{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 500, w których zapisie\ndziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest\nA. 13\nB. 50\nC. 75\nD. 107\n\nMMAP-P0_100\nWszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 500, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest A. 13 B. 50 C. 75 D. 107","answer":"C","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x_1 = \\dfrac{6}{5}\\) oraz \\(x_2 = \\dfrac{4}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wymnożenie na krzyż + wzór na pierwiastki\n\n**Krok 1 - wymnażamy na krzyż (mnożymy obie strony przez \\((3x-7)(x-8)\\)):**\n\n\\[3(x-8) = 5x(3x-7)\\]\n\n**Krok 2 - rozwijamy nawiasy:**\n\n\\[3x - 24 = 15x^2 - 35x\\]\n\n**Krok 3 - przenosimy wszystko na jedną stronę:**\n\n\\[0 = 15x^2 - 35x - 3x + 24\\]\n\\[15x^2 - 38x + 24 = 0\\]\n\n**Krok 4 - liczymy wyróżnik \\(\\Delta\\):**\n\n\\[\\Delta = (-38)^2 - 4 \\cdot 15 \\cdot 24 = 1444 - 1440 = 4\\]\n\n**Krok 5 - wyznaczamy pierwiastki:**\n\n\\[x_{1,2} = \\frac{38 \\pm \\sqrt{4}}{2 \\cdot 15} = \\frac{38 \\pm 2}{30}\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{38 - 2}{30} = \\frac{36}{30} = \\mathbf{\\frac{6}{5}}, \\qquad x_2 = \\frac{38 + 2}{30} = \\frac{40}{30} = \\mathbf{\\frac{4}{3}}\\]\n\n**Krok 6 - sprawdzamy warunki dziedziny:**\n\nWykluczyliśmy \\(x = \\frac{7}{3}\\) i \\(x = 8\\). Ani \\(\\frac{6}{5}\\), ani \\(\\frac{4}{3}\\) nie jest wykluczone, więc **oba rozwiązania są poprawne**.\n\n## Sposób 2 - rozkład na czynniki\n\nPo krzyżowym wymnożeniu dostajemy tak samo:\n\\[15x^2 - 38x + 24 = 0\\]\n\nZamiast korzystać z \\(\\Delta\\), próbujemy rozłożyć trójmian na czynniki. Szukamy liczb \\(a, b, c, d\\) takich, że:\n\\[(ax - b)(cx - d) = acx^2 - (ad + bc)x + bd\\]\n\nPotrzebujemy: \\(ac = 15\\), \\(bd = 24\\), \\(ad + bc = 38\\).\n\nPróbujemy \\((5x - 6)(3x - 4)\\):\n\\[5 \\cdot 3 = 15 \\checkmark, \\quad 6 \\cdot 4 = 24 \\checkmark, \\quad 5 \\cdot 4 + 6 \\cdot 3 = 20 + 18 = 38 \\checkmark\\]\n\nZatem:\n\\[(5x - 6)(3x - 4) = 0\\]\n\n\\[5x - 6 = 0 \\implies x_1 = \\frac{6}{5}, \\qquad 3x - 4 = 0 \\implies x_2 = \\frac{4}{3}\\]\n\n**Weryfikacja \\(x_1 = \\frac{6}{5}\\):**\n\\[\\text{Lewa:} \\quad \\frac{3}{3 \\cdot \\frac{6}{5} - 7} = \\frac{3}{\\frac{18}{5} - \\frac{35}{5}} = \\frac{3}{-\\frac{17}{5}} = -\\frac{15}{17}\\]\n\\[\\text{Prawa:} \\quad \\frac{5 \\cdot \\frac{6}{5}}{\\frac{6}{5} - 8} = \\frac{6}{\\frac{6 - 40}{5}} = \\frac{6}{-\\frac{34}{5}} = -\\frac{30}{34} = -\\frac{15}{17} \\checkmark\\]\n\n**Weryfikacja \\(x_2 = \\frac{4}{3}\\):**\n\\[\\text{Lewa:} \\quad \\frac{3}{3 \\cdot \\frac{4}{3} - 7} = \\frac{3}{4 - 7} = \\frac{3}{-3} = -1\\]\n\\[\\text{Prawa:} \\quad \\frac{5 \\cdot \\frac{4}{3}}{\\frac{4}{3} - 8} = \\frac{\\frac{20}{3}}{\\frac{4 - 24}{3}} = \\frac{20}{-20} = -1 \\checkmark\\]\n\nOba rozwiązania się zgadzają.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 po sprowadzeniu równania do postaci \\(15x^2 - 38x + 24 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wymnożeniu na krzyż wypadnie równanie kwadratowe - pamiętaj, żeby przenieść **wszystko na jedną stronę** i wyzerować, zanim zaczniesz szukać pierwiastków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Koniecznie sprawdź, czy wyznaczone \\(x\\) nie pokrywają się z wartościami wykluczonymi przez dziedzinę (\\(x \\neq \\frac{7}{3}\\), \\(x \\neq 8\\)). Gdyby tak było, takie rozwiązanie należy **odrzucić**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to odrzucenie jednego z dwóch pierwiastków „na oko\" bez sprawdzenia. Oba \\(\\frac{6}{5}\\) i \\(\\frac{4}{3}\\) są poprawne - zadanie ma **dwa rozwiązania**.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{6}{5}\\) oraz \\(x = \\dfrac{4}{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Krzyżowe mnożenie\nZ \\(\\dfrac{3}{3x-7} = \\dfrac{5x}{x-8}\\) (gdzie \\(x \\ne \\tfrac{7}{3}, 8\\)):\n\\[3(x-8) = 5x(3x-7)\\]\n\\[3x - 24 = 15x^{2} - 35x\\]\n\\[15x^{2} - 38x + 24 = 0.\\]\n\\(\\Delta = 38^{2} - 4 \\cdot 15 \\cdot 24 = 1444 - 1440 = 4\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 2\\).\n\\[x_{1} = \\dfrac{38 - 2}{30} = \\dfrac{36}{30} = \\dfrac{6}{5}, \\quad x_{2} = \\dfrac{38 + 2}{30} = \\dfrac{40}{30} = \\dfrac{4}{3}.\\]\nOba pierwiastki różne od \\(\\tfrac{7}{3}\\) i \\(8\\), więc są rozwiązaniami.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(x = \\tfrac{6}{5}\\): LS \\(= \\dfrac{3}{3 \\cdot 6/5 - 7} = \\dfrac{3}{18/5 - 35/5} = \\dfrac{3}{-17/5} = -\\tfrac{15}{17}\\).\nPS \\(= \\dfrac{5 \\cdot 6/5}{6/5 - 8} = \\dfrac{6}{-34/5} = -\\tfrac{30}{34} = -\\tfrac{15}{17}\\) ✓.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt - poprawne rozwiązania.\n- 1 pkt - zapisanie \\(3(x-8) = 5x(3x-7)\\).\n\n**Trik:** przy równaniu wymiernym mnóż na krzyż; nie zapomnij o wyróżniku.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 500, w których zapisie
dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest
A. 13
B. 50
C. 75
D. 107

