{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Ciąg \\((a_{n})\\) jest określony wzorem \\(a_{n} = \\frac{32 \\cdot (-1)^{n}}{2^{n-1}}\\) dla każdej liczby naturalnej \\(n \\geq 1\\). Trzywyrazowy ciąg \\((x, a_{6}, 2x + 10)\\), gdzie \\(x\\) jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetyczny. Oblicz \\(x\\) oraz różnicę tego ciągu arytmetycznego.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\), różnica \\(r = \\dfrac{11}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1: Obliczamy \\(a_6\\).**\n\nPodstawiamy \\(n = 6\\) do wzoru ogólnego:\n\\[a_6 = \\frac{32 \\cdot (-1)^6}{2^{6-1}} = \\frac{32 \\cdot 1}{2^5} = \\frac{32}{32} = 1\\]\n\nZatem ciąg arytmetyczny to \\((x,\\ 1,\\ 2x+10)\\).\n\n**Krok 2: Korzystamy z własności środkowego wyrazu.**\n\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich:\n\\[a_6 = \\frac{x + (2x+10)}{2}\\]\n\nPodstawiamy \\(a_6 = 1\\):\n\\[1 = \\frac{3x + 10}{2}\\]\n\\[2 = 3x + 10\\]\n\\[3x = -8\\]\n\\[\\boxed{x = -\\frac{8}{3}}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy różnicę ciągu.**\n\n\\[r = a_6 - x = 1 - \\left(-\\frac{8}{3}\\right) = 1 + \\frac{8}{3} = \\frac{3}{3} + \\frac{8}{3} = \\boxed{\\frac{11}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Warunek stałej różnicy\n\nW ciągu arytmetycznym każde dwa kolejne wyrazy różnią się o tę samą liczbę \\(r\\):\n\\[a_6 - x = (2x+10) - a_6\\]\n\nPodstawiamy \\(a_6 = 1\\):\n\\[1 - x = (2x + 10) - 1\\]\n\\[1 - x = 2x + 9\\]\n\\[-3x = 8\\]\n\\[x = -\\frac{8}{3}\\]\n\nRóżnica:\n\\[r = 1 - \\left(-\\frac{8}{3}\\right) = \\frac{11}{3}\\]\n\n**Weryfikacja - czy ciąg jest naprawdę arytmetyczny?**\n\nTrzeci wyraz: \\(2x + 10 = 2 \\cdot \\left(-\\frac{8}{3}\\right) + 10 = -\\frac{16}{3} + \\frac{30}{3} = \\frac{14}{3}\\)\n\nSprawdzamy różnice:\n\\[1 - \\left(-\\frac{8}{3}\\right) = \\frac{11}{3} \\qquad \\frac{14}{3} - 1 = \\frac{11}{3} \\checkmark\\]\n\nCiąg to \\(\\left(-\\dfrac{8}{3},\\ 1,\\ \\dfrac{14}{3}\\right)\\) - każdy krok to \\(+\\dfrac{11}{3}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nW Sposobie 1 użyliśmy tej własności dla wyrazu środkowego \\(a_6\\) - przekształcona postać to właśnie \\(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[(-1)^6 = 1, \\qquad 2^5 = 32\\]\nUżyte przy wyznaczaniu \\(a_6\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-1)^6 = 1\\), bo \\(6\\) jest parzyste. Gdyby \\(n\\) było nieparzyste, dostalibyśmy \\(-1\\). Sprawdź dwa razy wykładnik!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na \\(a_n\\) zawiera \\(2^{n-1}\\), nie \\(2^n\\). Dla \\(n=6\\) mamy \\(2^5 = 32\\), a nie \\(2^6 = 64\\). Pomylenie wykładnika to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność środkowego wyrazu \\(a_n = \\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\\) działa tylko wtedy, gdy wiemy, że ciąg jest arytmetyczny - tu jest to dane w treści zadania, więc możemy jej śmiało używać.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\), \\(r = \\dfrac{11}{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Własność średniej arytmetycznej (karta wzorów, dział 5)\nObliczamy \\(a_{6}\\):\n\\[a_{6} = \\dfrac{32 \\cdot (-1)^{6}}{2^{6-1}} = \\dfrac{32 \\cdot 1}{32} = 1.\\]\nW ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiednich:\n\\[a_{6} = \\dfrac{x + (2x+10)}{2} \\Rightarrow 1 = \\dfrac{3x+10}{2} \\Rightarrow 3x + 10 = 2 \\Rightarrow x = -\\dfrac{8}{3}.\\]\nRóżnica: \\(r = a_{6} - x = 1 - \\left(-\\tfrac{8}{3}\\right) = 1 + \\tfrac{8}{3} = \\tfrac{11}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Układ równań\n\\(\\begin{cases} 1 = x + r \\\\ 2x+10 = 1 + r \\end{cases}\\). Z pierwszego \\(x = 1 - r\\), podstawiamy: \\(2(1-r)+10 = 1+r \\Rightarrow 12-2r = 1+r \\Rightarrow 3r = 11 \\Rightarrow r = \\tfrac{11}{3}\\), więc \\(x = 1 - \\tfrac{11}{3} = -\\tfrac{8}{3}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 4 pkt - poprawne wyniki \\(x = -\\tfrac{8}{3}, r = \\tfrac{11}{3}\\).\n- 3 pkt - obliczenie \\(x\\) lub \\(r\\).\n- 2 pkt - \\(a_{6} = 1\\) i poprawne równanie.\n- 1 pkt - \\(a_{6} = 1\\).\n\n**Trik:** w ciągu arytmetycznym \\(a_{n} = \\tfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Ciąg \\((a_{n})\\) jest określony wzorem \\(a_{n} = \\frac{32 \\cdot (-1)^{n}}{2^{n-1}}\\) dla każdej liczby naturalnej \\(n \\geq 1\\). Trzywyrazowy ciąg \\((x, a_{6}, 2x + 10)\\), gdzie \\(x\\) jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetyczny. Oblicz \\(x\\) oraz różnicę tego ciągu arytmetycznego.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\), różnica \\(r = \\dfrac{11}{3}\\)

\n

Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego

\n

Krok 1: Obliczamy \\(a_6\\).

