{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nHotel ma do dyspozycji gości 80 pokoi jednoosobowych.\nWłaściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi\ni stwierdził, że:\nprzy wyjściowej cenie wynoszącej 120 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są\nwynajęte\nkażdy wzrost ceny za dobę hotelową o 5 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych\npokoi o 1.\nPrzyjmijmy, że dobowy przychód 𝑃 hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od\npodwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o 5𝑥 złotych, opisuje funkcja\n𝑃(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥)\ngdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą spełniającą warunki 𝑥≥0 i 𝑥≤80.\nOblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową),\naby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nHotel ma do dyspozycji gości 80 pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że: •przy wyjściowej cenie wynoszącej 120 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte •każdy wzrost ceny za dobę hotelową o 5 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o 1. Przyjmijmy, że dobowy przychód P hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o 5x złotych, opisuje funkcja} P(x) = (80-x)(120+5x) gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x≥0 i x≤80. Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 260 zł.\n1 pkt - obliczenie liczby 𝑥 podwyżek, przy których dobowy przychód hotelu\nz wynajmowania pokoi będzie największy: 28,\nALBO\n- obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑝 wierzchołka paraboli z własności\n𝑃(𝑘1) = 𝑃(𝑘2), gdzie 𝑘1, 𝑘2 są różnymi liczbami takimi, że |𝑝-𝑘1| = |𝑝-𝑘2|:\n𝑝= 𝑘1 + 𝑘2\n2\n= 28.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie oblicza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli,\ni konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza cenę wynajęcia pokoju, dla której\nprzychód hotelu będzie największy, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie (o ile\npierwsza współrzędna jest liczbą należącą do dziedziny).\n2. Jeżeli zdający nie zapisze, że 28 należy do dziedziny funkcji 𝑃, to może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko 28 i 260 zł, to otrzymuje 1 punkt.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝑃 z wykorzystaniem rachunku\nróżniczkowego i nie zapisze przedziałów monotoniczności funkcji, to może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie (gdy wyznaczy pochodną funkcji kwadratowej\n𝑓(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥), obliczy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑓(𝑥) i wskaże\ncenę wynajęcia pokoju, dla której przychód hotelu będzie największy).\n5. Jeżeli zdający oblicza 𝑃(28 -𝑘) oraz 𝑃(28 + 𝑘), gdzie 𝑘≠0, i wskaże cenę\nwynajęcia pokoju: 260 zł, dla której przychód hotelu będzie największy, to może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWykresem funkcji 𝑃(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥), gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą z przedziału\n[0, 80], jest zbiór punktów leżących na paraboli o wierzchołku w punkcie 𝑊= (𝑝, 𝑞)\ni ramionach skierowanych w dół.\nObliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥):\n(80 -𝑥)(120 + 5𝑥) = 0\n𝑥1 = 80 lub 𝑥2 = -24\nStąd:\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= 80 + (-24)\n2\n= 28 ∈{0, 1, 2, … , 80}\nTo oznacza, że dobowy przychód hotelu będzie największy, gdy 𝑥= 28.\nObliczamy cenę wynajęcia pokoju, dla której przychód hotelu będzie największy:\n120 + 5𝑥= 120 + 5 ⋅28 = 260 zł\nSposób II\nWykresem funkcji 𝑃(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥), gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą z przedziału\n[0, 80], jest zbiór punktów leżących na paraboli o wierzchołku w punkcie 𝑊= (𝑝, 𝑞)\ni ramionach skierowanych w dół.\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑃 do postaci ogólnej:\n𝑃(𝑥) = 9600 + 400𝑥-120𝑥-5𝑥2 = -5𝑥2 + 280𝑥+ 9600\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= -280\n2 ⋅(-5) = 28 ∈{0, 1, 2, … , 80}\nTo oznacza, że dobowy przychód hotelu będzie największy przy podwyżce ceny za dobę\nhotelową o 5 ⋅28 = 140 złotych.