\n

MMAP-P0_100
Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 500, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest A. 13 B. 50 C. 75 D. 107

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XI.2) zlicza obiekty, stosując reguły
mnożenia i dodawania […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x_1 = \\dfrac{6}{5}\\) oraz \\(x_2 = \\dfrac{4}{3}\\)

\n

Sposób 1 - wymnożenie na krzyż + wzór na pierwiastki

\n

Krok 1 - wymnażamy na krzyż (mnożymy obie strony przez \\((3x-7)(x-8)\\)):

\n

\\[3(x-8) = 5x(3x-7)\\]

\n

Krok 2 - rozwijamy nawiasy:

\n

\\[3x - 24 = 15x^2 - 35x\\]

\n

Krok 3 - przenosimy wszystko na jedną stronę:

\n

\\[0 = 15x^2 - 35x - 3x + 24\\]
\\[15x^2 - 38x + 24 = 0\\]

\n

Krok 4 - liczymy wyróżnik \\(\\Delta\\):

\n

\\[\\Delta = (-38)^2 - 4 \\cdot 15 \\cdot 24 = 1444 - 1440 = 4\\]

\n

Krok 5 - wyznaczamy pierwiastki:

\n

\\[x_{1,2} = \\frac{38 \\pm \\sqrt{4}}{2 \\cdot 15} = \\frac{38 \\pm 2}{30}\\]

\n

\\[x_1 = \\frac{38 - 2}{30} = \\frac{36}{30} = \\mathbf{\\frac{6}{5}}, \\qquad x_2 = \\frac{38 + 2}{30} = \\frac{40}{30} = \\mathbf{\\frac{4}{3}}\\]

\n

Krok 6 - sprawdzamy warunki dziedziny:

\n

Wykluczyliśmy \\(x = \\frac{7}{3}\\) i \\(x = 8\\). Ani \\(\\frac{6}{5}\\), ani \\(\\frac{4}{3}\\) nie jest wykluczone, więc oba rozwiązania są poprawne.

\n

Sposób 2 - rozkład na czynniki

\n

Po krzyżowym wymnożeniu dostajemy tak samo:
\\[15x^2 - 38x + 24 = 0\\]

\n

Zamiast korzystać z \\(\\Delta\\), próbujemy rozłożyć trójmian na czynniki. Szukamy liczb \\(a, b, c, d\\) takich, że:
\\[(ax - b)(cx - d) = acx^2 - (ad + bc)x + bd\\]

\n

Potrzebujemy: \\(ac = 15\\), \\(bd = 24\\), \\(ad + bc = 38\\).

