{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWykaż, że liczba 𝟖𝟓𝟎-𝟐𝟏𝟒𝟓 jest podzielna przez 𝟑𝟏.\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że liczba 8^50 - 2^145 jest podzielna przez 31.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […];\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 850 -2145 do postaci 2150 -2145.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:\n850 -2145 = (23)50 -2145 = 2150 -2145\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias:\n2150 -2145 = 2145 ⋅(25 -1) = 2145 ⋅31\nLiczba 2145 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 850 -2145 jest podzielna przez 31.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((-\\infty, 1)\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik\n\nMamy nierówność:\n\\[3 - x > \\frac{5x - 1}{2}\\]\n\n**Krok 1:** Mnożymy obie strony przez \\(2\\) (liczba dodatnia - znak nierówności **nie zmienia się**):\n\\[2(3 - x) > 5x - 1\\]\n\n**Krok 2:** Rozwijamy nawias po lewej stronie:\n\\[6 - 2x > 5x - 1\\]\n\n**Krok 3:** Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na prawą stronę, liczby na lewą:\n\\[6 + 1 > 5x + 2x\\]\n\\[7 > 7x\\]\n\n**Krok 4:** Dzielimy obie strony przez \\(7\\) (dodatnie - znak bez zmian):\n\\[1 > x \\quad \\Longleftrightarrow \\quad x < 1\\]\n\n**Zbiorem rozwiązań jest \\(x \\in (-\\infty, 1)\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktów kontrolnych\n\nSprawdzamy, czy wynik \\(x < 1\\) jest poprawny, podstawiając trzy punkty do oryginalnej nierówności \\(3 - x > \\dfrac{5x-1}{2}\\):\n\n| Punkt | Lewa strona \\(3 - x\\) | Prawa strona \\(\\frac{5x-1}{2}\\) | Czy \\(L > P\\)? |\n| \\(x = 0\\) (powinno spełniać) | \\(3\\) | \\(\\frac{-1}{2} = -0{,}5\\) | \\(3 > -0{,}5\\) ✓ |\n| \\(x = 1\\) (granica - równość?) | \\(2\\) | \\(\\frac{4}{2} = 2\\) | \\(2 > 2\\) ✗ (równość, nie spełnia) |\n| \\(x = 2\\) (nie powinno spełniać) | \\(1\\) | \\(\\frac{9}{2} = 4{,}5\\) | \\(1 > 4{,}5\\) ✗ |\n\nDla \\(x = 1\\) mamy równość - potwierdza to, że przedział jest **otwarty** (bez punktu \\(x = 1\\)).\nDla \\(x = 0\\) nierówność zachodzi, dla \\(x = 2\\) nie - **wynik \\((-\\infty, 1)\\) jest poprawny.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe zasady rozwiązywania nierówności liniowych (mnożenie przez stałą dodatnią, przenoszenie wyrazów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Błąd przy mnożeniu: zamiast \\(2 \\cdot 3 = 6\\) uczeń pisze \\(2 \\cdot (3-x) = 3 - 2x\\) (zapomina pomnożyć \\(3\\)), co daje inne \\(x\\). Albo błąd arytmetyczny przy upraszczaniu - wychodzi \\(\\frac{7}{6}\\) zamiast \\(1\\). |\n| C | Odwrócono kierunek nierówności bez powodu - uczeń uznaje, że \"duże wartości \\(x\\)\" spełniają nierówność, mimo że jej nie rozwiązał. Lub poprawnie wyznaczono \\(7 > 7x\\), ale zapisano \\(x > 1\\) zamiast \\(x < 1\\). |\n| D | Połączenie obu błędów z B i C jednocześnie: zła wartość graniczna \\(\\frac{7}{6}\\) **i** zły kierunek nierówności. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc nierówność przez liczbę **ujemną**, musisz odwrócić znak. Tu mnożymy przez \\(2 > 0\\) - znak zostaje. Ale gdyby mianownik był ujemny (np. \\(-2\\)), znak by się zmieniał!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(7 > 7x\\) to **nie to samo** co \\(x > 7\\). Dzielisz obie strony przez \\(7\\), więc \\(x < 1\\) - nie odwracaj kolejności porównania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział jest **otwarty** - piszemy \\((-\\infty, 1)\\), a nie \\((-\\infty, 1]\\). Nierówność jest ostra (\\(>\\)), więc \\(x = 1\\) nie należy do zbioru rozwiązań.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie algebraiczne\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\\[2(3-x) > 5x - 1\\]\n\\[6 - 2x > 5x - 1\\]\n\\[7 > 7x\\]\n\\[x < 1.\\]\nZbiór rozwiązań: \\((-\\infty, 1)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktem\nDla \\(x = 0\\): \\(3 - 0 > \\tfrac{-1}{2} \\iff 3 > -0{,}5\\) ✓. Pasuje A lub B.\nDla \\(x = 1{,}1\\): \\(3 - 1{,}1 = 1{,}9\\), \\(\\tfrac{5{,}5-1}{2} = 2{,}25\\); \\(1{,}9 > 2{,}25\\)? Nie. Więc A.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((-\\infty, \\tfrac{7}{6})\\)** - zapomniano o mnożeniu stałej \\(3\\) przez \\(2\\).\n- **C, D** - zły kierunek nierówności.\n\n**Trik:** zawsze najpierw mnóż przez mianownik, żeby pozbyć się ułamka.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Dowody algebraiczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 5. (0-2)
Wykaż, że liczba 𝟖𝟓𝟎-𝟐𝟏𝟒𝟓 jest podzielna przez 𝟑𝟏.

