{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-3)\nW stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów\ntechnicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku.\nWszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.\nNa osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów,\na na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania\nbyły prawdziwe.\n1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa\n2. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest\nrówna\n3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie\nusterki, stanowi procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie\njedną usterkę.\n0\n2\n4\n6\n8\n10\n12\n14\n16\n18\n1\n2\n3\n4\n5\nliczba\nsamochodów\nliczba usterek\n\nMMAP-P0_100\nW stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, na na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek. [rysunek] 1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ............... . Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ............... . 3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi ............... procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […],\nznajduje […] dominantę.\nSP V. Obliczenia procentowe.\n5) stosuje obliczenia procentowe do\nrozwiązywania problemów w kontekście\npraktycznym […].\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne uzupełnienie trzech zdań.\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga:\nNie akceptuje się zaokrągleń otrzymanych wyników.\nRozwiązanie\n1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa 1.\n2. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest\nrówna 2.\n3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie\nusterki, stanowi 125 procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną\nusterkę.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**Średnia arytmetyczna:** \\(\\bar{x} = \\frac{15}{8} = 1{,}875\\)\n\n**Mediana:** \\(Me = 1{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na średnią ważoną + skumulowane liczebności\n\n**Krok 1. Podsumuj dane z diagramu.**\n\n| Liczba usterek \\(x_i\\) | Liczba samochodów \\(w_i\\) |\n| 1 | 16 |\n| 2 | 10 |\n| 3 | 2 |\n| 4 | 2 |\n| 5 | 2 |\n\nŁączna liczba samochodów:\n\\[n = 16 + 10 + 2 + 2 + 2 = 32\\]\n\n**Krok 2. Oblicz sumę wszystkich usterek.**\n\n\\[16 \\cdot 1 + 10 \\cdot 2 + 2 \\cdot 3 + 2 \\cdot 4 + 2 \\cdot 5\\]\n\\[= 16 + 20 + 6 + 8 + 10 = 60\\]\n\n**Krok 3. Oblicz średnią arytmetyczną.**\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum w_i x_i}{\\sum w_i} = \\frac{60}{32} = \\frac{15}{8} = 1{,}875\\]\n\n**Krok 4. Wyznacz medianę.**\n\nMamy \\(n = 32\\) wyników (parzyste), więc mediana to **średnia 16. i 17. wyrazu** po posortowaniu.\n\nSkumulowane liczebności:\n- pozycje 1-16: wartość **1** (16 samochodów z 1 usterką)\n- pozycje 17-26: wartość **2** (10 samochodów z 2 usterkami)\n- pozycje 27-28: wartość 3\n- pozycje 29-30: wartość 4\n- pozycje 31-32: wartość 5\n\n16. wyraz = **1**, 17. wyraz = **2**\n\n\\[Me = \\frac{1 + 2}{2} = \\frac{3}{2} = 1{,}5\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie wszystkich wyników\n\nWypisz (lub wyobraź sobie) wszystkie 32 wyniki posortowane rosnąco:\n\n\\[\\underbrace{1, 1, \\ldots, 1}_{16}, \\underbrace{2, 2, \\ldots, 2}_{10}, 3, 3, 4, 4, 5, 5\\]\n\nSuma: jest 32 elementy, dzielimy na dwie połówki po 16.\n- Lewa połówka (pozycje 1-16): ostatni element to \\(1\\)\n- Prawa połówka (pozycje 17-32): pierwszy element to \\(2\\)\n\n\\[Me = \\frac{1 + 2}{2} = 1{,}5 \\checkmark\\]\n\nWeryfikacja sumy metodą grupową:\n\\[\\frac{60}{32} = \\frac{15}{8} = 1{,}875 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia ważona:\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\nUżyliśmy tego dokładnie: każda liczba usterek \\(a_i\\) jest ważona liczbą samochodów \\(w_i\\).\n\nMediana - definicja z karty:\n> środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub średnia dwóch środkowych wyrazów dla parzystego \\(n\\).\n\nTutaj \\(n = 32\\) (parzyste) → wzięliśmy średnią 16. i 17. wyrazu.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu sumy usterek łatwo zapomnieć o wagach - częsty błąd to zsumowanie samych wartości \\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\\) i podzielenie przez 5, co daje błędnie \\(\\bar{x} = 3\\). To byłaby średnia gdyby każda wartość wystąpiła dokładnie raz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystym \\(n\\) mediana to **średnia** dwóch środkowych wartości - tu akurat \\(\\frac{1+2}{2} = 1{,}5\\). Błędem jest podanie samego 1 lub samego 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu mediany sprawdź SKUMULOWANE liczebności. Tutaj pozycje 1-16 to wartość 1, a pozycja 17 to już wartość 2 - granica pada dokładnie między tymi grupami, co jest typową „pułapką egzaminatora\".