{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba √24\n3\n+ √192\n3\njest równa\nA. 6\nB. 3√6\n3\nC. 6√3\n3\nD. 6√6\n3\nLiczba ∛24 + ∛192 jest równa A. 6 B. 3∛6 C. 6∛3 D. 6∛6","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.3) stosuje własności pierwiastków\ndowolnego stopnia […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A \\(-2\\)\n\n## Sposób 1 - własność logarytmu ilorazu\n\nKorzystamy z własności: \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\)\n\n\\[\\log_3 2 - \\log_3 18 = \\log_3 \\frac{2}{18} = \\log_3 \\frac{1}{9}\\]\n\nTeraz zauważamy, że \\(\\frac{1}{9} = \\frac{1}{3^2} = 3^{-2}\\), więc:\n\n\\[\\log_3 3^{-2} = -2\\]\n\n**Odpowiedź: \\(-2\\)**\n\n## Sposób 2 - rozkład logarytmów i uproszczenie\n\nZamiast łączyć od razu w iloraz, rozkładamy \\(\\log_3 18\\) na czynniki:\n\n\\[18 = 2 \\cdot 9 = 2 \\cdot 3^2\\]\n\n\\[\\log_3 18 = \\log_3(2 \\cdot 3^2) = \\log_3 2 + \\log_3 3^2 = \\log_3 2 + 2\\]\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\n\\[\\log_3 2 - \\log_3 18 = \\log_3 2 - (\\log_3 2 + 2) = \\log_3 2 - \\log_3 2 - 2 = -2\\]\n\n**Odpowiedź: \\(-2\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nWłasność logarytmu ilorazu:\n\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyta w Sposobie 1 do połączenia różnicy logarytmów.\n\nWłasność logarytmu iloczynu:\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\nUżyta w Sposobie 2 do rozkładu \\(\\log_3 18\\).\n\nWłasność potęgi logarytmu:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyta pośrednio - \\(\\log_3 3^{-2} = -2 \\cdot \\log_3 3 = -2 \\cdot 1 = -2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(-\\frac{1}{2}\\) | Uczeń liczy \\(\\log_3 \\frac{18}{2} = \\log_3 9 = 2\\), czyli odejmuje w złej kolejności, a potem bierze odwrotność |\n| C: \\(\\frac{1}{2}\\) | Podobny błąd jak przy B - zamiana kolejności odejmowania daje \\(\\log_3 9 = 2\\), a potem pomyłka z odwrotnością |\n| D: \\(2\\) | Uczeń liczy \\(\\log_3 18 - \\log_3 2 = \\log_3 9 = 2\\) - odejmuje w odwrotnej kolejności |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność odejmowania ma znaczenie! \\(\\log_3 2 - \\log_3 18 \\neq \\log_3 18 - \\log_3 2\\). Odpowiedź D to wynik zamiany kolejności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy wynik ma sens. Skoro \\(2 < 18\\), to \\(\\log_3 2 < \\log_3 18\\), więc różnica musi być **ujemna** - od razu eliminujemy odpowiedzi C i D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\log_3 \\frac{1}{9} = -2\\) z \\(\\frac{1}{\\log_3 9} = \\frac{1}{2}\\) - to zupełnie inne wyrażenia!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Logarytm ilorazu (karta wzorów, dział 1)\n\\[\\log_{3} 2 - \\log_{3} 18 = \\log_{3} \\dfrac{2}{18} = \\log_{3} \\dfrac{1}{9} = \\log_{3} 3^{-2} = -2.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie drugiego logarytmu\n\\(\\log_{3} 18 = \\log_{3}(2 \\cdot 9) = \\log_{3} 2 + \\log_{3} 9 = \\log_{3} 2 + 2\\).\nStąd \\(\\log_{3} 2 - \\log_{3} 18 = \\log_{3} 2 - \\log_{3} 2 - 2 = -2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-\\tfrac{1}{2}\\)** - pomylenie z \\(\\log_{18} 3\\).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - błąd znaku.\n- **D. \\(2\\)** - odwrotny znak.\n\n**Trik:** zawsze upraszczaj ułamek \\(\\tfrac{2}{18} = \\tfrac{1}{9}\\) zanim liczysz logarytm.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Liczby rzeczywiste","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba √24<br>3</p>\n<ul><li>√192</li></ul>\n<p>3<br>jest równa<br>A. 6<br>B. 3√6<br>3<br>C. 6√3<br>3<br>D. 6√6<br>3<br>Liczba ∛24 + ∛192 jest równa A. 6 B. 3∛6 C. 6∛3 D. 6∛6</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>I.3) stosuje własności pierwiastków<br>dowolnego stopnia […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A \\(-2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - własność logarytmu ilorazu</h4>\n<p>Korzystamy z własności: \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\)</p>\n<p>\\[\\log_3 2 - \\log_3 