\nWtedy cena wynajęcia pokoju jest równa 120 + 140 = 260 złotych.\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin poprawkowy 2025.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 5.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 850 -2145 do postaci (23)50 -2145.\nZadanie 8.\nUwaga:\nJeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania\n3\n3𝑥-7 = 5𝑥\n𝑥-8 do postaci\nrównania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego\nrównania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może\notrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\nZadanie 9.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n-3𝑥2 -6𝑥+ 9, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności -3𝑥2 -6𝑥> 0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (1, -3), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\n3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 11.\n1 pkt - zapisanie równania 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52.\nZadanie 12.1.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 12.2.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 24.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 26.\n2 pkt - zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝑉= 𝑎2 ⋅ √3\n4\n⋅𝑎√3, LUB zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej\ngraniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅ √3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝑎√3.\nZadanie 29.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 5\n36), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{1}{6}\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza warunków i liczenie sprzyjających wyników\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nRzucamy kostką dwukrotnie. Pierwsza liczba to cyfra dziesiątek, druga - cyfra jedności. Każda wynosi od 1 do 6, więc:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Warunki zdarzenia \\(A\\):**\n\nLiczba dwucyfrowa \\(\\overline{AB}\\) (gdzie \\(A\\) = pierwszy rzut, \\(B\\) = drugi rzut) musi być:\n1. **Nieparzysta** → cyfra jedności \\(B\\) musi być nieparzysta, czyli \\(B \\in \\{1, 3, 5\\}\\)\n2. **Podzielna przez 3** → suma cyfr \\(A + B\\) musi być podzielna przez 3\n\n**Szukamy par \\((A, B)\\) spełniających oba warunki jednocześnie.**\n\nRozpatruję każdą możliwą wartość \\(B\\):\n\n**Przypadek \\(B = 1\\):** \\(B \\equiv 1 \\pmod{3}\\), więc potrzeba \\(A \\equiv 2 \\pmod{3}\\), czyli \\(A \\in \\{2, 5\\}\\)\n\\[\\Rightarrow (2, 1),\\ (5, 1) \\quad \\text{→ liczby } 21,\\ 51\\]\n\n**Przypadek \\(B = 3\\):** \\(B \\equiv 0 \\pmod{3}\\), więc potrzeba \\(A \\equiv 0 \\pmod{3}\\), czyli \\(A \\in \\{3, 6\\}\\)\n\\[\\Rightarrow (3, 3),\\ (6, 3) \\quad \\text{→ liczby } 33,\\ 63\\]\n\n**Przypadek \\(B = 5\\):** \\(B \\equiv 2 \\pmod{3}\\), więc potrzeba \\(A \\equiv 1 \\pmod{3}\\), czyli \\(A \\in \\{1, 4\\}\\)\n\\[\\Rightarrow (1, 5),\\ (4, 5) \\quad \\text{→ liczby } 15,\\ 45\\]\n\n**Łączna liczba wyników sprzyjających:** \\(|A| = 2 + 2 + 2 = 6\\)\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{6}{36} = \\boxed{\\frac{1}{6}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez tabelę pełnego przeglądu\n\nWypisuję wszystkie 36 wyników i sprawdzam warunki. Zaznaczyłem tylko liczby nieparzyste (kolumny \\(B \\in \\{1,3,5\\}\\)) i podzielne przez 3:\n\n| \\(A \\backslash B\\) | **1** | 2 | **3** | 4 | **5** | 6 |\n| **1** | 11 | - | 13 | - | **15** ✓ | - |\n| **2** | **21** ✓ | - | 23 | - | 25 | - |\n| **3** | 31 | - | **33** ✓ | - | 35 | - |\n| **4** | 41 | - | 43 | - | **45** ✓ | - |\n| **5** | **51** ✓ | - | 53 | - | 55 | - |\n| **6** | 61 | - | **63** ✓ | - | 65 | - |\n\nLiczby spełniające oba warunki: \\(15, 21, 33, 45, 51, 63\\) - dokładnie 6 sztuk.