\n

MMAP-P0_100
Wykaż, że liczba 8^50 - 2^145 jest podzielna przez 31.

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące
podzielności liczb całkowitych i reszt
z dzielenia […];
I.4) stosuje […] prawa działań na potęgach
[…].
Zasady oceniania
2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
1 pkt - przekształcenie wyrażenia 850 -2145 do postaci 2150 -2145.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:
850 -2145 = (23)50 -2145 = 2150 -2145
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:
2150 -2145 = 2145 ⋅(25 -1) = 2145 ⋅31
Liczba 2145 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 850 -2145 jest podzielna przez 31.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\((-\\infty, 1)\\)

\n

Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik

\n

Mamy nierówność:
\\[3 - x > \\frac{5x - 1}{2}\\]

\n

Krok 1: Mnożymy obie strony przez \\(2\\) (liczba dodatnia - znak nierówności nie zmienia się):
\\[2(3 - x) > 5x - 1\\]

\n

Krok 2: Rozwijamy nawias po lewej stronie:
\\[6 - 2x > 5x - 1\\]

\n

Krok 3: Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na prawą stronę, liczby na lewą:
\\[6 + 1 > 5x + 2x\\]
\\[7 > 7x\\]

\n

Krok 4: Dzielimy obie strony przez \\(7\\) (dodatnie - znak bez zmian):
\\[1 > x \\quad \\Longleftrightarrow \\quad x < 1\\]

\n

Zbiorem rozwiązań jest \\(x \\in (-\\infty, 1)\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktów kontrolnych

\n

Sprawdzamy, czy wynik \\(x < 1\\) jest poprawny, podstawiając trzy punkty do oryginalnej nierówności \\(3 - x > \\dfrac{5x-1}{2}\\):

\n

| Punkt | Lewa strona \\(3 - x\\) | Prawa strona \\(\\frac{5x-1}{2}\\) | Czy \\(L > P\\)? |
| \\(x = 0\\) (powinno spełniać) | \\(3\\) | \\(\\frac{-1}{2} = -0{,}5\\) | \\(3 > -0{,}5\\) ✓ |
| \\(x = 1\\) (granica - równość?) | \\(2\\) | \\(\\frac{4}{2} = 2\\) | \\(2 > 2\\) ✗ (równość, nie spełnia) |
| \\(x = 2\\) (nie powinno spełniać) | \\(1\\) | \\(\\frac{9}{2} = 4{,}5\\) | \\(1 > 4{,}5\\) ✗ |

\n

Dla \\(x = 1\\) mamy równość - potwierdza to, że przedział jest otwarty (bez punktu \\(x = 1\\)).
Dla \\(x = 0\\) nierówność zachodzi, dla \\(x = 2\\) nie - wynik \\((-\\infty, 1)\\) jest poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe zasady rozwiązywania nierówności liniowych (mnożenie przez stałą dodatnią, przenoszenie wyrazów).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Błąd przy mnożeniu: zamiast \\(2 \\cdot 3 = 6\\) uczeń pisze \\(2 \\cdot (3-x) = 3 - 2x\\) (zapomina pomnożyć \\(3\\)), co daje inne \\(x\\). Albo błąd arytmetyczny przy upraszczaniu - wychodzi \\(\\frac{7}{6}\\) zamiast \\(1\\). |
| C | Odwrócono kierunek nierówności bez powodu - uczeń uznaje, że "duże wartości \\(x\\)" spełniają nierówność, mimo że jej nie rozwiązał. Lub poprawnie wyznaczono \\(7 > 7x\\), ale zapisano \\(x > 1\\) zamiast \\(x < 1\\). |
| D | Połączenie obu błędów z B i C jednocześnie: zła wartość graniczna \\(\\frac{7}{6}\\) i zły kierunek nierówności. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Mnożąc nierówność przez liczbę ujemną, musisz odwrócić znak. Tu mnożymy przez \\(2 > 0\\) - znak zostaje. Ale gdyby mianownik był ujemny (np. \\(-2\\)), znak by się zmieniał!
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(7 > 7x\\) to nie to samo co \\(x > 7\\). Dzielisz obie strony przez \\(7\\), więc \\(x < 1\\) - nie odwracaj kolejności porównania!
\n
⚠️ Uwaga: Przedział jest otwarty - piszemy \\((-\\infty, 1)\\), a nie \\((-\\infty, 1]\\). Nierówność jest ostra (\\(>\\)), więc \\(x = 1\\) nie należy do zbioru rozwiązań.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Rozwiązanie algebraiczne
\n

Mnożymy obie strony przez \\(2\\):
\\[2(3-x) > 5x - 1\\]
\\[6 - 2x > 5x - 1\\]
\\[7 > 7x\\]
\\[x < 1.\\]
Zbiór rozwiązań: \\((-\\infty, 1)\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie punktem
\n

Dla \\(x = 0\\): \\(3 - 0 > \\tfrac{-1}{2} \\iff 3 > -0{,}5\\) ✓. Pasuje A lub B.
Dla \\(x = 1{,}1\\): \\(3 - 1{,}1 = 1{,}9\\), \\(\\tfrac{5{,}5-1}{2} = 2{,}25\\); \\(1{,}9 > 2{,}25\\)? Nie. Więc A.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: zawsze najpierw mnóż przez mianownik, żeby pozbyć się ułamka.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

8^50-2^145=(2^3)^50-2^145=2^150-2^145=2^145(2^5-1)=2^145·31 . Liczba ma czynnik 31 , więc jest podzielna przez 31 .

"}]}