\n

Próbujemy \\((5x - 6)(3x - 4)\\):
\\[5 \\cdot 3 = 15 \\checkmark, \\quad 6 \\cdot 4 = 24 \\checkmark, \\quad 5 \\cdot 4 + 6 \\cdot 3 = 20 + 18 = 38 \\checkmark\\]

\n

Zatem:
\\[(5x - 6)(3x - 4) = 0\\]

\n

\\[5x - 6 = 0 \\implies x_1 = \\frac{6}{5}, \\qquad 3x - 4 = 0 \\implies x_2 = \\frac{4}{3}\\]

\n

Weryfikacja \\(x_1 = \\frac{6}{5}\\):
\\[\\text{Lewa:} \\quad \\frac{3}{3 \\cdot \\frac{6}{5} - 7} = \\frac{3}{\\frac{18}{5} - \\frac{35}{5}} = \\frac{3}{-\\frac{17}{5}} = -\\frac{15}{17}\\]
\\[\\text{Prawa:} \\quad \\frac{5 \\cdot \\frac{6}{5}}{\\frac{6}{5} - 8} = \\frac{6}{\\frac{6 - 40}{5}} = \\frac{6}{-\\frac{34}{5}} = -\\frac{30}{34} = -\\frac{15}{17} \\checkmark\\]

\n

Weryfikacja \\(x_2 = \\frac{4}{3}\\):
\\[\\text{Lewa:} \\quad \\frac{3}{3 \\cdot \\frac{4}{3} - 7} = \\frac{3}{4 - 7} = \\frac{3}{-3} = -1\\]
\\[\\text{Prawa:} \\quad \\frac{5 \\cdot \\frac{4}{3}}{\\frac{4}{3} - 8} = \\frac{\\frac{20}{3}}{\\frac{4 - 24}{3}} = \\frac{20}{-20} = -1 \\checkmark\\]

\n

Oba rozwiązania się zgadzają.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 po sprowadzeniu równania do postaci \\(15x^2 - 38x + 24 = 0\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Po wymnożeniu na krzyż wypadnie równanie kwadratowe - pamiętaj, żeby przenieść wszystko na jedną stronę i wyzerować, zanim zaczniesz szukać pierwiastków.
\n
⚠️ Uwaga: Koniecznie sprawdź, czy wyznaczone \\(x\\) nie pokrywają się z wartościami wykluczonymi przez dziedzinę (\\(x \\neq \\frac{7}{3}\\), \\(x \\neq 8\\)). Gdyby tak było, takie rozwiązanie należy odrzucić.
\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd to odrzucenie jednego z dwóch pierwiastków „na oko" bez sprawdzenia. Oba \\(\\frac{6}{5}\\) i \\(\\frac{4}{3}\\) są poprawne - zadanie ma dwa rozwiązania.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{6}{5}\\) oraz \\(x = \\dfrac{4}{3}\\)

\n
Sposób 1 - Krzyżowe mnożenie
\n

Z \\(\\dfrac{3}{3x-7} = \\dfrac{5x}{x-8}\\) (gdzie \\(x \\ne \\tfrac{7}{3}, 8\\)):
\\[3(x-8) = 5x(3x-7)\\]
\\[3x - 24 = 15x^{2} - 35x\\]
\\[15x^{2} - 38x + 24 = 0.\\]
\\(\\Delta = 38^{2} - 4 \\cdot 15 \\cdot 24 = 1444 - 1440 = 4\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 2\\).
\\[x_{1} = \\dfrac{38 - 2}{30} = \\dfrac{36}{30} = \\dfrac{6}{5}, \\quad x_{2} = \\dfrac{38 + 2}{30} = \\dfrac{40}{30} = \\dfrac{4}{3}.\\]
Oba pierwiastki różne od \\(\\tfrac{7}{3}\\) i \\(8\\), więc są rozwiązaniami.

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie
\n

Dla \\(x = \\tfrac{6}{5}\\): LS \\(= \\dfrac{3}{3 \\cdot 6/5 - 7} = \\dfrac{3}{18/5 - 35/5} = \\dfrac{3}{-17/5} = -\\tfrac{15}{17}\\).
PS \\(= \\dfrac{5 \\cdot 6/5}{6/5 - 8} = \\dfrac{6}{-34/5} = -\\tfrac{30}{34} = -\\tfrac{15}{17}\\) ✓.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: przy równaniu wymiernym mnóż na krzyż; nie zapomnij o wyróżniku.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, łącznie można utworzyć $75$ trzycyfrowych liczb większych od $500$, używając cyfr nieparzystych. Mamy $5$, $7$, i $9$ w miejscu setek i $1, 3, 5, 7, 9$ na pozostałych. Stąd $3\\cdot5\\cdot5=75$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Szukamy trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 500 , w których występują tylko cyfry nieparzyste.

\n

Możliwe cyfry nieparzyste to:

\n

1, 3, 5, 7, 9

\n

Cyfra setek musi być nieparzysta i liczba ma być większa od 500 , więc cyfra setek może być:

\n

5, 7, 9

\n

czyli są 3 możliwości.

\n

Cyfra dziesiątek: 5 możliwości.

\n

Cyfra jedności: 5 możliwości.

\n

Liczba takich liczb:

\n

3·5·5=75

\n

Odpowiedź: C. 75 .

"}]}