\n\n**Weryfikacja każdej:**\n- \\(15\\): nieparzysta ✓, \\(1+5=6\\) podzielne przez 3 ✓\n- \\(21\\): nieparzysta ✓, \\(2+1=3\\) podzielne przez 3 ✓\n- \\(33\\): nieparzysta ✓, \\(3+3=6\\) podzielne przez 3 ✓\n- \\(45\\): nieparzysta ✓, \\(4+5=9\\) podzielne przez 3 ✓\n- \\(51\\): nieparzysta ✓, \\(5+1=6\\) podzielne przez 3 ✓\n- \\(63\\): nieparzysta ✓, \\(6+3=9\\) podzielne przez 3 ✓\n\n\\[P(A) = \\frac{6}{36} = \\frac{1}{6}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru jako podstawy całego rozwiązania: liczymy wyniki sprzyjające i dzielimy przez liczbę wszystkich wyników.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podzielność przez 3 **nie zależy od ostatniej cyfry**, tylko od **sumy cyfr**. Bardzo często uczniowie mylą podzielność przez 2 (ostatnia cyfra) z podzielność przez 3 - to zupełnie inne kryterium!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyniki rzutu kostką to cyfry od 1 do 6, a nie od 0 do 9. Liczby takie jak 10, 20, 30 są **niemożliwe** do uzyskania w tym doświadczeniu - nie ma na kostce \"0\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"nieparzysta **i** podzielna przez 3\" to **koniunkcja** - oba warunki muszą być spełnione jednocześnie. Nie sumujemy prawdopodobieństw, tylko szukamy wyników spełniających obie własności naraz.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{6}{36} = \\dfrac{1}{6}\\)**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja (karta wzorów, dział 10)\nZdarzenia elementarne: uporządkowane pary \\((x,y)\\), gdzie \\(x,y \\in \\{1,\\ldots,6\\}\\). \\(|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\).\n\nSzukamy par, w których liczba \\(\\overline{xy} = 10x+y\\) jest:\n- nieparzysta \\(\\Rightarrow y \\in \\{1,3,5\\}\\),\n- podzielna przez \\(3\\) \\(\\Rightarrow x + y \\equiv 0 \\pmod 3\\).\n\nPary spełniające oba warunki (wypisujemy):\n\\((1,5), (2,1), (3,3), (4,5), (5,1), (6,3)\\) - \\(6\\) par.\n\nSprawdzenie: \\(15, 21, 33, 45, 51, 63\\) - wszystkie nieparzyste i podzielne przez \\(3\\) ✓.\n\\[P(A) = \\dfrac{6}{36} = \\dfrac{1}{6}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez systematyczne zliczanie\nDwucyfrowe \\(ab\\) nieparzyste podzielne przez \\(3\\) z cyframi \\(\\in \\{1 6\\}\\):\n\\(15, 21, 33, 45, 51, 63\\) - liczba \\(6\\). \\(P(A) = \\tfrac{6}{36} = \\tfrac{1}{6}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt - poprawna metoda i wynik \\(\\tfrac{6}{36}\\) lub \\(\\tfrac{1}{6}\\).\n- 1 pkt - podanie \\(|\\Omega| = 36\\) i \\(|A| = 6\\) lub podobny częściowy postęp.\n\n**Trik:** nieparzyste = jedności nieparzyste; podzielne przez 3 = suma cyfr podzielna przez 3.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 31. (0-2)<br>Hotel ma do dyspozycji gości 80 pokoi jednoosobowych.<br>Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi<br>i stwierdził, że:<br>przy wyjściowej cenie wynoszącej 120 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są<br>wynajęte<br>każdy wzrost ceny za dobę hotelową o 5 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych<br>pokoi o 1.<br>Przyjmijmy, że dobowy przychód 𝑃 hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od<br>podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o 5𝑥 złotych, opisuje funkcja<br>𝑃(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥)<br>gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą spełniającą warunki 𝑥≥0 i 𝑥≤80.<br>Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową),<br>aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>Hotel ma do dyspozycji gości 80 pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że: •przy wyjściowej cenie wynoszącej 120 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte •każdy wzrost ceny za dobę hotelową o 5 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o 1. Przyjmijmy, że dobowy przychód P hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o 5x złotych, opisuje funkcja} P(x) = (80-x)(120+5x) gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x≥0 i x≤80. Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 31. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne<br>w sytuacjach dających się opisać funkcją<br>kwadratową.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 260 zł.