{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 wartość wyrażenia\n(3𝑥+ 𝑦)2 -(3𝑥-𝑦)2 jest równa wartości wyrażenia\nA. 12𝑥𝑦\nB. (-12𝑥𝑦)\nC. 2𝑦2\nD. 4𝑦2\nDla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y wartość wyrażenia (3x+y)² - (3x-y)² jest równa wartości wyrażenia A. 12xy B. (-12xy) C. 2y² D. 4y²","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - suma wynosi \\(5\\)\n\n## Sposób 1 - iloczyn zerowy (bezpośrednio z równania)\n\nRównanie \\((3x-12)(10+5x)(x-3) = 0\\) to iloczyn trzech czynników.\n\n**Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.**\n\nRozwiązujemy każdy czynnik osobno:\n\n**Czynnik 1:**\n\\[3x - 12 = 0\\]\n\\[3x = 12\\]\n\\[x_1 = 4\\]\n\n**Czynnik 2:**\n\\[10 + 5x = 0\\]\n\\[5x = -10\\]\n\\[x_2 = -2\\]\n\n**Czynnik 3:**\n\\[x - 3 = 0\\]\n\\[x_3 = 3\\]\n\n**Suma wszystkich rozwiązań:**\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = 4 + (-2) + 3 = \\mathbf{5}\\]\n\n## Sposób 2 - uproszczenie przez wyłączenie przed nawias\n\nMożemy uprościć każdy czynnik, wyciągając wspólne liczby:\n\n\\[3x - 12 = 3(x - 4)\\]\n\\[10 + 5x = 5(2 + x) = 5(x + 2)\\]\n\\[x - 3 = (x - 3)\\]\n\nRównanie staje się:\n\\[3(x-4) \\cdot 5(x+2) \\cdot (x-3) = 0\\]\n\\[15(x-4)(x+2)(x-3) = 0\\]\n\nStała \\(15 \\neq 0\\), więc:\n\\[(x-4)(x+2)(x-3) = 0\\]\n\nTeraz rozwiązania są widoczne wprost z postaci iloczynowej:\n\\[x_1 = 4, \\quad x_2 = -2, \\quad x_3 = 3\\]\n\nSuma:\n\\[4 + (-2) + 3 = \\mathbf{5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy własność iloczynu: jeżeli \\(A \\cdot B \\cdot C = 0\\), to \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\) lub \\(C = 0\\). Jest to podstawowa własność liczb rzeczywistych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(-5\\) | Uczeń oblicza \\(x_2 + x_3 = -2 + 3 = 1\\) i dodaje tylko \\(-6\\) zamiast \\(4\\) z pierwszego czynnika - np. myli \\(3x - 12 = 0\\) z \\(x = -4\\) |\n| B: \\(-1\\) | Uczeń bierze \\(x = -12\\) lub \\(x = 10\\) jako rozwiązania (traktuje same liczby z równania, a nie wyniki po rozwiązaniu) |\n| D: \\(9\\) | Uczeń liczy sumę \\(4 + 2 + 3 = 9\\), zapominając o znaku minusa przy \\(x_2 = -2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z czynnika \\(3x - 12 = 0\\) wynika \\(x = 4\\), a **nie** \\(x = -4\\)! Łatwo się pomylić, gdy przenosimy \\(-12\\) na drugą stronę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z czynnika \\(10 + 5x = 0\\) wynika \\(x = -2\\) - liczba **ujemna**. Zapomnenie o minusie skutkuje wynikiem \\(9\\) zamiast \\(5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno skracać ani dzielić przez czynnik zawierający \\(x\\)! Skrócenie przez \\((x-3)\\) spowodowałoby utratę rozwiązania \\(x_3 = 3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność iloczynu (karta wzorów, dział 2)\nIloczyn = 0, gdy co najmniej jeden czynnik = 0:\n\\(3x - 12 = 0 \\Rightarrow x = 4\\)\n\\(10 + 5x = 0 \\Rightarrow x = -2\\)\n\\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\)\nSuma: \\(4 + (-2) + 3 = 5\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a (po rozwinięciu)\nWielomian III stopnia: \\((3x-12)(10+5x)(x-3)\\). Współczynnik przy \\(x^{3}\\) to \\(3 \\cdot 5 \\cdot 1 = 15\\). Wyznaczmy współczynnik przy \\(x^{2}\\): \\(3 \\cdot 5 \\cdot (-3) + 3 \\cdot 10 \\cdot 1 + (-12) \\cdot 5 \\cdot 1 = -45 + 30 - 60 = -75\\). Suma pierwiastków = \\(-\\tfrac{-75}{15} = 5\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-5\\)** - błąd znaku przy \\(x = -2\\).\n- **B. \\(-1\\)** - pominięcie pierwiastka.\n- **D. \\(9\\)** - zapomniano odjąć \\(-2\\).\n\n**Trik:** uważaj na znak w \\(10 + 5x = 0 \\Rightarrow x = -2\\), nie \\(+2\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Wzory skróconego mnożenia","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 wartość wyrażenia
(3𝑥+ 𝑦)2 -(3𝑥-𝑦)2 jest równa wartości wyrażenia
A. 12𝑥𝑦
B. (-12𝑥𝑦)
C. 2𝑦2
D. 4𝑦2
Dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y wartość wyrażenia (3x+y)² - (3x-y)² jest równa wartości wyrażenia A. 12xy B. (-12xy) C. 2y² D. 4y²

