{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log3 2 -log3 18 jest równa\nA. (-2)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n2\nD. 2\n\nMMAP-P0_100\nLiczba log_3 2 - log_3 18 jest równa A. (-2) B. (-1/2) C. 1/2 D. 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(12xy\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory skróconego mnożenia\n\nRozwijamy każdy nawias osobno, korzystając ze wzorów na \\((a+b)^2\\) i \\((a-b)^2\\).\n\nOznaczmy \\(a = 3x\\), \\(b = y\\). Wtedy:\n\n\\[(3x+y)^2 = (3x)^2 + 2 \\cdot 3x \\cdot y + y^2 = 9x^2 + 6xy + y^2\\]\n\n\\[(3x-y)^2 = (3x)^2 - 2 \\cdot 3x \\cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2\\]\n\nOdejmujemy:\n\\[(3x+y)^2 - (3x-y)^2 = (9x^2 + 6xy + y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2)\\]\n\nUsuwamy nawiasy (uwaga na minus przed drugim nawiasem!):\n\\[= 9x^2 + 6xy + y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2\\]\n\nGrupujemy wyrazy podobne:\n\\[= (9x^2 - 9x^2) + (6xy + 6xy) + (y^2 - y^2) = \\mathbf{12xy}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na różnicę kwadratów\n\nZauważamy, że wyrażenie ma postać \\(A^2 - B^2\\), gdzie \\(A = 3x+y\\) i \\(B = 3x-y\\).\n\nKorzystamy ze wzoru \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\n\\[(3x+y)^2 - (3x-y)^2 = \\big[(3x+y) - (3x-y)\\big] \\cdot \\big[(3x+y) + (3x-y)\\big]\\]\n\nObliczamy każdy czynnik:\n\\[(3x+y) - (3x-y) = 3x + y - 3x + y = 2y\\]\n\n\\[(3x+y) + (3x-y) = 3x + y + 3x - y = 6x\\]\n\nZatem:\n\\[2y \\cdot 6x = \\mathbf{12xy}\\]\n\nTen sposób jest znacznie szybszy - warto go zapamiętać!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\nSposób 1 używa:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \\qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\nSposób 2 używa:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\n\nOba wzory są na tej samej stronie karty - warto otworzyć ją tam na egzaminie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | \\(-12xy\\) - obliczono \\((3x-y)^2 - (3x+y)^2\\), czyli odejmowanie w odwrotnej kolejności |\n| C | \\(2y^2\\) - zapomniano odjąć \\(y^2\\) z drugiego nawiasu (traktowano \\(-(3x-y)^2\\) jako \\(-(9x^2 - y^2)\\) zamiast \\(-(9x^2 - 6xy + y^2)\\)) |\n| D | \\(4y^2\\) - błędnie rozwinięto \\((3x+y)^2 - (3x-y)^2 = 2y \\cdot 2y\\), mylnie licząc drugi czynnik w różnicy kwadratów |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy odejmujemy cały nawias z minusem, **każdy** wyraz zmienia znak. Błąd \\(-(9x^2 - 6xy + y^2) = -9x^2 - 6xy + y^2\\) (pominięcie zmiany znaku przy \\(-6xy\\)) to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) działa dla **dowolnych** wyrażeń podstawionych za \\(a\\) i \\(b\\) - nawet wielomianów. Gdy widzisz różnicę dwóch kwadratów, zawsze warto go zastosować - oszczędza dużo czasu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(12xy\\) nie zawiera \\(x^2\\) ani \\(y^2\\) - to \\(x^2\\) i \\(y^2\\) zniosły się wzajemnie. Jeśli w wyniku zostaje ci \\(x^2\\), to znak błędu że popełniłeś gdzieś pomyłkę.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\\) (karta wzorów, dział 2)\n\\[(3x+y)^2 - (3x-y)^2 = \\big[(3x+y)-(3x-y)\\big]\\big[(3x+y)+(3x-y)\\big] = 2y \\cdot 6x = 12xy.