{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,\nktóra na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.\nZapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę\ndwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga -\ncyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że otrzymana w ten\nsposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez 𝟑. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga - cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez 3.","answer":"(1)/(6)","answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6\n36\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅6, LUB sporządzenie tabeli o 36 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 6, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n36\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 1\n6\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 6\n36\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 1 i 6 (lub 6 i 36) i z rozwiązania nie wynika znaczenie\ntych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}.\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\nII rzut\nI rzut\n𝟏\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟓\n𝟔\n𝟏\n𝒜\n𝟐\n𝒜\n𝟑\n𝒜\n𝟒\n𝒜\n𝟓\n𝒜\n𝟔\n𝒜\nMoc zbioru Ω jest równa 36. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 6.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 6\n36 = 1\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: 51 kg pomidorów malinowych\n\n## Sposób 1 - Układ równań (podstawianie)\n\n**Tworzymy układ równań** na podstawie danych z zadania:\n\n\\[\\begin{cases} x + y = 75 \\\\ 11x + 7{,}98y = 752{,}52 \\end{cases}\\]\n\ngdzie \\(x\\) = kg pomidorów malinowych, \\(y\\) = kg pomidorów cherry.\n\n**Z pierwszego równania wyznaczamy \\(y\\):**\n\n\\[y = 75 - x\\]\n\n**Podstawiamy do drugiego równania:**\n\n\\[11x + 7{,}98 \\cdot (75 - x) = 752{,}52\\]\n\n\\[11x + 598{,}50 - 7{,}98x = 752{,}52\\]\n\n\\[3{,}02x = 752{,}52 - 598{,}50\\]\n\n\\[3{,}02x = 154{,}02\\]\n\n\\[x = \\frac{154{,}02}{3{,}02} = \\mathbf{51}\\]\n\n**Właściciel kupił 51 kg pomidorów malinowych.**\n\n(Dla porządku: \\(y = 75 - 51 = 24\\) kg pomidorów cherry.)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 51\\), \\(y = 24\\) spełnia oba warunki zadania:\n\n**Warunek 1 - łączna masa:**\n\\[51 + 24 = 75 \\checkmark\\]\n\n**Warunek 2 - łączna kwota:**\n\\[11 \\cdot 51 + 7{,}98 \\cdot 24 = 561{,}00 + 191{,}52 = 752{,}52 \\checkmark\\]\n\nWynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zapis układu równań liniowych i podstawowe działania arytmetyczne. Umiejętność budowania i rozwiązywania układu metodą podstawiania to wiedza z zakresu algebry szkolnej.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, która zmienna to malinowe, a która to cherry - zawsze na początku zapisz wyraźnie, co oznacza \\(x\\), a co \\(y\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \\(7{,}98 \\cdot 75\\) niedbałe liczenie daje błąd. Rozbij: \\(8 \\cdot 75 - 0{,}02 \\cdot 75 = 600 - 1{,}50 = 598{,}50\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(x = 51\\) zawsze wykonaj weryfikację - podstaw z powrotem i sprawdź kwotę. To zajmuje 20 sekund i chroni przed błędami obliczeniowymi.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = 51\\) kg**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\n\\[\\begin{cases} x + y = 75 \\\\ 11x + 7{,}98y = 752{,}52 \\end{cases}\\]\nZ pierwszego: \\(y = 75 - x\\). Podstawiamy:\n\\[11x + 7{,}98(75 - x) = 752{,}52\\]\n\\[11x + 598{,}5 - 7{,}98x = 752{,}52\\]\n\\[3{,}02x = 154{,}02\\]\n\\[x = 51.\\]\n\n### Sposób 2 - Różnica cen\nGdyby wszystkie \\(75\\) kg było cherry: koszt \\(75 \\cdot 7{,}98 = 598{,}50\\) zł, różnica: \\(752{,}52 - 598{,}50 = 154{,}02\\) zł. Każdy kg malinowych zamiast cherry kosztuje o \\(11 - 7{,}98 = 3{,}02\\) zł więcej. Zatem \\(x = \\dfrac{154{,}02}{3{,}02} = 51\\) kg.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt - poprawna metoda i wynik \\(51\\) kg.\n- 1 pkt - zapisanie układu lub równania.\n\n**Trik:** \"liczba malin w 75 kg\" + \"koszt\" daje 2 równania z 2 niewiadomymi.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"Prawdopodobieństwo","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 29. (0-2)<br>Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,<br>która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.<br>Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę<br>dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga -<br>cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.<br>Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że otrzymana w ten<br>sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez 𝟑. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga - cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez 3.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 29. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XII.1) oblicza prawdopodobieństwo<br>w modelu klasycznym.