{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF . Wysokość podstawy ABC jest równa \\(2\\sqrt{3}\\) . Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt o mierze \\(60^{\\circ}\\)\n\n/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2508/z33.png\n\n. F D E C \\(2\\sqrt{3} 60^{\\circ}\\) A B Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**Objętość:** \\(V = 48\\)\n\n**Pole powierzchni całkowitej:** \\(P_c = 56\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie boku podstawy z kąta na ścianie bocznej\n\n### Krok 1: Oznaczenia\n\nNiech \\(a\\) = bok podstawy równobocznej, \\(h\\) = wysokość graniastosłupa.\n\nŚciana boczna \\(ABED\\) to prostokąt:\n- pozioma krawędź: \\(AB = a\\)\n- pionowa krawędź: \\(BE = h\\) (krawędź boczna graniastosłupa)\n\nPrzekątna \\(AE\\) tej ściany łączy wierzchołek \\(A\\) z \\(E\\) (wierzchołek górny nad \\(B\\)).\n\n### Krok 2: Wyznaczenie \\(h\\) z kąta \\(60°\\)\n\nW prostokącie \\(ABED\\) kąt między \\(AE\\) a \\(AB\\) wynosi \\(60°\\). Z trygonometrii w trójkącie prostokątnym \\(ABE\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}60° = \\frac{BE}{AB} = \\frac{h}{a}\\]\n\n\\[\\sqrt{3} = \\frac{h}{a} \\implies h = a\\sqrt{3}\\]\n\n### Krok 3: Wyznaczenie \\(a\\) z wysokości podstawy\n\nTrójkąt równoboczny o boku \\(a\\) ma wysokość:\n\n\\[h_\\triangle = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nDane: \\(h_\\triangle = 2\\sqrt{3}\\), więc:\n\n\\[\\frac{a\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3} \\implies a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\implies \\boxed{a = 4}\\]\n\n### Krok 4: Wysokość graniastosłupa\n\n\\[h = a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3}\\]\n\n### Krok 5: Pole podstawy\n\n\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{16\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3}\\]\n\n### Krok 6: Objętość\n\n\\[V = P_p \\cdot h = 4\\sqrt{3} \\cdot 4\\sqrt{3} = 16 \\cdot 3 = \\boxed{48}\\]\n\n### Krok 7: Pole powierzchni całkowitej\n\nDwie podstawy:\n\\[2P_p = 2 \\cdot 4\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}\\]\n\nTrzy ściany boczne (prostokąt \\(a \\times h\\)):\n\\[P_b = 3 \\cdot a \\cdot h = 3 \\cdot 4 \\cdot 4\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\]\n\nŁącznie:\n\\[P_c = 8\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = \\boxed{56\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez cosinus kąta i bezpośrednie obliczenie długości przekątnej\n\n### Inaczej wyznaczamy \\(h\\)\n\nDługość przekątnej \\(AE\\) ściany bocznej:\n\\[|AE| = \\frac{|AB|}{\\cos 60°} = \\frac{a}{\\frac{1}{2}} = 2a\\]\n\nZ Pitagorasa w trójkącie \\(ABE\\) (kąt prosty w \\(B\\)):\n\\[|AE|^2 = |AB|^2 + |BE|^2 \\implies (2a)^2 = a^2 + h^2\\]\n\\[4a^2 = a^2 + h^2 \\implies h^2 = 3a^2 \\implies h = a\\sqrt{3}\\]\n\n**Wynik ten sam** - reszta obliczeń identyczna.\n\n### Weryfikacja liczbowa\n\nPrzy \\(a = 4\\), \\(h = 4\\sqrt{3}\\):\n- Przekątna \\(|AE| = 2 \\cdot 4 = 8\\)\n- Sprawdzamy kąt: \\(\\cos\\alpha = \\frac{AB}{AE} = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2} \\implies \\alpha = 60°\\) ✓\n- Wysokość podstawy: \\(\\frac{4\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-27)** - graniastosłup prosty:\n\\[P_b = Ob \\cdot h, \\quad V = P_p \\cdot h\\]\nUżyte w Kroku 6 i 7 do objętości i pola powierzchni bocznej.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 21)** - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[h_\\triangle = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyte w Kroku 3 (wyznaczenie \\(a\\)) i Kroku 5 (pole podstawy).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa i wartość \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\):\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyległa}}\\]\nUżyte w Kroku 2 do wyznaczenia zależności \\(h = a\\sqrt{3}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna \\(AE\\) ściany bocznej **nie jest** przekątną graniastosłupa! To przekątna prostokąta \\(ABED\\) - łączy dwa wierzchołki tej samej ściany. Nie myl z przekątną przestrzenną (np. \\(AC'\\) w graniastosłupie czworokątnym).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trójkąta równobocznego \\(\\neq\\) bok! Przy \\(a = 4\\) wysokość wynosi \\(2\\sqrt{3} \\approx 3{,}46\\), nie \\(4\\). Stąd \\(a \\neq 2\\sqrt{3}\\) - to częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\), ale \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\). Nie przestawiaj tych wartości - i tak wychodzi \\(h = a\\sqrt{3}\\), ale przez błędną wartość możesz dostać \\(h = \\frac{a}{2}\\), co da zupełnie inny wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(V = 48\\), \\(P_{c} = 56\\sqrt{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku (karta wzorów, dział G11)\n\n**Krok 1: długość krawędzi podstawy.** Wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(h = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).\n\\[2\\sqrt{3} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} \\Rightarrow a = 4.\\]\n\n**Krok 2: wysokość graniastosłupa \\(H\\).** W trójkącie prostokątnym \\(ABE\\) (ściana \\(ABED\\) jest prostokątem): \\(\\tan 60^{\\circ} = \\dfrac{H}{a}\\):\n\\[H = a \\cdot \\tan 60^{\\circ} = 4\\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 3: objętość.**\n\\[V = P_{\\triangle} \\cdot H = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} \\cdot H = \\dfrac{16\\sqrt{3}}{4} \\cdot 4\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\cdot 4\\sqrt{3} = 48.\\]\n\n**Krok 4: pole powierzchni całkowitej.**\n\\[P_{c} = 2 \\cdot \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} + 3 \\cdot a \\cdot H = 2 \\cdot 4\\sqrt{3} + 3 \\cdot 4 \\cdot 4\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = 56\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio z proporcji\nW trójkącie \\(30^{\\circ}\\text{-}60^{\\circ}\\text{-}90^{\\circ}\\) w ścianie: jeśli kąt przy \\(A\\) to \\(60^{\\circ}\\), to \\(H = a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3}\\); następnie \\(V\\) i \\(P_{c}\\) jak wyżej.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 4 pkt - oba wyniki \\(V = 48\\) i \\(P_{c} = 56\\sqrt{3}\\).\n- 3 pkt - tylko jeden z nich.\n- 2 pkt - \\(a = 4\\) i \\(H = 4\\sqrt{3}\\).\n- 1 pkt - \\(a = 4\\) lub \\(\\tan 60^{\\circ} = H/a\\).\n\n**Trik:** w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystko sprowadza się do wyznaczenia \\(a\\) i \\(H\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF . Wysokość podstawy ABC jest równa \\(2\\sqrt{3}\\) . Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt o mierze \\(60^{\\circ}\\)

