{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-3)\nDane jest równanie\n3\n3𝑥-7 =\n5𝑥\n𝑥-8 , gdzie 𝑥≠7\n3 i 𝑥≠8.\nWyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (𝟓\n𝟒, +∞).\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nDane jest równanie 3 / 3x-7 = 5x / x-8, gdzie x≠7/3 i x≠8. Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału ({5/4},+∞).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.1) przekształca równania i nierówności\nw sposób równoważny, w tym np.\nprzekształca równoważnie równanie\n5\n𝑥 + 1 = 𝑥 + 3\n2𝑥-1;\nIII.4) rozwiązuje równania […] kwadratowe.\nI.6) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i rozwiązanie równania\n3\n3𝑥 - 7 =\n5𝑥\n𝑥 - 8 w zbiorze\nliczb rzeczywistych oraz wskazanie tego rozwiązania równania, które należy do\nprzedziału (5\n4 , +∞): 𝑥= 4\n3\n2 pkt - rozwiązanie równania\n3\n3𝑥 - 7 =\n5𝑥\n𝑥 - 8 w zbiorze liczb rzeczywistych:\n𝑥= 6\n5 oraz 𝑥= 4\n3\n1 pkt - przekształcenie równania\n3\n3𝑥 - 7 =\n5𝑥\n𝑥 - 8 do równania kwadratowego, np.\n3(𝑥-8) = 5𝑥(3𝑥-7).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania i otrzyma\nrównanie kwadratowe postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0, które ma co najmniej jedno rozwiązanie\nrzeczywiste i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie spełni kryterium za 1 punkt, a przy przekształcaniu równania popełnia\nbłędy i otrzyma równanie kwadratowe postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0, które nie ma rozwiązań\nrzeczywistych, albo otrzyma równanie, które nie jest kwadratowe, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje\nbłędną metodę - np. zapisze 15𝑥= (3𝑥-7)(𝑥-8), to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie:\n3\n3𝑥-7 =\n5𝑥\n𝑥-8\n3(𝑥-8) = 5𝑥(3𝑥-7)\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:\n3𝑥-24 = 15𝑥2 -35𝑥\n15𝑥2 -38𝑥+ 24 = 0\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 15𝑥2 -38𝑥+ 24:\nΔ = (-38)2 -4 ⋅15 ⋅24 = 1444 -1440 = 4\nStąd:\n𝑥1 = -(-38) -√4\n2 ⋅15\n= 6\n5 ∉(5\n4 , +∞)\n𝑥2 = -(-38) + √4\n2 ⋅15\n= 4\n3 ∈(5\n4 , +∞)\nPonadto 4\n3 ≠7\n3 oraz 4\n3 ≠8. Zatem jedynym rozwiązaniem równania\n3\n3𝑥 - 7 =\n5𝑥\n𝑥 - 8\nw zbiorze (5\n4 , +∞) jest liczba 4\n3 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(0\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt wartości z wykresu\n\nWykres to łamana przez punkty \\((-5, 0)\\), \\((-3, -4)\\), \\((4, 3)\\). Musimy odczytać \\(f(-2)\\) i \\(f(2)\\).\n\n**Krok 1 - znajdź \\(f(-2)\\)**\n\nPunkt \\(-2\\) leży na odcinku między \\((-3, -4)\\) a \\((4, 3)\\).\n\nWyznaczamy równanie prostej przez te dwa punkty:\n\\[a = \\frac{3 - (-4)}{4 - (-3)} = \\frac{7}{7} = 1\\]\n\nProsta ma nachylenie \\(a = 1\\), więc:\n\\[y = 1 \\cdot (x - 4) + 3 = x - 1\\]\n\nDla \\(x = -2\\):\n\\[f(-2) = -2 - 1 = -3\\]\n\n**Krok 2 - znajdź \\(f(2)\\)**\n\nPunkt \\(2\\) leży na tym samym odcinku (między \\((-3,-4)\\) a \\((4,3)\\)), czyli korzystamy z tej samej prostej \\(y = x - 1\\):\n\\[f(2) = 2 - 1 = 1\\]\n\n**Krok 3 - oblicz wyrażenie**\n\n\\[f(-2) + 3 \\cdot f(2) = -3 + 3 \\cdot 1 = -3 + 3 = \\boxed{0}\\]\n\n**Odpowiedź: B**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja geometryczna (właściwości odcinka)\n\nZauważamy, że odcinek od \\((-3, -4)\\) do \\((4, 3)\\) ma nachylenie \\(1\\) - prosta jest postaci \\(y = x - 1\\). Sprawdzamy punkty kontrolne:\n- \\(x = -3\\): \\(y = -3 - 1 = -4\\) ✓\n- \\(x = 4\\): \\(y = 4 - 1 = 3\\) ✓\n\nWiemy więc, że na tym odcinku \\(f(x) = x - 1\\) dla każdego \\(x \\in \\langle -3, 4 \\rangle\\).