{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n-𝟑𝒙𝟐> 𝟔𝒙-𝟗\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność -3x^2 > 6x-9. Zapisz obliczenia.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.4) rozwiązuje […] nierówności\nkwadratowe.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:\n𝑥∈(-3, 1)\nALBO\n- zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie pierwiastków trójmianu kwadratowego -3𝑥2 -6𝑥+ 9:\n𝑥1 = -3 oraz 𝑥2 = 1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu -3𝑥2 -6𝑥+ 9, popełni błędy (ale\notrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. -3𝑥2 -6𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność\n(np. -3𝑥2 -6𝑥> 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań\n(np. 𝑥∈[-3, 1]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (1, -3), to otrzymuje 2 punkty.\n-3\n1\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy nierówność:\n-3𝑥2 > 6𝑥-9\n-3𝑥2 -6𝑥+ 9 > 0 /: (-3)\n𝑥2 + 2𝑥-3 < 0\nObliczamy miejsca zerowe funkcji 𝑦= 𝑥2 + 2𝑥-3.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + 2𝑥-3:\nΔ = 22 -4 ⋅1 ⋅(-3) = 16\nStąd:\n𝑥1 = -2 -√16\n2 ⋅1\n= -3 oraz 𝑥2 = -2 + √16\n2 ⋅1\n= 1\nSzkicujemy wykres funkcji 𝑦= 𝑥2 + 2𝑥-3.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-3, 1).","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\langle -4, 3\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza wartości osiąganych przez każdy odcinek łamanej\n\nŁamana składa się z dwóch odcinków. Analizujemy je osobno.\n\n**Odcinek 1:** od \\((-5,\\, 0)\\) z **otwartym kółkiem** do \\((-3,\\, -4)\\)\n\nFunkcja maleje liniowo od \\(y = 0\\) do \\(y = -4\\).\n- \\(y = -4\\) jest **osiągane** (punkt \\((-3, -4)\\) jest zawarty)\n- \\(y = 0\\) jest **nieosigane** (otwarte kółko przy \\((-5, 0)\\))\n\nZbiór wartości tego odcinka: \\(\\langle -4,\\, 0)\\)\n\n**Odcinek 2:** od \\((-3,\\, -4)\\) do \\((4,\\, 3)\\) z **zamkniętym kółkiem**\n\nFunkcja rośnie liniowo od \\(y = -4\\) do \\(y = 3\\).\n- \\(y = -4\\) jest osiągane (wspólny punkt z odcinkiem 1)\n- \\(y = 3\\) jest **osiągane** (zamknięte kółko przy \\((4, 3)\\))\n\nZbiór wartości tego odcinka: \\(\\langle -4,\\, 3\\rangle\\)\n\n**Łączymy oba zbiory:**\n\\[\\langle -4,\\, 0) \\cup \\langle -4,\\, 3\\rangle = \\langle -4,\\, 3\\rangle\\]\n\nKluczowa obserwacja: drugi odcinek przechodzi przez \\(y = 0\\) (bo idzie od \\(-4\\) do \\(3\\)), więc wartość \\(y = 0\\) i tak zostaje osiągnięta - brak otwartego kółka przy \\((-5, 0)\\) nie \"wyrywa dziury\" ze zbioru wartości.\n\n**Zbiór wartości funkcji \\(f\\) to \\(\\langle -4, 3\\rangle\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez odczyt minimum i maksimum\n\nZbiór wartości funkcji = \\([\\min f,\\, \\max f]\\) (z uwzględnieniem otwartości krańców).\n\n- **Minimum:** najniższy punkt wykresu to \\((-3, -4)\\) - zwykły punkt łamanej (bez kółka), więc \\(y = -4\\) **jest osiągane**. Granica dolna: **domknięta** przy \\(-4\\).\n\n- **Maksimum:** najwyższy punkt to \\((4, 3)\\) - **zamknięte kółko**, więc \\(y = 3\\) **jest osiągane**. Granica górna: **domknięta** przy \\(3\\).\n\n- Sprawdzamy, czy nie ma \"dziury\" wewnątrz przedziału \\(\\langle -4, 3\\rangle\\): łamana jest ciągła na każdym odcinku i oba odcinki razem pokrywają cały przedział wartości bez przerw.\n\nWynik: \\(\\langle -4, 3\\rangle\\) - odpowiedź **C**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja zbioru wartości funkcji i odczyt z wykresu (minimum, maksimum, otwartość krańców).