\n

/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2508/z33.png

\n

. F D E C \\(2\\sqrt{3} 60^{\\circ}\\) A B Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Objętość: \\(V = 48\\)

\n

Pole powierzchni całkowitej: \\(P_c = 56\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie boku podstawy z kąta na ścianie bocznej

\n
Krok 1: Oznaczenia
\n

Niech \\(a\\) = bok podstawy równobocznej, \\(h\\) = wysokość graniastosłupa.

\n

Ściana boczna \\(ABED\\) to prostokąt:

\n\n

Przekątna \\(AE\\) tej ściany łączy wierzchołek \\(A\\) z \\(E\\) (wierzchołek górny nad \\(B\\)).

\n
Krok 2: Wyznaczenie \\(h\\) z kąta \\(60°\\)
\n

W prostokącie \\(ABED\\) kąt między \\(AE\\) a \\(AB\\) wynosi \\(60°\\). Z trygonometrii w trójkącie prostokątnym \\(ABE\\):

\n

\\[\\operatorname{tg}60° = \\frac{BE}{AB} = \\frac{h}{a}\\]

\n

\\[\\sqrt{3} = \\frac{h}{a} \\implies h = a\\sqrt{3}\\]

\n
Krok 3: Wyznaczenie \\(a\\) z wysokości podstawy
\n

Trójkąt równoboczny o boku \\(a\\) ma wysokość:

\n

\\[h_\\triangle = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Dane: \\(h_\\triangle = 2\\sqrt{3}\\), więc:

\n

\\[\\frac{a\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3} \\implies a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\implies \\boxed{a = 4}\\]

\n
Krok 4: Wysokość graniastosłupa
\n

\\[h = a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3}\\]

\n
Krok 5: Pole podstawy
\n

\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{16\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3}\\]