\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\bar{x} = 1{,}875\\), \\(Me = 1{,}5\\)**\n\n### Sposób 1 - Średnia ważona (karta wzorów, dział 9)\nLiczba wszystkich samochodów: \\(16+10+2+2+2 = 32\\).\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{16 \\cdot 1 + 10 \\cdot 2 + 2 \\cdot 3 + 2 \\cdot 4 + 2 \\cdot 5}{32} = \\dfrac{16+20+6+8+10}{32} = \\dfrac{60}{32} = 1{,}875.\\]\n\n### Mediana\n\\(32\\) elementy (parzyste) - mediana to średnia \\(16\\)-tego i \\(17\\)-tego wyrazu w uporządkowanym ciągu.\nW ciągu niemalejącym: pierwszych \\(16\\) wartości to \\(1\\) (samochody z 1 usterką), kolejne \\(10\\) to \\(2\\) (17-26), itd.\n- \\(16\\)-ty wyraz: \\(1\\).\n- \\(17\\)-ty wyraz: \\(2\\).\n\\[Me = \\dfrac{1+2}{2} = 1{,}5.\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt - oba wyniki.\n- 1 pkt - tylko średnia LUB mediana.\n\n**Trik:** dla \\(n\\) parzystego mediana = średnia dwóch środkowych.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Statystyka","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 30. (0-3)<br>W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów<br>technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku.<br>Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.<br>Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów,<br>a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.<br>Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania<br>były prawdziwe.</p>\n<ol><li>Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa</li><li>Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest</li></ol>\n<p>równa</p>\n<ol><li>Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie</li></ol>\n<p>usterki, stanowi procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie<br>jedną usterkę.<br>0<br>2<br>4<br>6<br>8<br>10<br>12<br>14<br>16<br>18<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>liczba<br>samochodów<br>liczba usterek</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, na na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek. [rysunek] 1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ............... . Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ............... . 3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi ............... procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 30. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>XII.2) oblicza średnią arytmetyczną […],<br>znajduje […] dominantę.<br>SP V. Obliczenia procentowe.</p>\n<ol><li>stosuje obliczenia procentowe do</li></ol>\n<p>rozwiązywania problemów w kontekście<br>praktycznym […].<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawne uzupełnienie trzech zdań.<br>2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.<br>1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.<br>0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.<br>Uwaga:<br>Nie akceptuje się zaokrągleń otrzymanych wyników.<br>Rozwiązanie</p>\n<ol><li>Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa 1.</li><li>Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest</li></ol>\n<p>równa 2.</p>\n<ol><li>Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie</li></ol>\n<p>usterki, stanowi 125 procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną<br>usterkę.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź:</h4>\n<p><strong>Średnia arytmetyczna:</strong> \\(\\bar{x} = \\frac{15}{8} = 1{,}875\\)</p>\n<p><strong>Mediana:</strong> \\(Me = 1{,}5\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - wzór na średnią ważoną + skumulowane liczebności</h4>\n<p><strong>Krok 1. Podsumuj dane z diagramu.</strong></p>\n<p>| Liczba usterek \\(x_i\\) | Liczba samochodów \\(w_i\\) |<br>| 1 | 16 |<br>| 2 | 10 |<br>| 3 | 2 |<br>| 4 | 2 |<br>| 5 | 2 |</p>\n<p>Łączna liczba samochodów:<br>\\[n = 16 + 10 + 2 + 2 + 2 = 32\\]</p>\n<p><strong>Krok 2. Oblicz sumę wszystkich usterek.</strong></p>\n<p>\\[16 \\cdot 1 + 10 \\cdot 2 + 2 \\cdot 3 + 2 \\cdot 4 + 2 \\cdot 5\\]<br>\\[= 16 + 20 + 6 + 8 + 10 = 60\\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Oblicz średnią arytmetyczną.