{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\n3 -𝑥≥5𝑥-1\n2\njest przedział\nA. (-∞, 1]\nB. (-∞, 7\n6]\nC. [1, +∞)\nD. [7\n6 , +∞)\n\nMMAP-P0_100\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3-x ≥ 5x-1 / 2 jest przedział A. (-∞,1> B. (-∞,7/6> C. <1,∞) D. <7/6,∞)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(g(x) = -\\dfrac{1}{2}x - \\dfrac{3}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wzoru z miejsca zerowego i wartości w 0\n\nFunkcja liniowa ma postać \\(g(x) = ax + b\\).\n\n**Co wiemy z treści zadania:**\n- Miejsce zerowe to \\(x = -3\\), czyli \\(g(-3) = 0\\)\n- Wartość w punkcie \\(0\\): \\(g(0) = -\\dfrac{3}{2}\\)\n\n**Krok 1: Wyznaczamy wyraz wolny \\(b\\).**\n\nZ warunku \\(g(0) = -\\dfrac{3}{2}\\) wprost odczytujemy:\n\\[g(0) = a \\cdot 0 + b = b = -\\frac{3}{2}\\]\n\nWyraz wolny to punkt przecięcia z osią \\(OY\\), więc od razu:\n\\[\\boxed{b = -\\frac{3}{2}}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy \\(a\\).**\n\nKorzystamy z warunku \\(g(-3) = 0\\):\n\\[a \\cdot (-3) + \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = 0\\]\n\\[-3a = \\frac{3}{2}\\]\n\\[a = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Wynik:** \\(g(x) = -\\dfrac{1}{2}x - \\dfrac{3}{2}\\)\n\n## Sposób 2 - Wzór na prostą przez dwa punkty\n\nZnamy dwa punkty na wykresie funkcji \\(g\\):\n- miejsce zerowe: \\(A = (-3,\\ 0)\\)\n- punkt z warunku: \\(B = \\left(0,\\ -\\dfrac{3}{2}\\right)\\)\n\n**Krok 1: Obliczamy współczynnik kierunkowy ze wzoru na nachylenie prostej.**\n\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{-\\dfrac{3}{2} - 0}{0 - (-3)} = \\frac{-\\dfrac{3}{2}}{3} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyraz wolny odczytujemy bezpośrednio.**\n\nPunkt \\(B = \\left(0,\\ -\\dfrac{3}{2}\\right)\\) leży na osi \\(OY\\), więc \\(b = -\\dfrac{3}{2}\\).\n\n**Wynik:** \\(g(x) = -\\dfrac{1}{2}x - \\dfrac{3}{2}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej \\(g(x) = ax + b\\) oraz znajomość pojęć: miejsca zerowego i wartości funkcji. To wiedza bazowa, która nie jest zestawiana na karcie wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Poprawny współczynnik \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\), ale zły znak wyrazu wolnego: \\(+\\dfrac{3}{2}\\) zamiast \\(-\\dfrac{3}{2}\\). Uczeń zapomina, że \\(g(0) = -\\dfrac{3}{2}\\) to wartość **ujemna**. |\n| C | Poprawny wyraz wolny \\(-\\dfrac{3}{2}\\), ale błędny znak \\(a\\): \\(+\\dfrac{1}{2}\\) zamiast \\(-\\dfrac{1}{2}\\). Uczeń pomylił kierunek prostej przy obliczaniu \\(a\\). |\n| D | Dwa błędy jednocześnie: zły znak \\(a\\) (powinno być \\(-\\)) i zły znak \\(b\\) (powinno być \\(-\\)). Uczeń prawdopodobnie zgadywał lub pomylił znaki przy obu krokach. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(g(0) = b\\) - wartość funkcji liniowej dla argumentu \\(0\\) to **bezpośrednio wyraz wolny**. Nie trzeba nic liczyć! Wielu uczniów mimo to podstawia do równania i popełnia błąd rachunkowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(g(x) = 0\\), a **nie** \\(g(0) = x\\). Tu \\(x = -3\\) jest argumentem, a wartość funkcji wynosi zero - nie odwrotnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(a\\) z równania \\(-3a - \\dfrac{3}{2} = 0\\) łatwo zgubić minus - pamiętaj, że \\(-3a = \\dfrac{3}{2}\\) daje \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\), nie \\(+\\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Dwa punkty\nFunkcja liniowa \\(g(x) = ax + b\\) przechodzi przez \\((-3, 0)\\) (miejsce zerowe) i \\((0, -\\tfrac{3}{2})\\) (wartość w \\(0\\)).