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | \\((-5, 4\\rangle\\) - uczeń odczytał **zakres** osi \\(x\\) (od \\(-5\\) do \\(4\\)) zamiast wartości na osi \\(y\\). Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości. |\n| **B** | \\((-4, 3)\\) - uczeń poprawnie odczytał kresy \\(-4\\) i \\(3\\), ale błędnie uznał **oba za nieosigane** (otwarte). W rzeczywistości zarówno \\(-4\\) (wierzchołek łamanej), jak i \\(3\\) (zamknięte kółko) są osiągane. |\n| **D** | \\((0, 3\\rangle\\) - uczeń pominął ujemne wartości funkcji i przyjął, że zakres zaczyna się od \\(0\\). Być może skupił się tylko na jednym odcinku lub zignorował odcinek opadający. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Otwarte kółko przy \\((-5, 0)\\) dotyczy punktu na **osi \\(x\\)**, ale wartość \\(y = 0\\) i tak pojawia się w zbiorze wartości - bo drugi odcinek przechodzi przez \\(y = 0\\) (idąc od \\(-4\\) do \\(3\\)). Nie wolno usuwać \\(0\\) ze zbioru wartości tylko dlatego, że jeden punkt jest \"otwarty\"!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości to jeden z najczęstszych błędów. Dziedzina to wartości \\(x\\) (tu: od \\(-5\\) do \\(4\\)), zbiór wartości to wartości \\(y\\) (tu: od \\(-4\\) do \\(3\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zamknięte/otwarte kółko wpływa tylko na **końce** odcinka. Punkty wewnętrzne łamanej (jak \\((-3, -4)\\)) są zawsze osiągane, bo nie mają żadnego kółka - to zwykłe \"przegięcia\" wykresu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nFunkcja osiąga:\n- minimum \\(y = -4\\) w punkcie \\(x = -3\\) (punkt zamknięty, wartość osiągnięta).\n- maksimum \\(y = 3\\) w punkcie \\(x = 4\\) (punkt zamknięty, wartość osiągnięta).\n- w punkcie \\(x = -5\\): \\(y = 0\\), ale kółko otwarte - wartość 0 i tak jest osiągana gdzie indziej (w \\(x = 1\\)).\nZbiór wartości: \\(\\langle -4, 3\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza przedziałów\nNa przedziale \\((-5,-3\\rangle\\) wartości od \\(0\\) (otwarte) do \\(-4\\) włącznie.\nNa \\(\\langle -3, 4\\rangle\\) wartości rosną od \\(-4\\) do \\(3\\) włącznie.\nSuma: \\(\\langle -4, 3\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Błąd zakresu (\\(-5\\) jest argumentem, nie wartością).\n- **B.** Błąd typu nawiasów (powinny być domknięte).\n- **D.** Zignorowano ujemną część wykresu.\n\n**Trik:** zbiór wartości = rzut wykresu na oś \\(y\\), z uwzględnieniem otwartych/zamkniętych końców.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Nierówności kwadratowe","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-2)<br>Rozwiąż nierówność<br>-𝟑𝒙𝟐&gt; 𝟔𝒙-𝟗<br>Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Rozwiąż nierówność -3x^2 &gt; 6x-9. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.4) rozwiązuje […] nierówności<br>kwadratowe.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:<br>𝑥∈(-3, 1)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności</li></ul>\n<p>w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np.<br>1 pkt - obliczenie/zapisanie pierwiastków trójmianu kwadratowego -3𝑥2 -6𝑥+ 9:<br>𝑥1 = -3 oraz 𝑥2 = 1 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu -3𝑥2 -6𝑥+ 9, popełni błędy (ale</li></ol>\n<p>otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór<br>rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie</li></ol>\n<p>obliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika</li></ol>\n<p>z błędu przekształcenia (np. -3𝑥2 -6𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność<br>(np. -3𝑥2 -6𝑥&gt; 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi</li></ol>\n<p>końcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań<br>(np. 