\n\nDla \\(-2\\) i \\(2\\) - oba należą do \\(\\langle -3, 4 \\rangle\\), więc:\n\n\\[f(-2) = -3, \\quad f(2) = 1\\]\n\n\\[f(-2) + 3 \\cdot f(2) = -3 + 3 = 0\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy równanie kierunkowe prostej i odczyt z wykresu.\n\nPomocniczo korzystamy z definicji współczynnika kierunkowego prostej (Dział 11, Geometria analityczna, s. 22-23):\n\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]\noraz równania kierunkowego prostej:\n\\[y = ax + b\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((-3)\\) | Uczeń oblicza tylko \\(f(-2) = -3\\) i zapomina dodać \\(3 \\cdot f(2)\\) - bierze samo \\(f(-2)\\) za wynik |\n| C \\((3)\\) | Uczeń myli znak: liczy \\(f(-2) + 3 \\cdot f(2) = 3 + 3 \\cdot 0\\) przez błędny odczyt \\(f(-2) = 3\\) lub \\(f(2) = 0\\) |\n| D \\((4)\\) | Uczeń odczytuje \\(f(2) = 2\\) (bierze samą współrzędną \\(x\\) zamiast \\(y\\)) i liczy \\(-2 + 3 \\cdot 2 = 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie odczytuj wartości funkcji \"na oko\" - zawsze wyznacz równanie prostej przez dwa znane punkty i podstaw. Proste o nachyleniu \\(1\\) mogą mylić, bo \\(y \\neq x\\) (tu \\(y = x - 1\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy punkt należy do właściwego odcinka łamanej. Gdyby np. \\(-2\\) leżało bliżej punktu \\((-5, 0)\\), musielibyśmy użyć innego odcinka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Otwarte kółko przy \\((-5, 0)\\) oznacza, że \\(f(-5)\\) **nie istnieje** (lub ma inną wartość) - tu nie ma to wpływu na wynik, ale w innych zadaniach może być pułapką.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nZ wykresu:\n- \\(f(-2) = -3\\) (lewa gałąź rosnąca od \\((-3,-4)\\) do \\((1,0)\\)).\n- \\(f(2) = 1\\) (prawa gałąź rosnąca od \\((1,0)\\) do \\((4,3)\\)).\nWtedy: \\(f(-2) + 3 \\cdot f(2) = -3 + 3 \\cdot 1 = -3 + 3 = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Równania łamanej\nLewa gałąź: od \\((-3,-4)\\) do \\((1,0)\\), wzór: \\(y = x - 1\\), więc \\(f(-2) = -3\\).\nPrawa gałąź: od \\((1,0)\\) do \\((4,3)\\), wzór: \\(y = x - 1\\), więc \\(f(2) = 1\\).\nWynik: \\(-3 + 3 = 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - zapomniano pomnożyć \\(f(2)\\) przez \\(3\\).\n- **C. \\(3\\)** - pominięto \\(f(-2)\\).\n- **D. \\(4\\)** - złe odczytanie \\(f(-2)\\) lub \\(f(2)\\).\n\n**Trik:** najpierw wyznacz wartości punktów załamania, potem licz.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Funkcja wymierna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-3)<br>Dane jest równanie<br>3<br>3𝑥-7 =<br>5𝑥<br>𝑥-8 , gdzie 𝑥≠7<br>3 i 𝑥≠8.<br>Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (𝟓<br>𝟒, +∞).<br>Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dane jest równanie 3 / 3x-7 = 5x / x-8, gdzie x≠7/3 i x≠8. Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału ({5/4},+∞).</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.1) przekształca równania i nierówności<br>w sposób równoważny, w tym np.