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie wprost\n\\((3x+y)^2 = 9x^{2} + 6xy + y^{2}\\)\n\\((3x-y)^2 = 9x^{2} - 6xy + y^{2}\\)\nRóżnica: \\(12xy\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-12xy\\)** - pomylony znak (odjęto w odwrotnej kolejności).\n- **C. \\(2y^{2}\\)** - błąd: zsumowane zamiast odjęte kwadraty.\n- **D. \\(4y^{2}\\)** - błędna formuła.\n\n**Trik:** ogólnie \\((A+B)^2 - (A-B)^2 = 4AB\\); tu \\(A = 3x, B = y\\), więc \\(4 \\cdot 3x \\cdot y = 12xy\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba log3 2 -log3 18 jest równa<br>A. (-2)<br>B. (-1<br>2)<br>C. 1<br>2<br>D. 2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Liczba log_3 2 - log_3 18 jest równa A. (-2) B. (-1/2) C. 1/2 D. 2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>I.9) stosuje związek logarytmowania<br>z potęgowaniem, posługuje się wzorami na<br>logarytm iloczynu, logarytm ilorazu<br>i logarytm potęgi.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(12xy\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzory skróconego mnożenia</h4>\n<p>Rozwijamy każdy nawias osobno, korzystając ze wzorów na \\((a+b)^2\\) i \\((a-b)^2\\).</p>\n<p>Oznaczmy \\(a = 3x\\), \\(b = y\\). Wtedy:</p>\n<p>\\[(3x+y)^2 = (3x)^2 + 2 \\cdot 3x \\cdot y + y^2 = 9x^2 + 6xy + y^2\\]</p>\n<p>\\[(3x-y)^2 = (3x)^2 - 2 \\cdot 3x \\cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2\\]</p>\n<p>Odejmujemy:<br>\\[(3x+y)^2 - (3x-y)^2 = (9x^2 + 6xy + y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2)\\]</p>\n<p>Usuwamy nawiasy (uwaga na minus przed drugim nawiasem!):<br>\\[= 9x^2 + 6xy + y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2\\]</p>\n<p>Grupujemy wyrazy podobne:<br>\\[= (9x^2 - 9x^2) + (6xy + 6xy) + (y^2 - y^2) = \\mathbf{12xy}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na różnicę kwadratów</h4>\n<p>Zauważamy, że wyrażenie ma postać \\(A^2 - B^2\\), gdzie \\(A = 3x+y\\) i \\(B = 3x-y\\).</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):</p>\n<p>\\[(3x+y)^2 - (3x-y)^2 = \\big[(3x+y) - (3x-y)\\big] \\cdot \\big[(3x+y) + (3x-y)\\big]\\]</p>\n<p>Obliczamy każdy czynnik:<br>\\[(3x+y) - (3x-y) = 3x + y - 3x + y = 2y\\]</p>\n<p>\\[(3x+y) + (3x-y) = 3x + y + 3x - y = 6x\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[2y \\cdot 6x = \\mathbf{12xy}\\]</p>\n<p>Ten sposób jest znacznie szybszy - warto go zapamiętać!</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong></p>\n<p>Sposób 1 używa:<br>\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \\qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]</p>\n<p>Sposób 2 używa:<br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]</p>\n<p>Oba wzory są na tej samej stronie karty - warto otworzyć ją tam na egzaminie.