{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nObjętość walca o promieniu podstawy 2 jest równa 16𝜋2.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWysokość tego walca jest równa\nA. 2\nB. 4\nC. 2𝜋\nD. 4𝜋\nObjętość walca o promieniu podstawy 2 jest równa 16π^2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wysokość tego walca jest równa A. 2 B. 4 C. 2π D. 4π","answer":"D","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości […] walca […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: liczba \\(8^{50} - 2^{145}\\) jest podzielna przez \\(31\\)\n\nZadanie otwarte - wykazujemy podzielność, nie wybieramy spośród opcji ABCD.\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\n**Kluczowa obserwacja:** Sprowadzamy wszystko do tej samej podstawy \\(2\\).\n\n\\[8^{50} = (2^3)^{50} = 2^{150}\\]\n\nZatem:\n\n\\[8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145}\\]\n\n**Wyłączamy \\(2^{145}\\) przed nawias:**\n\n\\[2^{150} - 2^{145} = 2^{145}(2^5 - 1) = 2^{145} \\cdot 31\\]\n\nPonieważ \\(2^{145} \\cdot 31\\) zawiera czynnik \\(31\\), liczba ta jest **podzielna przez \\(31\\)**. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Rachunek modulo \\(31\\)\n\nPokażemy, że \\(8^{50} - 2^{145} \\equiv 0 \\pmod{31}\\).\n\n**Krok 1 - kluczowa obserwacja:**\n\n\\[2^5 = 32 = 31 + 1 \\equiv 1 \\pmod{31}\\]\n\n**Krok 2 - obliczamy \\(2^{145} \\pmod{31}\\):**\n\n\\[145 = 5 \\cdot 29, \\quad \\text{więc } 2^{145} = (2^5)^{29} \\equiv 1^{29} = 1 \\pmod{31}\\]\n\n**Krok 3 - obliczamy \\(8^{50} \\pmod{31}\\):**\n\n\\[8^{50} = (2^3)^{50} = 2^{150} = 2^{5 \\cdot 30} = (2^5)^{30} \\equiv 1^{30} = 1 \\pmod{31}\\]\n\n**Krok 4 - wnioskujemy:**\n\n\\[8^{50} - 2^{145} \\equiv 1 - 1 = 0 \\pmod{31}\\]\n\nZatem \\(31 \\mid (8^{50} - 2^{145})\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n\nUżyliśmy tego przekształcając \\((2^3)^{50} = 2^{150}\\) oraz rozkładając \\(2^{150} = (2^5)^{30}\\).\n\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s} \\quad \\Rightarrow \\quad a^{r-s} = \\frac{a^r}{a^s}\\]\n\nTo uzasadnia wyłączenie \\(2^{145}\\) przed nawias: \\(2^{150} = 2^{145} \\cdot 2^5\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj liczyć \\(8^{50}\\) ani \\(2^{145}\\) wprost - to liczby astronomiczne. Cały sekret tkwi w **sprowadzeniu do wspólnej podstawy** i wyłączeniu czynnika.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy Sposobie 2 kluczowe jest znalezienie potęgi \\(2^k \\equiv 1 \\pmod{31}\\). Tu mamy szczęście: \\(2^5 = 32 = 31 + 1\\), więc \\(2^5 \\equiv 1\\). Następnie sprawdzamy, czy wykładniki \\(150\\) i \\(145\\) są **podzielne przez 5** - i tak jest (\\(150 = 5 \\cdot 30\\), \\(145 = 5 \\cdot 29\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W rozwiązaniu Sposób 1 wystarczy napisać **jedno zdanie uzasadnienia** po wyłączeniu czynnika: „Wyraz \\(2^{145} \\cdot 31\\) jest iloczynem zawierającym \\(31\\), więc jest podzielny przez \\(31\\).\" Wielu uczniów zapomina o tym zdaniu - a egzaminator tego właśnie oczekuje!\n\n**Dowód podzielności przez 31**\n\n### Sposób 1 - Wspólny czynnik (karta wzorów, dział 1)\nZamieniamy \\(8^{50}\\) na potęgę dwójki: \\(8 = 2^{3}\\), więc \\(8^{50} = (2^{3})^{50} = 2^{150}\\).\nZatem:\n\\[8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145} = 2^{145}(2^{5} - 1) = 2^{145} \\cdot 31.