<br>1 pkt - obliczenie liczby 𝑥 podwyżek, przy których dobowy przychód hotelu<br>z wynajmowania pokoi będzie największy: 28,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑝 wierzchołka paraboli z własności</li></ul>\n<p>𝑃(𝑘1) = 𝑃(𝑘2), gdzie 𝑘1, 𝑘2 są różnymi liczbami takimi, że |𝑝-𝑘1| = |𝑝-𝑘2|:<br>𝑝= 𝑘1 + 𝑘2<br>2<br>= 28.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający błędnie oblicza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli,</li></ol>\n<p>i konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza cenę wynajęcia pokoju, dla której<br>przychód hotelu będzie największy, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie (o ile<br>pierwsza współrzędna jest liczbą należącą do dziedziny).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie zapisze, że 28 należy do dziedziny funkcji 𝑃, to może otrzymać</li></ol>\n<p>2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze tylko 28 i 260 zł, to otrzymuje 1 punkt.</li></ol>\n<p>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝑃 z wykorzystaniem rachunku</li></ol>\n<p>różniczkowego i nie zapisze przedziałów monotoniczności funkcji, to może otrzymać<br>2 punkty za całe rozwiązanie (gdy wyznaczy pochodną funkcji kwadratowej<br>𝑓(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥), obliczy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑓(𝑥) i wskaże<br>cenę wynajęcia pokoju, dla której przychód hotelu będzie największy).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający oblicza 𝑃(28 -𝑘) oraz 𝑃(28 + 𝑘), gdzie 𝑘≠0, i wskaże cenę</li></ol>\n<p>wynajęcia pokoju: 260 zł, dla której przychód hotelu będzie największy, to może otrzymać<br>2 punkty za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Wykresem funkcji 𝑃(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥), gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą z przedziału<br>[0, 80], jest zbiór punktów leżących na paraboli o wierzchołku w punkcie 𝑊= (𝑝, 𝑞)<br>i ramionach skierowanych w dół.<br>Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥):<br>(80 -𝑥)(120 + 5𝑥) = 0<br>𝑥1 = 80 lub 𝑥2 = -24<br>Stąd:<br>𝑝= 𝑥1 + 𝑥2<br>2<br>= 80 + (-24)<br>2<br>= 28 ∈{0, 1, 2, … , 80}<br>To oznacza, że dobowy przychód hotelu będzie największy, gdy 𝑥= 28.<br>Obliczamy cenę wynajęcia pokoju, dla której przychód hotelu będzie największy:<br>120 + 5𝑥= 120 + 5 ⋅28 = 260 zł<br>Sposób II<br>Wykresem funkcji 𝑃(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥), gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą z przedziału<br>[0, 80], jest zbiór punktów leżących na paraboli o wierzchołku w punkcie 𝑊= (𝑝, 𝑞)<br>i ramionach skierowanych w dół.<br>Przekształcamy wzór funkcji 𝑃 do postaci ogólnej:<br>𝑃(𝑥) = 9600 + 400𝑥-120𝑥-5𝑥2 = -5𝑥2 + 280𝑥+ 9600<br>Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:<br>𝑝= -280<br>2 ⋅(-5) = 28 ∈{0, 1, 2, … , 80}<br>To oznacza, że dobowy przychód hotelu będzie największy przy podwyżce ceny za dobę<br>hotelową o 5 ⋅28 = 140 złotych.<br>Wtedy cena wynajęcia pokoju jest równa 120 + 140 = 260 złotych.<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej<br>dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze<br>stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom<br>podstawowy, termin poprawkowy 2025.<br>I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka<br>przestawienia położenia znaku liczby.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę</li></ol>\n<p>rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej<br>1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub</li></ol>\n<p>zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne<br>rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt<br>za rozwiązanie zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej</li></ol>\n<p>zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji<br>kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych<br>sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje<br>prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób<br>ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 5.