\n
Krok 6: Objętość
\n

\\[V = P_p \\cdot h = 4\\sqrt{3} \\cdot 4\\sqrt{3} = 16 \\cdot 3 = \\boxed{48}\\]

\n
Krok 7: Pole powierzchni całkowitej
\n

Dwie podstawy:
\\[2P_p = 2 \\cdot 4\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}\\]

\n

Trzy ściany boczne (prostokąt \\(a \\times h\\)):
\\[P_b = 3 \\cdot a \\cdot h = 3 \\cdot 4 \\cdot 4\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\]

\n

Łącznie:
\\[P_c = 8\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = \\boxed{56\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Przez cosinus kąta i bezpośrednie obliczenie długości przekątnej

\n
Inaczej wyznaczamy \\(h\\)
\n

Długość przekątnej \\(AE\\) ściany bocznej:
\\[|AE| = \\frac{|AB|}{\\cos 60°} = \\frac{a}{\\frac{1}{2}} = 2a\\]

\n

Z Pitagorasa w trójkącie \\(ABE\\) (kąt prosty w \\(B\\)):
\\[|AE|^2 = |AB|^2 + |BE|^2 \\implies (2a)^2 = a^2 + h^2\\]
\\[4a^2 = a^2 + h^2 \\implies h^2 = 3a^2 \\implies h = a\\sqrt{3}\\]

\n

Wynik ten sam - reszta obliczeń identyczna.

\n
Weryfikacja liczbowa
\n

Przy \\(a = 4\\), \\(h = 4\\sqrt{3}\\):

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-27) - graniastosłup prosty:
\\[P_b = Ob \\cdot h, \\quad V = P_p \\cdot h\\]
Użyte w Kroku 6 i 7 do objętości i pola powierzchni bocznej.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 21) - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):
\\[h_\\triangle = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Użyte w Kroku 3 (wyznaczenie \\(a\\)) i Kroku 5 (pole podstawy).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicja tangensa i wartość \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\):
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyległa}}\\]
Użyte w Kroku 2 do wyznaczenia zależności \\(h = a\\sqrt{3}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przekątna \\(AE\\) ściany bocznej nie jest przekątną graniastosłupa! To przekątna prostokąta \\(ABED\\) - łączy dwa wierzchołki tej samej ściany. Nie myl z przekątną przestrzenną (np. \\(AC'\\) w graniastosłupie czworokątnym).
\n
⚠️ Uwaga: Wysokość trójkąta równobocznego \\(\\neq\\) bok! Przy \\(a = 4\\) wysokość wynosi \\(2\\sqrt{3} \\approx 3{,}46\\), nie \\(4\\). Stąd \\(a \\neq 2\\sqrt{3}\\) - to częsty błąd.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\), ale \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\). Nie przestawiaj tych wartości - i tak wychodzi \\(h = a\\sqrt{3}\\), ale przez błędną wartość możesz dostać \\(h = \\frac{a}{2}\\), co da zupełnie inny wynik.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(V = 48\\), \\(P_{c} = 56\\sqrt{3}\\)

\n
Sposób 1 - Krok po kroku (karta wzorów, dział G11)
\n

Krok 1: długość krawędzi podstawy. Wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(h = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).
\\[2\\sqrt{3} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} \\Rightarrow a = 4.\\]

\n

Krok 2: wysokość graniastosłupa \\(H\\). W trójkącie prostokątnym \\(ABE\\) (ściana \\(ABED\\) jest prostokątem): \\(\\tan 60^{\\circ} = \\dfrac{H}{a}\\):
\\[H = a \\cdot \\tan 60^{\\circ} = 4\\sqrt{3}.\\]

\n

Krok 3: objętość.
\\[V = P_{\\triangle} \\cdot H = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} \\cdot H = \\dfrac{16\\sqrt{3}}{4} \\cdot 4\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\cdot 4\\sqrt{3} = 48.\\]

\n

Krok 4: pole powierzchni całkowitej.
\\[P_{c} = 2 \\cdot \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} + 3 \\cdot a \\cdot H = 2 \\cdot 4\\sqrt{3} + 3 \\cdot 4 \\cdot 4\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = 56\\sqrt{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Bezpośrednio z proporcji
\n

W trójkącie \\(30^{\\circ}\\text{-}60^{\\circ}\\text{-}90^{\\circ}\\) w ścianie: jeśli kąt przy \\(A\\) to \\(60^{\\circ}\\), to \\(H = a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3}\\); następnie \\(V\\) i \\(P_{c}\\) jak wyżej.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystko sprowadza się do wyznaczenia \\(a\\) i \\(H\\).

"}]}