{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"W układzie współrzędnych (x, y) dane są punkty A= (-4, 7) oraz B= (12, 3) . Prosta AB przecina oś Ox w punkcie C . Symetralna odcinka AB przecina oś Ox w punkcie D . Oblicz współrzędne punktów C i D oraz pole trójkąta ACD.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(C = (24, 0)\\), \\(D = \\left(\\frac{11}{4}, 0\\right)\\), pole trójkąta \\(ACD = \\frac{595}{8}\\)\n\n## Sposób 1 - równanie prostej + środek i prostopadła\n\n### Krok 1: Równanie prostej AB\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{3 - 7}{12 - (-4)} = \\frac{-4}{16} = -\\frac{1}{4}\\]\n\nRównanie prostej AB (przez punkt \\(A(-4, 7)\\)):\n\\[y - 7 = -\\frac{1}{4}(x + 4)\\]\n\\[y = -\\frac{1}{4}x - 1 + 7\\]\n\\[y = -\\frac{1}{4}x + 6\\]\n\n### Krok 2: Punkt C - prosta AB przecina oś Ox\n\nPodstawiamy \\(y = 0\\):\n\\[0 = -\\frac{1}{4}x + 6 \\implies \\frac{x}{4} = 6 \\implies x = 24\\]\n\n\\[\\boxed{C = (24,\\ 0)}\\]\n\n### Krok 3: Symetralna odcinka AB\n\n**Środek odcinka AB:**\n\\[M = \\left(\\frac{-4 + 12}{2},\\ \\frac{7 + 3}{2}\\right) = (4,\\ 5)\\]\n\nSymetralna jest prostopadła do AB, więc jej współczynnik kierunkowy to:\n\\[a_\\perp = \\frac{-1}{a} = \\frac{-1}{-\\frac{1}{4}} = 4\\]\n\nRównanie symetralnej przez \\(M(4, 5)\\):\n\\[y - 5 = 4(x - 4)\\]\n\\[y = 4x - 11\\]\n\n### Krok 4: Punkt D - symetralna przecina oś Ox\n\nPodstawiamy \\(y = 0\\):\n\\[0 = 4x - 11 \\implies x = \\frac{11}{4}\\]\n\n\\[\\boxed{D = \\left(\\frac{11}{4},\\ 0\\right)}\\]\n\n### Krok 5: Pole trójkąta ACD\n\nPunkty \\(C\\) i \\(D\\) leżą **obydwa na osi Ox** - zatem odcinek \\(CD\\) jest podstawą trójkąta, a wysokość to odległość punktu \\(A\\) od osi Ox, czyli \\(|y_A| = 7\\).\n\nDługość podstawy:\n\\[|CD| = 24 - \\frac{11}{4} = \\frac{96}{4} - \\frac{11}{4} = \\frac{85}{4}\\]\n\nPole:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |CD| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{85}{4} \\cdot 7 = \\frac{595}{8}\\]\n\n\\[\\boxed{P_{ACD} = \\frac{595}{8} = 74\\frac{3}{8}}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór na pole trójkąta ze współrzędnych\n\nKorzystamy ze wzoru (dział 11 karty CKE):\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_C - x_A)(y_D - y_A) - (y_C - y_A)(x_D - x_A)|\\]\n\nPodstawiamy \\(A(-4, 7)\\), \\(C(24, 0)\\), \\(D\\!\\left(\\frac{11}{4}, 0\\right)\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(24-(-4))\\cdot(0-7) - (0-7)\\cdot\\left(\\frac{11}{4}-(-4)\\right)\\right|\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2}\\left|28 \\cdot (-7) - (-7) \\cdot \\frac{27}{4}\\right|\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2}\\left|-196 + \\frac{189}{4}\\right|\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2}\\left|\\frac{-784 + 189}{4}\\right|\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{595}{4} = \\frac{595}{8}\\]\n\nWynik zgodny - weryfikacja potwierdza \\(P = \\dfrac{595}{8}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n- Równanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\), współczynnik:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\nUżyte w Kroku 1 do wyznaczenia prostej AB.