\nZ punktu \\((0, -\\tfrac{3}{2})\\): \\(b = -\\tfrac{3}{2}\\).\nZ punktu \\((-3, 0)\\): \\(0 = -3a - \\tfrac{3}{2} \\Rightarrow -3a = \\tfrac{3}{2} \\Rightarrow a = -\\tfrac{1}{2}\\).\nZatem \\(g(x) = -\\tfrac{1}{2}x - \\tfrac{3}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\nZ \\(g(0) = b = -\\tfrac{3}{2}\\): odpadają B, D.\nSprawdzamy \\(g(-3) = 0\\): A: \\(-\\tfrac{1}{2}(-3) - \\tfrac{3}{2} = \\tfrac{3}{2} - \\tfrac{3}{2} = 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, D** - niepoprawne \\(b\\) (plus zamiast minus).\n- **C** - zły znak \\(a\\).\n\n**Trik:** wartość w \\(0\\) to zawsze \\(b\\) (wyraz wolny).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Nierówności liniowe","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności<br>3 -𝑥≥5𝑥-1<br>2<br>jest przedział<br>A. (-∞, 1]<br>B. (-∞, 7<br>6]<br>C. [1, +∞)<br>D. [7<br>6 , +∞)</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3-x ≥ 5x-1 / 2 jest przedział A. (-∞,1&gt; B. (-∞,7/6&gt; C. &lt;1,∞) D. &lt;7/6,∞)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną<br>niewiadomą.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\(g(x) = -\\dfrac{1}{2}x - \\dfrac{3}{2}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie wzoru z miejsca zerowego i wartości w 0</h4>\n<p>Funkcja liniowa ma postać \\(g(x) = ax + b\\).</p>\n<p><strong>Co wiemy z treści zadania:</strong></p>\n<ul><li>Miejsce zerowe to \\(x = -3\\), czyli \\(g(-3) = 0\\)</li><li>Wartość w punkcie \\(0\\): \\(g(0) = -\\dfrac{3}{2}\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy wyraz wolny \\(b\\).</strong></p>\n<p>Z warunku \\(g(0) = -\\dfrac{3}{2}\\) wprost odczytujemy:<br>\\[g(0) = a \\cdot 0 + b = b = -\\frac{3}{2}\\]</p>\n<p>Wyraz wolny to punkt przecięcia z osią \\(OY\\), więc od razu:<br>\\[\\boxed{b = -\\frac{3}{2}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy \\(a\\).</strong></p>\n<p>Korzystamy z warunku \\(g(-3) = 0\\):<br>\\[a \\cdot (-3) + \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = 0\\]<br>\\[-3a = \\frac{3}{2}\\]<br>\\[a = -\\frac{1}{2}\\]</p>\n<p><strong>Wynik:</strong> \\(g(x) = -\\dfrac{1}{2}x - \\dfrac{3}{2}\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na prostą przez dwa punkty</h4>\n<p>Znamy dwa punkty na wykresie funkcji \\(g\\):</p>\n<ul><li>miejsce zerowe: \\(A = (-3,\\ 0)\\)</li><li>punkt z warunku: \\(B = \\left(0,\\ -\\dfrac{3}{2}\\right)\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 1: Obliczamy współczynnik kierunkowy ze wzoru na nachylenie prostej.</strong></p>\n<p>\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{-\\dfrac{3}{2} - 0}{0 - (-3)} = \\frac{-\\dfrac{3}{2}}{3} = -\\frac{1}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyraz wolny odczytujemy bezpośrednio.</strong></p>\n<p>Punkt \\(B = \\left(0,\\ -\\dfrac{3}{2}\\right)\\) leży na osi \\(OY\\), więc \\(b = -\\dfrac{3}{2}\\).