18 = \\log_3 \\frac{2}{18} = \\log_3 \\frac{1}{9}\\]</p>\n<p>Teraz zauważamy, że \\(\\frac{1}{9} = \\frac{1}{3^2} = 3^{-2}\\), więc:</p>\n<p>\\[\\log_3 3^{-2} = -2\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(-2\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - rozkład logarytmów i uproszczenie</h4>\n<p>Zamiast łączyć od razu w iloraz, rozkładamy \\(\\log_3 18\\) na czynniki:</p>\n<p>\\[18 = 2 \\cdot 9 = 2 \\cdot 3^2\\]</p>\n<p>\\[\\log_3 18 = \\log_3(2 \\cdot 3^2) = \\log_3 2 + \\log_3 3^2 = \\log_3 2 + 2\\]</p>\n<p>Podstawiamy do wyrażenia:</p>\n<p>\\[\\log_3 2 - \\log_3 18 = \\log_3 2 - (\\log_3 2 + 2) = \\log_3 2 - \\log_3 2 - 2 = -2\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(-2\\)</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong></p>\n<p>Własność logarytmu ilorazu:<br>\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]<br>Użyta w Sposobie 1 do połączenia różnicy logarytmów.</p>\n<p>Własność logarytmu iloczynu:<br>\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]<br>Użyta w Sposobie 2 do rozkładu \\(\\log_3 18\\).</p>\n<p>Własność potęgi logarytmu:<br>\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]<br>Użyta pośrednio - \\(\\log_3 3^{-2} = -2 \\cdot \\log_3 3 = -2 \\cdot 1 = -2\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B: \\(-\\frac{1}{2}\\) | Uczeń liczy \\(\\log_3 \\frac{18}{2} = \\log_3 9 = 2\\), czyli odejmuje w złej kolejności, a potem bierze odwrotność |<br>| C: \\(\\frac{1}{2}\\) | Podobny błąd jak przy B - zamiana kolejności odejmowania daje \\(\\log_3 9 = 2\\), a potem pomyłka z odwrotnością |<br>| D: \\(2\\) | Uczeń liczy \\(\\log_3 18 - \\log_3 2 = \\log_3 9 = 2\\) - odejmuje w odwrotnej kolejności |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kolejność odejmowania ma znaczenie! \\(\\log_3 2 - \\log_3 18 \\neq \\log_3 18 - \\log_3 2\\). Odpowiedź D to wynik zamiany kolejności.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, czy wynik ma sens. Skoro \\(2 &lt; 18\\), to \\(\\log_3 2 &lt; \\log_3 18\\), więc różnica musi być <strong>ujemna</strong> - od razu eliminujemy odpowiedzi C i D.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić \\(\\log_3 \\frac{1}{9} = -2\\) z \\(\\frac{1}{\\log_3 9} = \\frac{1}{2}\\) - to zupełnie inne wyrażenia!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Logarytm ilorazu (karta wzorów, dział 1)</h5>\n<p>\\[\\log_{3} 2 - \\log_{3} 18 = \\log_{3} \\dfrac{2}{18} = \\log_{3} \\dfrac{1}{9} = \\log_{3} 3^{-2} = -2.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozbicie drugiego logarytmu</h5>\n<p>\\(\\log_{3} 18 = \\log_{3}(2 \\cdot 9) = \\log_{3} 2 + \\log_{3} 9 = \\log_{3} 2 + 2\\).<br>Stąd \\(\\log_{3} 2 - \\log_{3} 18 = \\log_{3} 2 - \\log_{3} 2 - 2 = -2\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(-\\tfrac{1}{2}\\)</strong> - pomylenie z \\(\\log_{18} 3\\).</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{1}{2}\\)</strong> - błąd znaku.</li><li><strong>D. \\(2\\)</strong> - odwrotny znak.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> zawsze upraszczaj ułamek \\(\\tfrac{2}{18} = \\tfrac{1}{9}\\) zanim liczysz logarytm.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, $\\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{192}$ można uprościć, zauważając, że $\\sqrt[3]{24} = 2\\sqrt[3]{3}$ oraz $\\sqrt[3]{192} = 4\\sqrt[3]{3}$. Dodając te wyrażenia, otrzymujemy $2\\sqrt[3]{3} + 4\\sqrt[3]{3} = 6\\sqrt[3]{3}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Obliczamy sumę:</p>\n<p>√3+√3</p>\n<p>W każdym pierwiastku szukamy czynnika, który jest sześcianem liczby naturalnej.</p>\n<p>Dla liczby 24 :</p>\n<p>24=8·3</p>\n<p>Ponieważ 8=2^3 , to:</p>\n<p>√3=√3</p>\n<p>Wyłączamy czynnik przed pierwiastek:</p>\n<p>√3=2√3</p>\n<p>Dla liczby 192 :</p>\n<p>192=64·3</p>\n<p>Ponieważ 64=4^3 , to:</p>\n<p>√3=√3</p>\n<p>Wyłączamy czynnik przed pierwiastek:</p>\n<p>√3=4√3</p>\n<p>Teraz dodajemy wyrażenia podobne:</p>\n<p>2√3+4√3=6√3</p>\n<p>Odpowiedź: C. 6√3</p>"}]}