\n\n- Środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyte w Kroku 3 do znalezienia środka AB.\n\n- Proste prostopadłe: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)\nUżyte do wyznaczenia kierunku symetralnej.\n\n- Pole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżyte w Sposobie 2 jako weryfikacja.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetralna odcinka AB to **NIE** prosta prostopadła do AB przechodząca przez dowolny punkt - musi przechodzić przez **środek** odcinka AB. Pominięcie wyznaczenia środka to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu pola trójkąta, gdy **dwa wierzchołki leżą na osi Ox**, nie trzeba stosować pełnego wzoru współrzędnościowego - wystarczy \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\), gdzie wysokość = \\(|y_A|\\). To dużo szybciej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to \\(-\\frac{1}{a}\\), **nie** \\(-a\\). Dla prostej o \\(a = -\\frac{1}{4}\\) prostopadła ma \\(a_\\perp = 4\\) - tu łatwo o pomyłkę przy ułamkach.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(C = (24, 0)\\), \\(D = \\left(\\dfrac{11}{4}, 0\\right)\\), \\(P_{ACD} = \\dfrac{595}{8}\\)**\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku (karta wzorów, dział 8)\n\n**Krok 1: równanie prostej \\(AB\\).**\nWspółczynnik kierunkowy: \\(a = \\dfrac{3-7}{12-(-4)} = \\dfrac{-4}{16} = -\\dfrac{1}{4}\\).\nRównanie: \\(y - 7 = -\\tfrac{1}{4}(x+4) \\Rightarrow y = -\\tfrac{1}{4}x + 6\\).\n\n**Krok 2: punkt \\(C\\) (przecięcie z \\(Ox\\)).** \\(y = 0\\): \\(0 = -\\tfrac{1}{4}x + 6 \\Rightarrow x = 24\\). \\(C = (24, 0)\\).\n\n**Krok 3: równanie symetralnej \\(AB\\).**\nŚrodek \\(M\\) odcinka \\(AB\\): \\(M = \\left(\\tfrac{-4+12}{2}, \\tfrac{7+3}{2}\\right) = (4, 5)\\).\nWspółczynnik prostopadłej: \\(a_{\\perp} = 4\\) (bo \\(a_{AB} \\cdot a_{\\perp} = -1\\)).\nSymetralna: \\(y - 5 = 4(x - 4) \\Rightarrow y = 4x - 11\\).\n\n**Krok 4: punkt \\(D\\).** \\(y = 0\\): \\(4x - 11 = 0 \\Rightarrow x = \\tfrac{11}{4}\\). \\(D = \\left(\\tfrac{11}{4}, 0\\right)\\).\n\n**Krok 5: pole trójkąta \\(ACD\\).**\nPodstawa \\(CD\\) leży na osi \\(Ox\\): \\(|CD| = 24 - \\tfrac{11}{4} = \\tfrac{96-11}{4} = \\tfrac{85}{4}\\).\nWysokość z \\(A = (-4, 7)\\) opuszczona na oś \\(Ox\\): \\(h = |y_{A}| = 7\\).\n\\[P_{ACD} = \\tfrac{1}{2} \\cdot \\tfrac{85}{4} \\cdot 7 = \\tfrac{595}{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Odległość od symetralnej\n\\(D\\) leży na symetralnej \\(AB\\) i na osi \\(Ox\\), więc \\(|AD| = |BD|\\). Po podstawieniu do wzoru na odległość otrzymujemy \\(x_{D} = \\tfrac{11}{4}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 5 pkt - pełne rozwiązanie.\n- 4 pkt - tylko współrzędne \\(C\\) i \\(D\\).\n- 3 pkt - \\(C\\) + jeden krok do \\(D\\).\n- 2 pkt - \\(C = (24,0)\\) + początek.\n- 1 pkt - samo \\(C\\) lub elementy wstępne.\n\n**Trik:** dla pola trójkąta \\(ACD\\) z \\(CD\\) na osi \\(Ox\\) wysokość to po prostu \\(|y_{A}|\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