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach
rzeczywistych, także przy użyciu
kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Zdający:
II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia
na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - suma wynosi \\(5\\)

\n

Sposób 1 - iloczyn zerowy (bezpośrednio z równania)

\n

Równanie \\((3x-12)(10+5x)(x-3) = 0\\) to iloczyn trzech czynników.

\n

Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

\n

Rozwiązujemy każdy czynnik osobno:

\n

Czynnik 1:
\\[3x - 12 = 0\\]
\\[3x = 12\\]
\\[x_1 = 4\\]

\n

Czynnik 2:
\\[10 + 5x = 0\\]
\\[5x = -10\\]
\\[x_2 = -2\\]

\n

Czynnik 3:
\\[x - 3 = 0\\]
\\[x_3 = 3\\]

\n

Suma wszystkich rozwiązań:
\\[x_1 + x_2 + x_3 = 4 + (-2) + 3 = \\mathbf{5}\\]

\n

Sposób 2 - uproszczenie przez wyłączenie przed nawias

\n

Możemy uprościć każdy czynnik, wyciągając wspólne liczby:

\n

\\[3x - 12 = 3(x - 4)\\]
\\[10 + 5x = 5(2 + x) = 5(x + 2)\\]
\\[x - 3 = (x - 3)\\]

\n

Równanie staje się:
\\[3(x-4) \\cdot 5(x+2) \\cdot (x-3) = 0\\]
\\[15(x-4)(x+2)(x-3) = 0\\]

\n

Stała \\(15 \\neq 0\\), więc:
\\[(x-4)(x+2)(x-3) = 0\\]

\n

Teraz rozwiązania są widoczne wprost z postaci iloczynowej:
\\[x_1 = 4, \\quad x_2 = -2, \\quad x_3 = 3\\]

\n

Suma:
\\[4 + (-2) + 3 = \\mathbf{5}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy własność iloczynu: jeżeli \\(A \\cdot B \\cdot C = 0\\), to \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\) lub \\(C = 0\\). Jest to podstawowa własność liczb rzeczywistych.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(-5\\) | Uczeń oblicza \\(x_2 + x_3 = -2 + 3 = 1\\) i dodaje tylko \\(-6\\) zamiast \\(4\\) z pierwszego czynnika - np. myli \\(3x - 12 = 0\\) z \\(x = -4\\) |
| B: \\(-1\\) | Uczeń bierze \\(x = -12\\) lub \\(x = 10\\) jako rozwiązania (traktuje same liczby z równania, a nie wyniki po rozwiązaniu) |
| D: \\(9\\) | Uczeń liczy sumę \\(4 + 2 + 3 = 9\\), zapominając o znaku minusa przy \\(x_2 = -2\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Z czynnika \\(3x - 12 = 0\\) wynika \\(x = 4\\), a nie \\(x = -4\\)! Łatwo się pomylić, gdy przenosimy \\(-12\\) na drugą stronę.
\n
⚠️ Uwaga: Z czynnika \\(10 + 5x = 0\\) wynika \\(x = -2\\) - liczba ujemna. Zapomnenie o minusie skutkuje wynikiem \\(9\\) zamiast \\(5\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno skracać ani dzielić przez czynnik zawierający \\(x\\)! Skrócenie przez \\((x-3)\\) spowodowałoby utratę rozwiązania \\(x_3 = 3\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Własność iloczynu (karta wzorów, dział 2)
\n