𝑥∈[-3, 1]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki<br>Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności<br>w postaci (1, -3), to otrzymuje 2 punkty.<br>-3<br>1<br>𝑥<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przekształcamy nierówność:<br>-3𝑥2 &gt; 6𝑥-9<br>-3𝑥2 -6𝑥+ 9 &gt; 0 /: (-3)<br>𝑥2 + 2𝑥-3 &lt; 0<br>Obliczamy miejsca zerowe funkcji 𝑦= 𝑥2 + 2𝑥-3.<br>Obliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + 2𝑥-3:<br>Δ = 22 -4 ⋅1 ⋅(-3) = 16<br>Stąd:<br>𝑥1 = -2 -√16<br>2 ⋅1<br>= -3 oraz 𝑥2 = -2 + √16<br>2 ⋅1<br>= 1<br>Szkicujemy wykres funkcji 𝑦= 𝑥2 + 2𝑥-3.<br>Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.<br>Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-3, 1).</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\langle -4, 3\\rangle\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza wartości osiąganych przez każdy odcinek łamanej</h4>\n<p>Łamana składa się z dwóch odcinków. Analizujemy je osobno.</p>\n<p><strong>Odcinek 1:</strong> od \\((-5,\\, 0)\\) z <strong>otwartym kółkiem</strong> do \\((-3,\\, -4)\\)</p>\n<p>Funkcja maleje liniowo od \\(y = 0\\) do \\(y = -4\\).</p>\n<ul><li>\\(y = -4\\) jest <strong>osiągane</strong> (punkt \\((-3, -4)\\) jest zawarty)</li><li>\\(y = 0\\) jest <strong>nieosigane</strong> (otwarte kółko przy \\((-5, 0)\\))</li></ul>\n<p>Zbiór wartości tego odcinka: \\(\\langle -4,\\, 0)\\)</p>\n<p><strong>Odcinek 2:</strong> od \\((-3,\\, -4)\\) do \\((4,\\, 3)\\) z <strong>zamkniętym kółkiem</strong></p>\n<p>Funkcja rośnie liniowo od \\(y = -4\\) do \\(y = 3\\).</p>\n<ul><li>\\(y = -4\\) jest osiągane (wspólny punkt z odcinkiem 1)</li><li>\\(y = 3\\) jest <strong>osiągane</strong> (zamknięte kółko przy \\((4, 3)\\))</li></ul>\n<p>Zbiór wartości tego odcinka: \\(\\langle -4,\\, 3\\rangle\\)</p>\n<p><strong>Łączymy oba zbiory:</strong><br>\\[\\langle -4,\\, 0) \\cup \\langle -4,\\, 3\\rangle = \\langle -4,\\, 3\\rangle\\]</p>\n<p>Kluczowa obserwacja: drugi odcinek przechodzi przez \\(y = 0\\) (bo idzie od \\(-4\\) do \\(3\\)), więc wartość \\(y = 0\\) i tak zostaje osiągnięta - brak otwartego kółka przy \\((-5, 0)\\) nie &quot;wyrywa dziury&quot; ze zbioru wartości.</p>\n<p><strong>Zbiór wartości funkcji \\(f\\) to \\(\\langle -4, 3\\rangle\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez odczyt minimum i maksimum</h4>\n<p>Zbiór wartości funkcji = \\([\\min f,\\, \\max f]\\) (z uwzględnieniem otwartości krańców).</p>\n<ul><li><strong>Minimum:</strong> najniższy punkt wykresu to \\((-3, -4)\\) - zwykły punkt łamanej (bez kółka), więc \\(y = -4\\) <strong>jest osiągane</strong>. Granica dolna: <strong>domknięta</strong> przy \\(-4\\).</li></ul>\n<ul><li><strong>Maksimum:</strong> najwyższy punkt to \\((4, 3)\\) - <strong>zamknięte kółko</strong>, więc \\(y = 3\\) <strong>jest osiągane</strong>. Granica górna: <strong>domknięta</strong> przy \\(3\\).</li></ul>\n<ul><li>Sprawdzamy, czy nie ma &quot;dziury&quot; wewnątrz przedziału \\(\\langle -4, 3\\rangle\\): łamana jest ciągła na każdym odcinku i oba odcinki razem pokrywają cały przedział wartości bez przerw.