W układzie współrzędnych (x, y) dane są punkty A= (-4, 7) oraz B= (12, 3) . Prosta AB przecina oś Ox w punkcie C . Symetralna odcinka AB przecina oś Ox w punkcie D . Oblicz współrzędne punktów C i D oraz pole trójkąta ACD.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\(C = (24, 0)\\), \\(D = \\left(\\frac{11}{4}, 0\\right)\\), pole trójkąta \\(ACD = \\frac{595}{8}\\)

\n

Sposób 1 - równanie prostej + środek i prostopadła

\n
Krok 1: Równanie prostej AB
\n

Współczynnik kierunkowy:
\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{3 - 7}{12 - (-4)} = \\frac{-4}{16} = -\\frac{1}{4}\\]

\n

Równanie prostej AB (przez punkt \\(A(-4, 7)\\)):
\\[y - 7 = -\\frac{1}{4}(x + 4)\\]
\\[y = -\\frac{1}{4}x - 1 + 7\\]
\\[y = -\\frac{1}{4}x + 6\\]

\n
Krok 2: Punkt C - prosta AB przecina oś Ox
\n

Podstawiamy \\(y = 0\\):
\\[0 = -\\frac{1}{4}x + 6 \\implies \\frac{x}{4} = 6 \\implies x = 24\\]

\n

\\[\\boxed{C = (24,\\ 0)}\\]

\n
Krok 3: Symetralna odcinka AB
\n

Środek odcinka AB:
\\[M = \\left(\\frac{-4 + 12}{2},\\ \\frac{7 + 3}{2}\\right) = (4,\\ 5)\\]

\n

Symetralna jest prostopadła do AB, więc jej współczynnik kierunkowy to:
\\[a_\\perp = \\frac{-1}{a} = \\frac{-1}{-\\frac{1}{4}} = 4\\]

\n

Równanie symetralnej przez \\(M(4, 5)\\):
\\[y - 5 = 4(x - 4)\\]
\\[y = 4x - 11\\]

\n
Krok 4: Punkt D - symetralna przecina oś Ox
\n

Podstawiamy \\(y = 0\\):
\\[0 = 4x - 11 \\implies x = \\frac{11}{4}\\]

\n

\\[\\boxed{D = \\left(\\frac{11}{4},\\ 0\\right)}\\]

\n
Krok 5: Pole trójkąta ACD
\n

Punkty \\(C\\) i \\(D\\) leżą obydwa na osi Ox - zatem odcinek \\(CD\\) jest podstawą trójkąta, a wysokość to odległość punktu \\(A\\) od osi Ox, czyli \\(|y_A| = 7\\).

\n

Długość podstawy:
\\[|CD| = 24 - \\frac{11}{4} = \\frac{96}{4} - \\frac{11}{4} = \\frac{85}{4}\\]

\n

Pole:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |CD| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{85}{4} \\cdot 7 = \\frac{595}{8}\\]

\n

\\[\\boxed{P_{ACD} = \\frac{595}{8} = 74\\frac{3}{8}}\\]

\n

Sposób 2 - wzór na pole trójkąta ze współrzędnych

\n

Korzystamy ze wzoru (dział 11 karty CKE):
\\[P = \\frac{1}{2}|(x_C - x_A)(y_D - y_A) - (y_C - y_A)(x_D - x_A)|\\]

\n

Podstawiamy \\(A(-4, 7)\\), \\(C(24, 0)\\), \\(D\\!\\left(\\frac{11}{4}, 0\\right)\\):

\n

\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(24-(-4))\\cdot(0-7) - (0-7)\\cdot\\left(\\frac{11}{4}-(-4)\\right)\\right|\\]

\n

\\[= \\frac{1}{2}\\left|28 \\cdot (-7) - (-7) \\cdot \\frac{27}{4}\\right|\\]

\n

\\[= \\frac{1}{2}\\left|-196 + \\frac{189}{4}\\right|\\]

\n

\\[= \\frac{1}{2}\\left|\\frac{-784 + 189}{4}\\right|\\]

\n

\\[= \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{595}{4} = \\frac{595}{8}\\]

\n

Wynik zgodny - weryfikacja potwierdza \\(P = \\dfrac{595}{8}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):

\n\n

\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]
Użyte w Kroku 1 do wyznaczenia prostej AB.