<br>przekształca równoważnie równanie<br>5<br>𝑥 + 1 = 𝑥 + 3<br>2𝑥-1;<br>III.4) rozwiązuje równania […] kwadratowe.<br>I.6) posługuje się pojęciem przedziału<br>liczbowego […].<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i rozwiązanie równania<br>3<br>3𝑥 - 7 =<br>5𝑥<br>𝑥 - 8 w zbiorze<br>liczb rzeczywistych oraz wskazanie tego rozwiązania równania, które należy do<br>przedziału (5<br>4 , +∞): 𝑥= 4<br>3<br>2 pkt - rozwiązanie równania<br>3<br>3𝑥 - 7 =<br>5𝑥<br>𝑥 - 8 w zbiorze liczb rzeczywistych:<br>𝑥= 6<br>5 oraz 𝑥= 4<br>3<br>1 pkt - przekształcenie równania<br>3<br>3𝑥 - 7 =<br>5𝑥<br>𝑥 - 8 do równania kwadratowego, np.<br>3(𝑥-8) = 5𝑥(3𝑥-7).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania i otrzyma</li></ol>\n<p>równanie kwadratowe postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0, które ma co najmniej jedno rozwiązanie<br>rzeczywiste i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie spełni kryterium za 1 punkt, a przy przekształcaniu równania popełnia</li></ol>\n<p>błędy i otrzyma równanie kwadratowe postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0, które nie ma rozwiązań<br>rzeczywistych, albo otrzyma równanie, które nie jest kwadratowe, to otrzymuje 0 punktów<br>za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje</li></ol>\n<p>błędną metodę - np. zapisze 15𝑥= (3𝑥-7)(𝑥-8), to otrzymuje 0 punktów za całe<br>rozwiązanie.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przekształcamy równanie:<br>3<br>3𝑥-7 =<br>5𝑥<br>𝑥-8<br>3(𝑥-8) = 5𝑥(3𝑥-7)<br>Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:<br>3𝑥-24 = 15𝑥2 -35𝑥<br>15𝑥2 -38𝑥+ 24 = 0<br>Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 15𝑥2 -38𝑥+ 24:<br>Δ = (-38)2 -4 ⋅15 ⋅24 = 1444 -1440 = 4<br>Stąd:<br>𝑥1 = -(-38) -√4<br>2 ⋅15<br>= 6<br>5 ∉(5<br>4 , +∞)<br>𝑥2 = -(-38) + √4<br>2 ⋅15<br>= 4<br>3 ∈(5<br>4 , +∞)<br>Ponadto 4<br>3 ≠7<br>3 oraz 4<br>3 ≠8. Zatem jedynym rozwiązaniem równania<br>3<br>3𝑥 - 7 =<br>5𝑥<br>𝑥 - 8<br>w zbiorze (5<br>4 , +∞) jest liczba 4<br>3 .</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(0\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt wartości z wykresu</h4>\n<p>Wykres to łamana przez punkty \\((-5, 0)\\), \\((-3, -4)\\), \\((4, 3)\\). Musimy odczytać \\(f(-2)\\) i \\(f(2)\\).</p>\n<p><strong>Krok 1 - znajdź \\(f(-2)\\)</strong></p>\n<p>Punkt \\(-2\\) leży na odcinku między \\((-3, -4)\\) a \\((4, 3)\\).</p>\n<p>Wyznaczamy równanie prostej przez te dwa punkty:<br>\\[a = \\frac{3 - (-4)}{4 - (-3)} = \\frac{7}{7} = 1\\]</p>\n<p>Prosta ma nachylenie \\(a = 1\\), więc:<br>\\[y = 1 \\cdot (x - 4) + 3 = x - 1\\]</p>\n<p>Dla \\(x = -2\\):<br>\\[f(-2) = -2 - 1 = -3\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - znajdź \\(f(2)\\)</strong></p>\n<p>Punkt \\(2\\) leży na tym samym odcinku (między \\((-3,-4)\\) a \\((4,3)\\)), czyli korzystamy z tej samej prostej \\(y = x - 1\\):<br>\\[f(2) = 2 - 1 = 1\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - oblicz wyrażenie</strong></p>\n<p>\\[f(-2) + 3 \\cdot f(2) = -3 + 3 \\cdot 1 = -3 + 3 = \\boxed{0}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: B</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja geometryczna (właściwości odcinka)</h4>\n<p>Zauważamy, że odcinek od \\((-3, -4)\\) do \\((4, 3)\\) ma nachylenie \\(1\\) - prosta jest postaci \\(y = x - 1\\). Sprawdzamy punkty kontrolne:</p>\n<ul><li>\\(x = -3\\): \\(y = -3 - 1 = -4\\) ✓</li><li>\\(x = 4\\): \\(y = 4 - 1 = 3\\) ✓</li></ul>\n<p>Wiemy więc, że na tym odcinku \\(f(x) = x - 1\\) dla każdego \\(x \\in \\langle -3, 4 \\rangle\\).