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴<br>i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6<br>36<br>1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych<br>zdarzeń: |Ω| = 6 ⋅6, LUB sporządzenie tabeli o 36 polach odpowiadających<br>zdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego<br>ALBO</p>\n<ul><li>wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych</li></ul>\n<p>sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,<br>ALBO</p>\n<ul><li>podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:</li></ul>\n<p>|𝐴| = 6, o ile nie zostały zliczone błędne pary,<br>ALBO</p>\n<ul><li>sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie</li></ul>\n<p>sprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej<br>jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,<br>ALBO</p>\n<ul><li>podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1</li></ul>\n<p>36<br>,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 1</li></ul>\n<p>6<br>,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 6</li></ul>\n<p>36<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 1 i 6 (lub 6 i 36) i z rozwiązania nie wynika znaczenie<br>tych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie<br>𝑥, 𝑦∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}.<br>W tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.<br>II rzut<br>I rzut<br>𝟏<br>𝟐<br>𝟑<br>𝟒<br>𝟓<br>𝟔<br>𝟏<br>𝒜<br>𝟐<br>𝒜<br>𝟑<br>𝒜<br>𝟒<br>𝒜<br>𝟓<br>𝒜<br>𝟔<br>𝒜<br>Moc zbioru Ω jest równa 36. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 6.<br>Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 6<br>36 = 1<br>6</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: 51 kg pomidorów malinowych</h4>\n<h4>Sposób 1 - Układ równań (podstawianie)</h4>\n<p><strong>Tworzymy układ równań</strong> na podstawie danych z zadania:</p>\n<p>\\[\\begin{cases} x + y = 75 \\\\ 11x + 7{,}98y = 752{,}52 \\end{cases}\\]</p>\n<p>gdzie \\(x\\) = kg pomidorów malinowych, \\(y\\) = kg pomidorów cherry.</p>\n<p><strong>Z pierwszego równania wyznaczamy \\(y\\):</strong></p>\n<p>\\[y = 75 - x\\]</p>\n<p><strong>Podstawiamy do drugiego równania:</strong></p>\n<p>\\[11x + 7{,}98 \\cdot (75 - x) = 752{,}52\\]</p>\n<p>\\[11x + 598{,}50 - 7{,}98x = 752{,}52\\]</p>\n<p>\\[3{,}02x = 752{,}52 - 598{,}50\\]</p>\n<p>\\[3{,}02x = 154{,}02\\]</p>\n<p>\\[x = \\frac{154{,}02}{3{,}02} = \\mathbf{51}\\]</p>\n<p><strong>Właściciel kupił 51 kg pomidorów malinowych.</strong></p>\n<p>(Dla porządku: \\(y = 75 - 51 = 24\\) kg pomidorów cherry.)</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja wyniku</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(x = 51\\), \\(y = 24\\) spełnia oba warunki zadania:</p>\n<p><strong>Warunek 1 - łączna masa:</strong><br>\\[51 + 24 = 75 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Warunek 2 - łączna kwota:</strong><br>\\[11 \\cdot 51 + 7{,}98 \\cdot 24 = 561{,}00 + 191{,}52 = 752{,}52 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik jest poprawny.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zapis układu równań liniowych i podstawowe działania arytmetyczne. Umiejętność budowania i rozwiązywania układu metodą podstawiania to wiedza z zakresu algebry szkolnej.</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić, która zmienna to malinowe, a która to cherry - zawsze na początku zapisz wyraźnie, co oznacza \\(x\\), a co \\(y\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy mnożeniu \\(7{,}98 \\cdot 75\\) niedbałe liczenie daje błąd. Rozbij: \\(8 \\cdot 75 - 0{,}02 \\cdot 75 = 600 - 1{,}50 = 598{,}50\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po wyznaczeniu \\(x = 51\\) zawsze wykonaj weryfikację - podstaw z powrotem i sprawdź kwotę. To zajmuje 20 sekund i chroni przed błędami obliczeniowymi.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(x = 51\\) kg</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Układ równań</h5>\n<p>\\[\\begin{cases} x + y = 75 \\\\ 11x + 7{,}98y = 752{,}52 \\end{cases}\\]<br>Z pierwszego: \\(y = 75 - x\\). Podstawiamy:<br>\\[11x + 7{,}98(75 - x) = 752{,}52\\]<br>\\[11x + 598{,}5 - 7{,}98x = 752{,}52\\]<br>\\[3{,}02x = 154{,}02\\]<br>\\[x = 51.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Różnica cen</h5>\n<p>Gdyby wszystkie \\(75\\) kg było cherry: koszt \\(75 \\cdot 7{,}98 = 598{,}50\\) zł, różnica: \\(752{,}52 - 598{,}50 = 154{,}02\\) zł. Każdy kg malinowych zamiast cherry kosztuje o \\(11 - 7{,}98 = 3{,}02\\) zł więcej. Zatem \\(x = \\dfrac{154{,}02}{3{,}02} = 51\\) kg.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>2 pkt - poprawna metoda i wynik \\(51\\) kg.</li><li>1 pkt - zapisanie układu lub równania.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> &quot;liczba malin w 75 kg&quot; + &quot;koszt&quot; daje 2 równania z 2 niewiadomymi.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Rzucamy dwa razy sześcienną kostką, więc wszystkich możliwych wyników jest:</p>\n<p>6·6=36</p>\n<p>Pierwszy wynik jest cyfrą dziesiątek, a drugi cyfrą jedności.</p>\n<p>Liczba ma być nieparzysta, więc cyfra jedności musi być nieparzysta:</p>\n<p>1, 3, 5</p>\n<p>Dodatkowo liczba ma być podzielna przez 3 , czyli suma jej cyfr musi być podzielna przez 3 .</p>\n<p>Sprawdzamy możliwości:</p>\n<p>dla cyfry jedności 1 : cyfra dziesiątek 2 lub 5 , czyli 21,51 ;</p>\n<p>dla cyfry jedności 3 : cyfra dziesiątek 3 lub 6 , czyli 33,63 ;</p>\n<p>dla cyfry jedności 5 : cyfra dziesiątek 1 lub 4 , czyli 15,45 .</p>\n<p>Mamy 6 wyników sprzyjających:</p>\n<p>21, 51, 33, 63, 15, 45</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>P(A)=(6)/(36)=(1)/(6)</p>"}]}