 2x - 3 = (x+3)(x-1) &lt; 0\\). Iloczyn ujemny gdy czynniki mają różne znaki:<br>\\(-3 &lt; x &lt; 1\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>2 pkt - poprawne rozwiązanie \\(x \\in (-3,1)\\).</li><li>1 pkt - obliczenie pierwiastków \\(x_{1} = -3, x_{2} = 1\\).</li><li>Zapis w postaci \\(x \\in [-3, 1]\\) to 1 pkt (błędny typ nawiasów).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dzieląc przez \\(-3\\) ZAWSZE zmień znak nierówności.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny. Wysokość tego trójkąta jest równa:</p>\n<p>2√(3)</p>\n<p>Dla trójkąta równobocznego:</p>\n<p>h=(a√(3))/(2)</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>(a√(3))/(2)=2√(3)</p>\n<p>a=4</p>\n<p>Pole podstawy:</p>\n<p>P_p=(a^2√(3))/(4)=(4^2√(3))/(4)=4√(3)</p>\n<p>Ściana boczna ABED jest prostokątem. Przekątna AE tworzy z krawędzią AB kąt 60^° , więc:</p>\n<p>tan60^°=(H)/(AB)</p>\n<p>√(3)=(H)/(4)</p>\n<p>H=4√(3)</p>\n<p>Objętość:</p>\n<p>V=P_p· H=4√(3)·4√(3)=48</p>\n<p>Pole powierzchni bocznej:</p>\n<p>P_b=obwód podstawy· H=3·4·4√(3)=48√(3)</p>\n<p>Pole dwóch podstaw:</p>\n<p>2P_p=8√(3)</p>\n<p>Pole powierzchni całkowitej:</p>\n<p>P_c=48√(3)+8√(3)=56√(3)</p>"}]}