Iloczyn = 0, gdy co najmniej jeden czynnik = 0:
\\(3x - 12 = 0 \\Rightarrow x = 4\\)
\\(10 + 5x = 0 \\Rightarrow x = -2\\)
\\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\)
Suma: \\(4 + (-2) + 3 = 5\\).

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a (po rozwinięciu)
\n

Wielomian III stopnia: \\((3x-12)(10+5x)(x-3)\\). Współczynnik przy \\(x^{3}\\) to \\(3 \\cdot 5 \\cdot 1 = 15\\). Wyznaczmy współczynnik przy \\(x^{2}\\): \\(3 \\cdot 5 \\cdot (-3) + 3 \\cdot 10 \\cdot 1 + (-12) \\cdot 5 \\cdot 1 = -45 + 30 - 60 = -75\\). Suma pierwiastków = \\(-\\tfrac{-75}{15} = 5\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: uważaj na znak w \\(10 + 5x = 0 \\Rightarrow x = -2\\), nie \\(+2\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zapisania wyrażenia, które chcemy uprościć: $$ (3x + y)^2 - (3x - y)^2 $$.
\n
  1. Użyjemy wzoru skróconego mnożenia: $$ (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab $$, gdzie w naszym przypadku $a = 3x$ oraz $b = y$.
\n
  1. Zastosujmy ten wzór do naszego wyrażenia: $$ (3x + y)^2 - (3x - y)^2 = 4(3x)(y) $$.
\n
  1. Teraz obliczamy: $$ 4(3x)(y) = 12xy $$.
\n
  1. Ustaliliśmy, że wartość wyrażenia $$ (3x + y)^2 - (3x - y)^2 $$ jest równa $$ 12xy $$.
\n
  1. Przypatrujemy się opcjom odpowiedzi: A. 12xy, B. (-12xy), C. 2y^2, D. 4y^2.
\n
  1. Zauważamy, że nasza uprzednio obliczona wartość, $$ 12xy $$, zgadza się z odpowiedzią A.
\n

Odpowiedź: A

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Obliczamy wartość wyrażenia:

\n

(3x+y)^2-(3x-y)^2

\n

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

\n

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

\n

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

\n

W naszym zadaniu:

\n

a=3x, b=y

\n

Rozwijamy pierwszy nawias:

\n

(3x+y)^2=(3x)^2+2·3x· y+y^2

\n

(3x+y)^2=9x^2+6xy+y^2

\n

Rozwijamy drugi nawias:

\n

(3x-y)^2=(3x)^2-2·3x· y+y^2

\n

(3x-y)^2=9x^2-6xy+y^2

\n

Podstawiamy oba wyniki do początkowego wyrażenia:

\n

(3x+y)^2-(3x-y)^2
(9x^2+6xy+y^2)-(9x^2-6xy+y^2)

\n

Przy odejmowaniu nawiasu zmieniamy znaki wszystkich wyrazów w drugim nawiasie:

\n

9x^2+6xy+y^2-9x^2+6xy-y^2

\n

Redukujemy wyrazy podobne:

\n

9x^2-9x^2=0

\n

y^2-y^2=0

\n

6xy+6xy=12xy

\n

Otrzymujemy:

\n

(3x+y)^2-(3x-y)^2=12xy

\n

Odpowiedź: A. 12xy

"}]}