\\]\nLiczba \\(2^{145}\\) jest całkowita, więc \\(8^{50} - 2^{145} = 31 \\cdot 2^{145}\\) jest podzielna przez \\(31\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Kongruencje (mod 31)\n\\(2^{5} = 32 \\equiv 1 \\pmod{31}\\). \\(2^{150} = (2^{5})^{30} \\equiv 1 \\pmod{31}\\). \\(2^{145} = 2^{145}\\), a \\(145 = 5 \\cdot 29\\), więc \\(2^{145} = (2^{5})^{29} \\equiv 1 \\pmod{31}\\). Różnica: \\(1 - 1 = 0 \\pmod{31}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt - pełne rozumowanie.\n- 1 pkt - przekształcenie \\(8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145}\\).\n\n**Trik:** wyłącz najmniejszą potęgę \\(2\\) przed nawias: \\(2^{n}(2^{m}-1)\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Bryły obrotowe","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Objętość walca o promieniu podstawy 2 jest równa 16𝜋2.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wysokość tego walca jest równa<br>A. 2<br>B. 4<br>C. 2𝜋<br>D. 4𝜋<br>Objętość walca o promieniu podstawy 2 jest równa 16π^2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wysokość tego walca jest równa A. 2 B. 4 C. 2π D. 4π</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>X.5) oblicza objętości […] walca […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: liczba \\(8^{50} - 2^{145}\\) jest podzielna przez \\(31\\)</h4>\n<p>Zadanie otwarte - wykazujemy podzielność, nie wybieramy spośród opcji ABCD.</p>\n<h4>Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> Sprowadzamy wszystko do tej samej podstawy \\(2\\).</p>\n<p>\\[8^{50} = (2^3)^{50} = 2^{150}\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145}\\]</p>\n<p><strong>Wyłączamy \\(2^{145}\\) przed nawias:</strong></p>\n<p>\\[2^{150} - 2^{145} = 2^{145}(2^5 - 1) = 2^{145} \\cdot 31\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(2^{145} \\cdot 31\\) zawiera czynnik \\(31\\), liczba ta jest <strong>podzielna przez \\(31\\)</strong>. \\(\\blacksquare\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - Rachunek modulo \\(31\\)</h4>\n<p>Pokażemy, że \\(8^{50} - 2^{145} \\equiv 0 \\pmod{31}\\).</p>\n<p><strong>Krok 1 - kluczowa obserwacja:</strong></p>\n<p>\\[2^5 = 32 = 31 + 1 \\equiv 1 \\pmod{31}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - obliczamy \\(2^{145} \\pmod{31}\\):</strong></p>\n<p>\\[145 = 5 \\cdot 29, \\quad \\text{więc } 2^{145} = (2^5)^{29} \\equiv 1^{29} = 1 \\pmod{31}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - obliczamy \\(8^{50} \\pmod{31}\\):</strong></p>\n<p>\\[8^{50} = (2^3)^{50} = 2^{150} = 2^{5 \\cdot 30} = (2^5)^{30} \\equiv 1^{30} = 1 \\pmod{31}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - wnioskujemy:</strong></p>\n<p>\\[8^{50} - 2^{145} \\equiv 1 - 1 = 0 \\pmod{31}\\]</p>\n<p>Zatem \\(31 \\mid (8^{50} - 2^{145})\\). \\(\\blacksquare\\)</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - działania na potęgach:</p>\n<p>\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego przekształcając \\((2^3)^{50} = 2^{150}\\) oraz rozkładając \\(2^{150} = (2^5)^{30}\\).</p>\n<p>\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s} \\quad \\Rightarrow \\quad a^{r-s} = \\frac{a^r}{a^s}\\]</p>\n<p>To uzasadnia wyłączenie \\(2^{145}\\) przed nawias: \\(2^{150} = 2^{145} \\cdot 2^5\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie próbuj liczyć \\(8^{50}\\) ani \\(2^{145}\\) wprost - to liczby astronomiczne. Cały sekret tkwi w <strong>sprowadzeniu do wspólnej podstawy</strong> i wyłączeniu czynnika.