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia 850 -2145 do postaci (23)50 -2145.<br>Zadanie 8.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania<br>3<br>3𝑥-7 = 5𝑥<br>𝑥-8 do postaci<br>równania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego<br>równania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może<br>otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Zadanie 9.<br>1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego<br>-3𝑥2 -6𝑥+ 9, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego<br>i obliczenie tych pierwiastków<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze</li></ul>\n<p>dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne rozwiązanie nierówności -3𝑥2 -6𝑥&gt; 0 (tzn. stosuje się punkt 6.</li></ul>\n<p>ogólnych zasad oceniania),<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego</li></ul>\n<p>trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze</li></ol>\n<p>zbiór rozwiązań nierówności w postaci (1, -3), to może otrzymać 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.</li><li>Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są</li></ol>\n<p>liczbami wymiernymi.<br>Zadanie 11.<br>1 pkt - zapisanie równania 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52.<br>Zadanie 12.1.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 12.2.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 24.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 26.<br>2 pkt - zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np.<br>𝑉= 𝑎2 ⋅ √3<br>4<br>⋅𝑎√3, LUB zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej<br>graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅ √3<br>4</p>\n<ul><li>3 ⋅𝑎⋅𝑎√3.</li></ul>\n<p>Zadanie 29.<br>1 pkt - zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze</li></ol>\n<p>standardowych zasad oceniania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające</li></ol>\n<p>zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze<br>wynik (np. 5<br>36), to otrzymuje 2 punkty.<br>Zadanie 30.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 31.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{1}{6}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza warunków i liczenie sprzyjających wyników</h4>\n<p><strong>Przestrzeń zdarzeń elementarnych:</strong></p>\n<p>Rzucamy kostką dwukrotnie. Pierwsza liczba to cyfra dziesiątek, druga - cyfra jedności. Każda wynosi od 1 do 6, więc:<br>\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]</p>\n<p><strong>Warunki zdarzenia \\(A\\):</strong></p>\n<p>Liczba dwucyfrowa \\(\\overline{AB}\\) (gdzie \\(A\\) = pierwszy rzut, \\(B\\) = drugi rzut) musi być:</p>\n<ol><li><strong>Nieparzysta</strong> → cyfra jedności \\(B\\) musi być nieparzysta, czyli \\(B \\in \\{1, 3, 5\\}\\)</li><li><strong>Podzielna przez 3</strong> → suma cyfr \\(A + B\\) musi być podzielna przez 3</li></ol>\n<p><strong>Szukamy par \\((A, B)\\) spełniających oba warunki jednocześnie.</strong></p>\n<p>Rozpatruję każdą możliwą wartość \\(B\\):</p>\n<p><strong>Przypadek \\(B = 1\\):</strong> \\(B \\equiv 1 \\pmod{3}\\), więc potrzeba \\(A \\equiv 2 \\pmod{3}\\), czyli \\(A \\in \\{2, 5\\}\\)<br>\\[\\Rightarrow (2, 1),\\ (5, 1) \\quad \\text{→ liczby } 21,\\ 51\\]</p>\n<p><strong>Przypadek \\(B = 3\\):</strong> \\(B \\equiv 0 \\pmod{3}\\), więc potrzeba \\(A \\equiv 0 \\pmod{3}\\), czyli \\(A \\in \\{3, 6\\}\\)<br>\\[\\Rightarrow (3, 3),\\ (6, 3) \\quad \\text{→ liczby } 33,\\ 63\\]</p>\n<p><strong>Przypadek \\(B = 5\\):</strong> \\(B \\equiv 2 \\pmod{3}\\), więc potrzeba \\(A \\equiv 1 \\pmod{3}\\), czyli \\(A \\in \\{1, 4\\}\\)<br>\\[\\Rightarrow (1, 5),\\ (4, 5) \\quad \\text{→ liczby } 15,\\ 45\\]</p>\n<p><strong>Łączna liczba wyników sprzyjających:</strong> \\(|A| = 2 + 2 + 2 = 6\\)</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{6}{36} = \\boxed{\\frac{1}{6}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez tabelę pełnego przeglądu</h4>\n<p>Wypisuję wszystkie 36 wyników i sprawdzam warunki. Zaznaczyłem tylko liczby nieparzyste (kolumny \\(B \\in \\{1,3,5\\}\\)) i podzielne przez 3:</p>\n<p>| \\(A \\backslash B\\) | <strong>1</strong> | 2 | <strong>3</strong> | 4 | <strong>5</strong> | 6 |<br>| <strong>1</strong> | 11 | - | 13 | - | <strong>15</strong> ✓ | - |<br>| <strong>2</strong> | <strong>21</strong> ✓ | - | 23 | - | 25 | - |<br>| <strong>3</strong> | 31 | - | <strong>33</strong> ✓ | - | 35 | - |<br>| <strong>4</strong> | 41 | - | 43 | - | <strong>45</strong> ✓ | - |<br>| <strong>5</strong> | <strong>51</strong> ✓ | - | 53 | - | 55 | - |<br>| <strong>6</strong> | 61 | - | <strong>63</strong> ✓ | - | 65 | - |</p>\n<p>Liczby spełniające oba warunki: \\(15, 21, 33, 45, 51, 63\\) - dokładnie 6 sztuk.</p>\n<p><strong>Weryfikacja każdej:</strong></p>\n<ul><li>\\(15\\): nieparzysta ✓, \\(1+5=6\\) podzielne przez 3 ✓</li><li>\\(21\\): nieparzysta ✓, \\(2+1=3\\) podzielne przez 3 ✓</li><li>\\(33\\): nieparzysta ✓, \\(3+3=6\\) podzielne przez 3 ✓</li><li>\\(45\\): nieparzysta ✓, \\(4+5=9\\) podzielne przez 3 ✓</li><li>\\(51\\): nieparzysta ✓, \\(5+1=6\\) podzielne przez 3 ✓</li><li>\\(63\\): nieparzysta ✓, \\(6+3=9\\) podzielne przez 3 ✓</li></ul>\n<p>\\[P(A) = \\frac{6}{36} = \\frac{1}{6}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru jako podstawy całego rozwiązania: liczymy wyniki sprzyjające i dzielimy przez liczbę wszystkich wyników.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Podzielność przez 3 <strong>nie zależy od ostatniej cyfry</strong>, tylko od <strong>sumy cyfr</strong>. Bardzo często uczniowie mylą podzielność przez 2 (ostatnia cyfra) z podzielność przez 3 - to zupełnie inne kryterium!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyniki rzutu kostką to cyfry od 1 do 6, a nie od 0 do 9. Liczby takie jak 10, 20, 30 są <strong>niemożliwe</strong> do uzyskania w tym doświadczeniu - nie ma na kostce &quot;0&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek &quot;nieparzysta <strong>i</strong> podzielna przez 3&quot; to <strong>koniunkcja</strong> - oba warunki muszą być spełnione jednocześnie. Nie sumujemy prawdopodobieństw, tylko szukamy wyników spełniających obie własności naraz.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{6}{36} = \\dfrac{1}{6}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Klasyczna definicja (karta wzorów, dział 10)</h5>\n<p>Zdarzenia elementarne: uporządkowane pary \\((x,y)\\), gdzie \\(x,y \\in \\{1,\\ldots,6\\}\\). \\(|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\).</p>\n<p>Szukamy par, w których liczba \\(\\overline{xy} = 10x+y\\) jest:</p>\n<ul><li>nieparzysta \\(\\Rightarrow y \\in \\{1,3,5\\}\\),</li><li>podzielna przez \\(3\\) \\(\\Rightarrow x + y \\equiv 0 \\pmod 3\\).</li></ul>\n<p>Pary spełniające oba warunki (wypisujemy):<br>\\((1,5), (2,1), (3,3), (4,5), (5,1), (6,3)\\) - \\(6\\) par.</p>\n<p>Sprawdzenie: \\(15, 21, 33, 45, 51, 63\\) - wszystkie nieparzyste i podzielne przez \\(3\\) ✓.<br>\\[P(A) = \\dfrac{6}{36} = \\dfrac{1}{6}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez systematyczne zliczanie</h5>\n<p>Dwucyfrowe \\(ab\\) nieparzyste podzielne przez \\(3\\) z cyframi \\(\\in \\{1 6\\}\\):<br>\\(15, 21, 33, 45, 51, 63\\) - liczba \\(6\\). \\(P(A) = \\tfrac{6}{36} = \\tfrac{1}{6}\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>2 pkt - poprawna metoda i wynik \\(\\tfrac{6}{36}\\) lub \\(\\tfrac{1}{6}\\).</li><li>1 pkt - podanie \\(|\\Omega| = 36\\) i \\(|A| = 6\\) lub podobny częściowy postęp.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> nieparzyste = jedności nieparzyste; podzielne przez 3 = suma cyfr podzielna przez 3.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Dana jest funkcja:</p>\n<p>P(x)=(80-x)(120+5x)</p>\n<p>Mnożymy nawiasy:</p>\n<p>P(x)=9600+400x-120x-5x^2</p>\n<p>P(x)=-5x^2+280x+9600</p>\n<p>Jest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku.</p>\n<p>Obliczamy argument wierzchołka:</p>\n<p>x_w=(-b)/(2a)</p>\n<p>a=-5, b=280</p>\n<p>x_w=(-280)/(2·(-5))=(-280)/(-10)=28</p>\n<p>Oznacza to, że cenę należy podnieść o:</p>\n<p>5x=5·28=140</p>\n<p>zł.</p>\n<p>Cena wynajęcia pokoju:</p>\n<p>120+140=260</p>\n<p>Odpowiedź: 260 zł.</p>"}]}