\n\n

\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyte w Kroku 3 do znalezienia środka AB.

\n\n

Użyte do wyznaczenia kierunku symetralnej.

\n\n

\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]
Użyte w Sposobie 2 jako weryfikacja.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Symetralna odcinka AB to NIE prosta prostopadła do AB przechodząca przez dowolny punkt - musi przechodzić przez środek odcinka AB. Pominięcie wyznaczenia środka to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu pola trójkąta, gdy dwa wierzchołki leżą na osi Ox, nie trzeba stosować pełnego wzoru współrzędnościowego - wystarczy \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\), gdzie wysokość = \\(|y_A|\\). To dużo szybciej!
\n
⚠️ Uwaga: Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to \\(-\\frac{1}{a}\\), nie \\(-a\\). Dla prostej o \\(a = -\\frac{1}{4}\\) prostopadła ma \\(a_\\perp = 4\\) - tu łatwo o pomyłkę przy ułamkach.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(C = (24, 0)\\), \\(D = \\left(\\dfrac{11}{4}, 0\\right)\\), \\(P_{ACD} = \\dfrac{595}{8}\\)

\n
Sposób 1 - Krok po kroku (karta wzorów, dział 8)
\n

Krok 1: równanie prostej \\(AB\\).
Współczynnik kierunkowy: \\(a = \\dfrac{3-7}{12-(-4)} = \\dfrac{-4}{16} = -\\dfrac{1}{4}\\).
Równanie: \\(y - 7 = -\\tfrac{1}{4}(x+4) \\Rightarrow y = -\\tfrac{1}{4}x + 6\\).

\n

Krok 2: punkt \\(C\\) (przecięcie z \\(Ox\\)). \\(y = 0\\): \\(0 = -\\tfrac{1}{4}x + 6 \\Rightarrow x = 24\\). \\(C = (24, 0)\\).

\n

Krok 3: równanie symetralnej \\(AB\\).
Środek \\(M\\) odcinka \\(AB\\): \\(M = \\left(\\tfrac{-4+12}{2}, \\tfrac{7+3}{2}\\right) = (4, 5)\\).
Współczynnik prostopadłej: \\(a_{\\perp} = 4\\) (bo \\(a_{AB} \\cdot a_{\\perp} = -1\\)).
Symetralna: \\(y - 5 = 4(x - 4) \\Rightarrow y = 4x - 11\\).

\n

Krok 4: punkt \\(D\\). \\(y = 0\\): \\(4x - 11 = 0 \\Rightarrow x = \\tfrac{11}{4}\\). \\(D = \\left(\\tfrac{11}{4}, 0\\right)\\).

\n

Krok 5: pole trójkąta \\(ACD\\).
Podstawa \\(CD\\) leży na osi \\(Ox\\): \\(|CD| = 24 - \\tfrac{11}{4} = \\tfrac{96-11}{4} = \\tfrac{85}{4}\\).
Wysokość z \\(A = (-4, 7)\\) opuszczona na oś \\(Ox\\): \\(h = |y_{A}| = 7\\).
\\[P_{ACD} = \\tfrac{1}{2} \\cdot \\tfrac{85}{4} \\cdot 7 = \\tfrac{595}{8}.\\]

\n
Sposób 2 - Odległość od symetralnej
\n

\\(D\\) leży na symetralnej \\(AB\\) i na osi \\(Ox\\), więc \\(|AD| = |BD|\\). Po podstawieniu do wzoru na odległość otrzymujemy \\(x_{D} = \\tfrac{11}{4}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: dla pola trójkąta \\(ACD\\) z \\(CD\\) na osi \\(Ox\\) wysokość to po prostu \\(|y_{A}|\\).

"}]}