</strong></p>\n<p>\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum w_i x_i}{\\sum w_i} = \\frac{60}{32} = \\frac{15}{8} = 1{,}875\\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Wyznacz medianę.</strong></p>\n<p>Mamy \\(n = 32\\) wyników (parzyste), więc mediana to <strong>średnia 16. i 17. wyrazu</strong> po posortowaniu.</p>\n<p>Skumulowane liczebności:</p>\n<ul><li>pozycje 1-16: wartość <strong>1</strong> (16 samochodów z 1 usterką)</li><li>pozycje 17-26: wartość <strong>2</strong> (10 samochodów z 2 usterkami)</li><li>pozycje 27-28: wartość 3</li><li>pozycje 29-30: wartość 4</li><li>pozycje 31-32: wartość 5</li></ul>\n<ol><li>wyraz = <strong>1</strong>, 17. wyraz = <strong>2</strong></li></ol>\n<p>\\[Me = \\frac{1 + 2}{2} = \\frac{3}{2} = 1{,}5\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie wszystkich wyników</h4>\n<p>Wypisz (lub wyobraź sobie) wszystkie 32 wyniki posortowane rosnąco:</p>\n<p>\\[\\underbrace{1, 1, \\ldots, 1}<em>{16}, \\underbrace{2, 2, \\ldots, 2}</em>{10}, 3, 3, 4, 4, 5, 5\\]</p>\n<p>Suma: jest 32 elementy, dzielimy na dwie połówki po 16.</p>\n<ul><li>Lewa połówka (pozycje 1-16): ostatni element to \\(1\\)</li><li>Prawa połówka (pozycje 17-32): pierwszy element to \\(2\\)</li></ul>\n<p>\\[Me = \\frac{1 + 2}{2} = 1{,}5 \\checkmark\\]</p>\n<p>Weryfikacja sumy metodą grupową:<br>\\[\\frac{60}{32} = \\frac{15}{8} = 1{,}875 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong></p>\n<p>Średnia ważona:<br>\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]<br>Użyliśmy tego dokładnie: każda liczba usterek \\(a_i\\) jest ważona liczbą samochodów \\(w_i\\).</p>\n<p>Mediana - definicja z karty:</p>\n<blockquote>środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub średnia dwóch środkowych wyrazów dla parzystego \\(n\\).</blockquote>\n<p>Tutaj \\(n = 32\\) (parzyste) → wzięliśmy średnią 16. i 17. wyrazu.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu sumy usterek łatwo zapomnieć o wagach - częsty błąd to zsumowanie samych wartości \\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\\) i podzielenie przez 5, co daje błędnie \\(\\bar{x} = 3\\). To byłaby średnia gdyby każda wartość wystąpiła dokładnie raz!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy parzystym \\(n\\) mediana to <strong>średnia</strong> dwóch środkowych wartości - tu akurat \\(\\frac{1+2}{2} = 1{,}5\\). Błędem jest podanie samego 1 lub samego 2.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy szukaniu mediany sprawdź SKUMULOWANE liczebności. Tutaj pozycje 1-16 to wartość 1, a pozycja 17 to już wartość 2 - granica pada dokładnie między tymi grupami, co jest typową „pułapką egzaminatora&quot;.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(\\bar{x} = 1{,}875\\), \\(Me = 1{,}5\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Średnia ważona (karta wzorów, dział 9)</h5>\n<p>Liczba wszystkich samochodów: \\(16+10+2+2+2 = 32\\).<br>\\[\\bar{x} = \\dfrac{16 \\cdot 1 + 10 \\cdot 2 + 2 \\cdot 3 + 2 \\cdot 4 + 2 \\cdot 5}{32} = \\dfrac{16+20+6+8+10}{32} = \\dfrac{60}{32} = 1{,}875.\\]</p>\n<h5>Mediana</h5>\n<p>\\(32\\) elementy (parzyste) - mediana to średnia \\(16\\)-tego i \\(17\\)-tego wyrazu w uporządkowanym ciągu.<br>W ciągu niemalejącym: pierwszych \\(16\\) wartości to \\(1\\) (samochody z 1 usterką), kolejne \\(10\\) to \\(2\\) (17-26), itd.</p>\n<ul><li>\\(16\\)-ty wyraz: \\(1\\).</li><li>\\(17\\)-ty wyraz: \\(2\\).</li></ul>\n<p>\\[Me = \\dfrac{1+2}{2} = 1{,}5.\\]</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>2 pkt - oba wyniki.</li><li>1 pkt - tylko średnia LUB mediana.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dla \\(n\\) parzystego mediana = średnia dwóch środkowych.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Z diagramu odczytujemy:</p>\n<p>1 usterka:16 samochodów</p>\n<p>2 usterki:10 samochodów</p>\n<p>3 usterki:6 samochodów</p>\n<p>4 usterki:2 samochody</p>\n<p>5 usterek:2 samochody</p>\n<p>Dominanta to wartość występująca najczęściej. Najczęściej występuje 1 usterka, więc dominanta wynosi:</p>\n<p>1</p>\n<p>Liczba wszystkich samochodów:</p>\n<p>16+10+6+2+2=36</p>\n<p>Suma wszystkich usterek:</p>\n<p>1·16+2·10+3·6+4·2+5·2=72</p>\n<p>Średnia:</p>\n<p>(72)/(36)=2</p>\n<p>Co najmniej dwie usterki miało:</p>\n<p>10+6+2+2=20</p>\n<p>samochodów. Dokładnie jedną usterkę miało 16 samochodów.</p>\n<p>Procent:</p>\n<p>(20)/(16)·100%=125%</p>"}]}