\n

Podstawiamy \\(n = 6\\) do wzoru ogólnego:
\\[a_6 = \\frac{32 \\cdot (-1)^6}{2^{6-1}} = \\frac{32 \\cdot 1}{2^5} = \\frac{32}{32} = 1\\]

\n

Zatem ciąg arytmetyczny to \\((x,\\ 1,\\ 2x+10)\\).

\n

Krok 2: Korzystamy z własności środkowego wyrazu.

\n

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich:
\\[a_6 = \\frac{x + (2x+10)}{2}\\]

\n

Podstawiamy \\(a_6 = 1\\):
\\[1 = \\frac{3x + 10}{2}\\]
\\[2 = 3x + 10\\]
\\[3x = -8\\]
\\[\\boxed{x = -\\frac{8}{3}}\\]

\n

Krok 3: Obliczamy różnicę ciągu.

\n

\\[r = a_6 - x = 1 - \\left(-\\frac{8}{3}\\right) = 1 + \\frac{8}{3} = \\frac{3}{3} + \\frac{8}{3} = \\boxed{\\frac{11}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Warunek stałej różnicy

\n

W ciągu arytmetycznym każde dwa kolejne wyrazy różnią się o tę samą liczbę \\(r\\):
\\[a_6 - x = (2x+10) - a_6\\]

\n

Podstawiamy \\(a_6 = 1\\):
\\[1 - x = (2x + 10) - 1\\]
\\[1 - x = 2x + 9\\]
\\[-3x = 8\\]
\\[x = -\\frac{8}{3}\\]

\n

Różnica:
\\[r = 1 - \\left(-\\frac{8}{3}\\right) = \\frac{11}{3}\\]

\n

Weryfikacja - czy ciąg jest naprawdę arytmetyczny?

\n

Trzeci wyraz: \\(2x + 10 = 2 \\cdot \\left(-\\frac{8}{3}\\right) + 10 = -\\frac{16}{3} + \\frac{30}{3} = \\frac{14}{3}\\)

\n

Sprawdzamy różnice:
\\[1 - \\left(-\\frac{8}{3}\\right) = \\frac{11}{3} \\qquad \\frac{14}{3} - 1 = \\frac{11}{3} \\checkmark\\]

\n

Ciąg to \\(\\left(-\\dfrac{8}{3},\\ 1,\\ \\dfrac{14}{3}\\right)\\) - każdy krok to \\(+\\dfrac{11}{3}\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]
W Sposobie 1 użyliśmy tej własności dla wyrazu środkowego \\(a_6\\) - przekształcona postać to właśnie \\(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\\).

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na potęgach:
\\[(-1)^6 = 1, \\qquad 2^5 = 32\\]
Użyte przy wyznaczaniu \\(a_6\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\((-1)^6 = 1\\), bo \\(6\\) jest parzyste. Gdyby \\(n\\) było nieparzyste, dostalibyśmy \\(-1\\). Sprawdź dwa razy wykładnik!
\n
⚠️ Uwaga: Wzór na \\(a_n\\) zawiera \\(2^{n-1}\\), nie \\(2^n\\). Dla \\(n=6\\) mamy \\(2^5 = 32\\), a nie \\(2^6 = 64\\). Pomylenie wykładnika to najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Własność środkowego wyrazu \\(a_n = \\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\\) działa tylko wtedy, gdy wiemy, że ciąg jest arytmetyczny - tu jest to dane w treści zadania, więc możemy jej śmiało używać.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\), \\(r = \\dfrac{11}{3}\\)

\n
Sposób 1 - Własność średniej arytmetycznej (karta wzorów, dział 5)
\n

Obliczamy \\(a_{6}\\):
\\[a_{6} = \\dfrac{32 \\cdot (-1)^{6}}{2^{6-1}} = \\dfrac{32 \\cdot 1}{32} = 1.\\]
W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiednich:
\\[a_{6} = \\dfrac{x + (2x+10)}{2} \\Rightarrow 1 = \\dfrac{3x+10}{2} \\Rightarrow 3x + 10 = 2 \\Rightarrow x = -\\dfrac{8}{3}.\\]
Różnica: \\(r = a_{6} - x = 1 - \\left(-\\tfrac{8}{3}\\right) = 1 + \\tfrac{8}{3} = \\tfrac{11}{3}\\).

\n
Sposób 2 - Układ równań
\n

\\(\\begin{cases} 1 = x + r \\\\ 2x+10 = 1 + r \\end{cases}\\). Z pierwszego \\(x = 1 - r\\), podstawiamy: \\(2(1-r)+10 = 1+r \\Rightarrow 12-2r = 1+r \\Rightarrow 3r = 11 \\Rightarrow r = \\tfrac{11}{3}\\), więc \\(x = 1 - \\tfrac{11}{3} = -\\tfrac{8}{3}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: w ciągu arytmetycznym \\(a_{n} = \\tfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\\).

"}]}