</p>\n<p>Dla \\(-2\\) i \\(2\\) - oba należą do \\(\\langle -3, 4 \\rangle\\), więc:</p>\n<p>\\[f(-2) = -3, \\quad f(2) = 1\\]</p>\n<p>\\[f(-2) + 3 \\cdot f(2) = -3 + 3 = 0\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy równanie kierunkowe prostej i odczyt z wykresu.</p>\n<p>Pomocniczo korzystamy z definicji współczynnika kierunkowego prostej (Dział 11, Geometria analityczna, s. 22-23):<br>\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]<br>oraz równania kierunkowego prostej:<br>\\[y = ax + b\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A \\((-3)\\) | Uczeń oblicza tylko \\(f(-2) = -3\\) i zapomina dodać \\(3 \\cdot f(2)\\) - bierze samo \\(f(-2)\\) za wynik |<br>| C \\((3)\\) | Uczeń myli znak: liczy \\(f(-2) + 3 \\cdot f(2) = 3 + 3 \\cdot 0\\) przez błędny odczyt \\(f(-2) = 3\\) lub \\(f(2) = 0\\) |<br>| D \\((4)\\) | Uczeń odczytuje \\(f(2) = 2\\) (bierze samą współrzędną \\(x\\) zamiast \\(y\\)) i liczy \\(-2 + 3 \\cdot 2 = 4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie odczytuj wartości funkcji &quot;na oko&quot; - zawsze wyznacz równanie prostej przez dwa znane punkty i podstaw. Proste o nachyleniu \\(1\\) mogą mylić, bo \\(y \\neq x\\) (tu \\(y = x - 1\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, czy punkt należy do właściwego odcinka łamanej. Gdyby np. \\(-2\\) leżało bliżej punktu \\((-5, 0)\\), musielibyśmy użyć innego odcinka.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Otwarte kółko przy \\((-5, 0)\\) oznacza, że \\(f(-5)\\) <strong>nie istnieje</strong> (lub ma inną wartość) - tu nie ma to wpływu na wynik, ale w innych zadaniach może być pułapką.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h5>\n<p>Z wykresu:</p>\n<ul><li>\\(f(-2) = -3\\) (lewa gałąź rosnąca od \\((-3,-4)\\) do \\((1,0)\\)).</li><li>\\(f(2) = 1\\) (prawa gałąź rosnąca od \\((1,0)\\) do \\((4,3)\\)).</li></ul>\n<p>Wtedy: \\(f(-2) + 3 \\cdot f(2) = -3 + 3 \\cdot 1 = -3 + 3 = 0\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Równania łamanej</h5>\n<p>Lewa gałąź: od \\((-3,-4)\\) do \\((1,0)\\), wzór: \\(y = x - 1\\), więc \\(f(-2) = -3\\).<br>Prawa gałąź: od \\((1,0)\\) do \\((4,3)\\), wzór: \\(y = x - 1\\), więc \\(f(2) = 1\\).<br>Wynik: \\(-3 + 3 = 0\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-3\\)</strong> - zapomniano pomnożyć \\(f(2)\\) przez \\(3\\).</li><li><strong>C. \\(3\\)</strong> - pominięto \\(f(-2)\\).</li><li><strong>D. \\(4\\)</strong> - złe odczytanie \\(f(-2)\\) lub \\(f(2)\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> najpierw wyznacz wartości punktów załamania, potem licz.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Mnożymy równanie przez (3x-7)(x-8) : 3(x-8)=5x(3x-7) . Otrzymujemy 3x-24=15x^2-35x , czyli 15x^2-38x+24=0 . Δ=4 , więc x=(38-2)/(30)=(6)/(5) albo x=(38+2)/(30)=(4)/(3) . Do przedziału ((5)/(4),+∞) należy tylko (4)/(3) .</p>"}]}