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | \\(-12xy\\) - obliczono \\((3x-y)^2 - (3x+y)^2\\), czyli odejmowanie w odwrotnej kolejności |<br>| C | \\(2y^2\\) - zapomniano odjąć \\(y^2\\) z drugiego nawiasu (traktowano \\(-(3x-y)^2\\) jako \\(-(9x^2 - y^2)\\) zamiast \\(-(9x^2 - 6xy + y^2)\\)) |<br>| D | \\(4y^2\\) - błędnie rozwinięto \\((3x+y)^2 - (3x-y)^2 = 2y \\cdot 2y\\), mylnie licząc drugi czynnik w różnicy kwadratów |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy odejmujemy cały nawias z minusem, <strong>każdy</strong> wyraz zmienia znak. Błąd \\(-(9x^2 - 6xy + y^2) = -9x^2 - 6xy + y^2\\) (pominięcie zmiany znaku przy \\(-6xy\\)) to najczęstszy błąd w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) działa dla <strong>dowolnych</strong> wyrażeń podstawionych za \\(a\\) i \\(b\\) - nawet wielomianów. Gdy widzisz różnicę dwóch kwadratów, zawsze warto go zastosować - oszczędza dużo czasu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik \\(12xy\\) nie zawiera \\(x^2\\) ani \\(y^2\\) - to \\(x^2\\) i \\(y^2\\) zniosły się wzajemnie. Jeśli w wyniku zostaje ci \\(x^2\\), to znak błędu że popełniłeś gdzieś pomyłkę.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór \\(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\\) (karta wzorów, dział 2)</h5>\n<p>\\[(3x+y)^2 - (3x-y)^2 = \\big[(3x+y)-(3x-y)\\big]\\big[(3x+y)+(3x-y)\\big] = 2y \\cdot 6x = 12xy.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozwinięcie wprost</h5>\n<p>\\((3x+y)^2 = 9x^{2} + 6xy + y^{2}\\)<br>\\((3x-y)^2 = 9x^{2} - 6xy + y^{2}\\)<br>Różnica: \\(12xy\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(-12xy\\)</strong> - pomylony znak (odjęto w odwrotnej kolejności).</li><li><strong>C. \\(2y^{2}\\)</strong> - błąd: zsumowane zamiast odjęte kwadraty.</li><li><strong>D. \\(4y^{2}\\)</strong> - błędna formuła.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> ogólnie \\((A+B)^2 - (A-B)^2 = 4AB\\); tu \\(A = 3x, B = y\\), więc \\(4 \\cdot 3x \\cdot y = 12xy\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisania danej liczby w postaci logarytmicznej:</li></ol>\n<p>$$L = \\text{liczba} = \\log_3 2 - \\log_3 18.$$</p>\n<ol><li>Używamy właściwości logarytmów, która mówi, że różnica logarytmów można zapisać jako logarytm ilorazu:</li></ol>\n<p>$$L = \\log_3 \\left( \\frac{2}{18} \\right).$$</p>\n<ol><li>Upraszczamy wyrażenie w logarytmie:</li></ol>\n<p>$$\\frac{2}{18} = \\frac{1}{9}.$$<br>Dlatego mamy:<br>$$L = \\log_3 \\left( \\frac{1}{9} \\right).$$</p>\n<ol><li>Zauważamy, że \\( \\frac{1}{9} = 3^{-2} \\). Możemy więc zapisać:</li></ol>\n<p>$$L = \\log_3 \\left( 3^{-2} \\right).$$</p>\n<ol><li>Używamy kolejnej właściwości logarytmów, która mówi, że \\( \\log_b (b^a) = a \\):</li></ol>\n<p>$$L = -2.$$</p>\n<ol><li>Ostatecznie dochodzimy do wyniku:</li></ol>\n<p>$$\\log_3 2 - \\log_3 18 = -2.$$</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> (-2)</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Obliczamy wartość wyrażenia:</p>\n<p>log_3 2-log_3 18</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:</p>\n<p>log_a x-log_a y=log_a ((x)/(y) )</p>\n<p>Podstawiamy a=3 , x=2 , y=18 :</p>\n<p>log_3 2-log_3 18<br>log_3 ((2)/(18) )</p>\n<p>Upraszczamy ułamek:</p>\n<p>(2)/(18)=(1)/(9)</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>log_3 ((1)/(9) )</p>\n<p>Liczbę (1)/(9) zapisujemy jako potęgę liczby 3 :</p>\n<p>(1)/(9)=(1)/(3^2)=3^-2</p>\n<p>Wobec tego:</p>\n<p>log_3 ((1)/(9) )=log_3 (3^-2 )</p>\n<p>Logarytm log_3(3^-2) oznacza wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść 3 , aby otrzymać 3^-2 .</p>\n<p>log_3(3^-2)=-2</p>\n<p>Odpowiedź: A. -2</p>"}]}