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy Sposobie 2 kluczowe jest znalezienie potęgi \\(2^k \\equiv 1 \\pmod{31}\\). Tu mamy szczęście: \\(2^5 = 32 = 31 + 1\\), więc \\(2^5 \\equiv 1\\). Następnie sprawdzamy, czy wykładniki \\(150\\) i \\(145\\) są <strong>podzielne przez 5</strong> - i tak jest (\\(150 = 5 \\cdot 30\\), \\(145 = 5 \\cdot 29\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W rozwiązaniu Sposób 1 wystarczy napisać <strong>jedno zdanie uzasadnienia</strong> po wyłączeniu czynnika: „Wyraz \\(2^{145} \\cdot 31\\) jest iloczynem zawierającym \\(31\\), więc jest podzielny przez \\(31\\).&quot; Wielu uczniów zapomina o tym zdaniu - a egzaminator tego właśnie oczekuje!</blockquote>\n<p><strong>Dowód podzielności przez 31</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wspólny czynnik (karta wzorów, dział 1)</h5>\n<p>Zamieniamy \\(8^{50}\\) na potęgę dwójki: \\(8 = 2^{3}\\), więc \\(8^{50} = (2^{3})^{50} = 2^{150}\\).<br>Zatem:<br>\\[8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145} = 2^{145}(2^{5} - 1) = 2^{145} \\cdot 31.\\]<br>Liczba \\(2^{145}\\) jest całkowita, więc \\(8^{50} - 2^{145} = 31 \\cdot 2^{145}\\) jest podzielna przez \\(31\\). \\(\\blacksquare\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Kongruencje (mod 31)</h5>\n<p>\\(2^{5} = 32 \\equiv 1 \\pmod{31}\\). \\(2^{150} = (2^{5})^{30} \\equiv 1 \\pmod{31}\\). \\(2^{145} = 2^{145}\\), a \\(145 = 5 \\cdot 29\\), więc \\(2^{145} = (2^{5})^{29} \\equiv 1 \\pmod{31}\\). Różnica: \\(1 - 1 = 0 \\pmod{31}\\). \\(\\blacksquare\\)</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>2 pkt - pełne rozumowanie.</li><li>1 pkt - przekształcenie \\(8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> wyłącz najmniejszą potęgę \\(2\\) przed nawias: \\(2^{n}(2^{m}-1)\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od wzoru na objętość walca, który zapisujemy jako: $$V = \\text{Pole podstawy} \\times \\text{wysokość}$$.\\</li><li>Pole podstawy walca, będącego kołem o promieniu $r$, obliczamy ze wzoru: $$\\text{Pole podstawy} = \\text{π}r^2$$. Ponieważ promień podstawy walca wynosi $2$, to mamy: $$\\text{Pole podstawy} = \\text{π} \\times (2)^2 = 4\\text{π}$$.\\</li><li>Teraz podstawiamy uzyskaną wartość do wzoru na objętość: $$V = 4\\text{π} \\times h$$, gdzie $h$ to wysokość walca.\\</li><li>W treści zadania mamy podaną objętość walca: $$V = 16\\text{π}^2$$.\\</li><li>Przyrównujemy obie wyrażenia na objętość: $$16\\text{π}^2 = 4\\text{π} \\times h$$.\\</li><li>Aby obliczyć wysokość $h$, dzielimy obie strony równania przez $4\\text{π}$: $$h = \\frac{16\\text{π}^2}{4\\text{π}}$$.\\</li><li>Uproszczamy wyrażenie: $$h = \\frac{16}{4} \\times \\frac{\\text{π}^2}{\\text{π}} = 4 \\times \\text{π} = 4\\text{π}$$.\\</li><li>Ostatecznie wysokość walca wynosi: $$h = 4\\text{π}$$.\\</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> Wysokość walca jest równa $4\\text{π}$, co odpowiada opcji D.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Objętość walca obliczamy ze wzoru:</p>\n<p>V=π r^2H</p>\n<p>Dane:</p>\n<p>r=2, V=16π^2</p>\n<p>Podstawiamy:</p>\n<p>16π^2=π·2^2· H</p>\n<p>16π^2=4π H</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez 4π :</p>\n<p>H=(16π^2)/(4π)=4π</p>\n<p>Odpowiedź: B. 4π .</p>"}]}