</p>\n<p><strong>Wynik:</strong> \\(g(x) = -\\dfrac{1}{2}x - \\dfrac{3}{2}\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej \\(g(x) = ax + b\\) oraz znajomość pojęć: miejsca zerowego i wartości funkcji. To wiedza bazowa, która nie jest zestawiana na karcie wzorów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | Poprawny współczynnik \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\), ale zły znak wyrazu wolnego: \\(+\\dfrac{3}{2}\\) zamiast \\(-\\dfrac{3}{2}\\). Uczeń zapomina, że \\(g(0) = -\\dfrac{3}{2}\\) to wartość <strong>ujemna</strong>. |<br>| C | Poprawny wyraz wolny \\(-\\dfrac{3}{2}\\), ale błędny znak \\(a\\): \\(+\\dfrac{1}{2}\\) zamiast \\(-\\dfrac{1}{2}\\). Uczeń pomylił kierunek prostej przy obliczaniu \\(a\\). |<br>| D | Dwa błędy jednocześnie: zły znak \\(a\\) (powinno być \\(-\\)) i zły znak \\(b\\) (powinno być \\(-\\)). Uczeń prawdopodobnie zgadywał lub pomylił znaki przy obu krokach. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(g(0) = b\\) - wartość funkcji liniowej dla argumentu \\(0\\) to <strong>bezpośrednio wyraz wolny</strong>. Nie trzeba nic liczyć! Wielu uczniów mimo to podstawia do równania i popełnia błąd rachunkowy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Miejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(g(x) = 0\\), a <strong>nie</strong> \\(g(0) = x\\). Tu \\(x = -3\\) jest argumentem, a wartość funkcji wynosi zero - nie odwrotnie!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(a\\) z równania \\(-3a - \\dfrac{3}{2} = 0\\) łatwo zgubić minus - pamiętaj, że \\(-3a = \\dfrac{3}{2}\\) daje \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\), nie \\(+\\dfrac{1}{2}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Dwa punkty</h5>\n<p>Funkcja liniowa \\(g(x) = ax + b\\) przechodzi przez \\((-3, 0)\\) (miejsce zerowe) i \\((0, -\\tfrac{3}{2})\\) (wartość w \\(0\\)).<br>Z punktu \\((0, -\\tfrac{3}{2})\\): \\(b = -\\tfrac{3}{2}\\).<br>Z punktu \\((-3, 0)\\): \\(0 = -3a - \\tfrac{3}{2} \\Rightarrow -3a = \\tfrac{3}{2} \\Rightarrow a = -\\tfrac{1}{2}\\).<br>Zatem \\(g(x) = -\\tfrac{1}{2}x - \\tfrac{3}{2}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Eliminacja</h5>\n<p>Z \\(g(0) = b = -\\tfrac{3}{2}\\): odpadają B, D.<br>Sprawdzamy \\(g(-3) = 0\\): A: \\(-\\tfrac{1}{2}(-3) - \\tfrac{3}{2} = \\tfrac{3}{2} - \\tfrac{3}{2} = 0\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B, D</strong> - niepoprawne \\(b\\) (plus zamiast minus).</li><li><strong>C</strong> - zły znak \\(a\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> wartość w \\(0\\) to zawsze \\(b\\) (wyraz wolny).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisania nierówności, którą musimy rozwiązać:</li></ol>\n<p>$$3 - x \\ge \\frac{5x - 1}{2}$$</p>\n<ol><li>Aby pozbyć się ułamka, pomnożymy obie strony nierówności przez 2. Pamiętaj, że mnożenie przez liczbę dodatnią nie zmienia znaku nierówności:</li></ol>\n<p>$$2(3 - x) \\ge 5x - 1$$</p>\n<ol><li>Rozwijamy lewą stronę:</li></ol>\n<p>$$6 - 2x \\ge 5x - 1$$</p>\n<ol><li>Teraz przenosimy wszystkie wyrazy z $x$ na jedną stronę, a stałe na drugą. Dodajemy $2x$ do obu stron:</li></ol>\n<p>$$6 \\ge 5x + 2x - 1$$<br>$$6 \\ge 7x - 1$$</p>\n<ol><li>Następnie dodajemy 1 do obu stron:</li></ol>\n<p>$$6 + 1 \\ge 7x$$<br>$$7 \\ge 7x$$</p>\n<ol><li>Dzielimy obie strony nierówności przez 7. To również nie zmienia znaku nierówności, ponieważ 7 jest liczbą dodatnią:</li></ol>\n<p>$$1 \\ge x$$<br>lub<br>$$x \\le 1$$</p>\n<ol><li>Ostatecznie zapisujemy rozwiązanie nierówności w postaci przedziału. Z tego wynika, że wszystkie liczby $x$, które są mniejsze lub równe 1, są rozwiązaniami:</li></ol>\n<p>$$(-\\infty, 1]$$</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> $(-\\infty, 1]$</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>3-x≥(5x-1)/(2) . Mnożymy przez 2 : 6-2x≥5x-1 , więc 7≥7x , czyli x≤1 .</p>"}]}