</li></ul>\n<p>Wynik: \\(\\langle -4, 3\\rangle\\) - odpowiedź <strong>C</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja zbioru wartości funkcji i odczyt z wykresu (minimum, maksimum, otwartość krańców).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> | \\((-5, 4\\rangle\\) - uczeń odczytał <strong>zakres</strong> osi \\(x\\) (od \\(-5\\) do \\(4\\)) zamiast wartości na osi \\(y\\). Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości. |<br>| <strong>B</strong> | \\((-4, 3)\\) - uczeń poprawnie odczytał kresy \\(-4\\) i \\(3\\), ale błędnie uznał <strong>oba za nieosigane</strong> (otwarte). W rzeczywistości zarówno \\(-4\\) (wierzchołek łamanej), jak i \\(3\\) (zamknięte kółko) są osiągane. |<br>| <strong>D</strong> | \\((0, 3\\rangle\\) - uczeń pominął ujemne wartości funkcji i przyjął, że zakres zaczyna się od \\(0\\). Być może skupił się tylko na jednym odcinku lub zignorował odcinek opadający. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Otwarte kółko przy \\((-5, 0)\\) dotyczy punktu na <strong>osi \\(x\\)</strong>, ale wartość \\(y = 0\\) i tak pojawia się w zbiorze wartości - bo drugi odcinek przechodzi przez \\(y = 0\\) (idąc od \\(-4\\) do \\(3\\)). Nie wolno usuwać \\(0\\) ze zbioru wartości tylko dlatego, że jeden punkt jest &quot;otwarty&quot;!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości to jeden z najczęstszych błędów. Dziedzina to wartości \\(x\\) (tu: od \\(-5\\) do \\(4\\)), zbiór wartości to wartości \\(y\\) (tu: od \\(-4\\) do \\(3\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zamknięte/otwarte kółko wpływa tylko na <strong>końce</strong> odcinka. Punkty wewnętrzne łamanej (jak \\((-3, -4)\\)) są zawsze osiągane, bo nie mają żadnego kółka - to zwykłe &quot;przegięcia&quot; wykresu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h5>\n<p>Funkcja osiąga:</p>\n<ul><li>minimum \\(y = -4\\) w punkcie \\(x = -3\\) (punkt zamknięty, wartość osiągnięta).</li><li>maksimum \\(y = 3\\) w punkcie \\(x = 4\\) (punkt zamknięty, wartość osiągnięta).</li><li>w punkcie \\(x = -5\\): \\(y = 0\\), ale kółko otwarte - wartość 0 i tak jest osiągana gdzie indziej (w \\(x = 1\\)).</li></ul>\n<p>Zbiór wartości: \\(\\langle -4, 3\\rangle\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza przedziałów</h5>\n<p>Na przedziale \\((-5,-3\\rangle\\) wartości od \\(0\\) (otwarte) do \\(-4\\) włącznie.<br>Na \\(\\langle -3, 4\\rangle\\) wartości rosną od \\(-4\\) do \\(3\\) włącznie.<br>Suma: \\(\\langle -4, 3\\rangle\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Błąd zakresu (\\(-5\\) jest argumentem, nie wartością).</li><li><strong>B.</strong> Błąd typu nawiasów (powinny być domknięte).</li><li><strong>D.</strong> Zignorowano ujemną część wykresu.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> zbiór wartości = rzut wykresu na oś \\(y\\), z uwzględnieniem otwartych/zamkniętych końców.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>-3x^2&gt;6x-9 . Przenosimy wszystko na jedną stronę:</p>\n<p>-3x^2-6x+9&gt;0</p>\n<p>Rozważamy parabolę:</p>\n<p>y=-3x^2-6x+9</p>\n<p>Obliczamy miejsca zerowe z delty:</p>\n<p>a=-3, b=-6, c=9</p>\n<p>Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4·(-3)·9=36+108=144</p>\n<p>√(Δ)=12</p>\n<p>x_1=frac -b-√(Δ) 2a =(6-12)/(-6)=1</p>\n<p>x_2=frac -b+√(Δ) 2a =(6+12)/(-6)=-3</p>\n<p>Parabola ma ramiona skierowane w dół, ponieważ a=-3&lt;0 .</p>\n<p>Z rysunku widać, że parabola jest nad osią OX między miejscami zerowymi -3 i 1 .</p>\n<p>x∈(-3,1)</p>"}]}