{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nRozwiąż równanie\n3\n3𝑥-7 =\n5𝑥\n𝑥-8 , gdzie 𝑥≠7\n3 i 𝑥≠8.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.8) rozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnych rozwiązań równania:\n𝑥= 6\n5 oraz 𝑥= 4\n3\n1 pkt - przekształcenie równania\n3\n3𝑥 - 7 =\n5𝑥\n𝑥 - 8 do równania kwadratowego, np.\n3(𝑥-8) = 5𝑥(3𝑥-7).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma\nrównanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania i konsekwentnie je rozwiąże do końca,\nto może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje\nbłędną metodę i zapisze np. 15𝑥= (3𝑥-7)(𝑥-8), to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska\npoprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę\ni podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPodobnie, jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego,\nuzyska poprawne wartości pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy\nprzedziałów, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie:\n3\n3𝑥-7 =\n5𝑥\n𝑥-8\n3(𝑥-8) = 5𝑥(3𝑥-7)\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:\n3𝑥-24 = 15𝑥2 -35𝑥\n15𝑥2 -38𝑥+ 24 = 0\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 15𝑥2 -38𝑥+ 24:\nΔ = (-38)2 -4 ⋅15 ⋅24 = 1444 -1440 = 4\nStąd\n𝑥1 = -(-38) -√4\n2 ⋅15\n= 6\n5\n𝑥2 = -(-38) + √4\n2 ⋅15\n= 4\n3\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby 7\n3 i różne od liczby 8, więc są rozwiązaniami\ndanego równania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Rozwiąż równanie
3
3𝑥-7 =
5𝑥
𝑥-8 , gdzie 𝑥≠7
3 i 𝑥≠8.

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
3.8) rozwiązuje proste równania wymierne,
prowadzące do równań liniowych lub
kwadratowych […].
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnych rozwiązań równania:
𝑥= 6
5 oraz 𝑥= 4
3
1 pkt - przekształcenie równania
3
3𝑥 - 7 =
5𝑥
𝑥 - 8 do równania kwadratowego, np.
3(𝑥-8) = 5𝑥(3𝑥-7).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma
\n

równanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania i konsekwentnie je rozwiąże do końca,
to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje
\n

błędną metodę i zapisze np. 15𝑥= (3𝑥-7)(𝑥-8), to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska
\n

poprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę
i podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Podobnie, jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego,
uzyska poprawne wartości pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy
przedziałów, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przekształcamy równanie:
3
3𝑥-7 =
5𝑥
𝑥-8
3(𝑥-8) = 5𝑥(3𝑥-7)
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:
3𝑥-24 = 15𝑥2 -35𝑥
15𝑥2 -38𝑥+ 24 = 0
Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 15𝑥2 -38𝑥+ 24:
Δ = (-38)2 -4 ⋅15 ⋅24 = 1444 -1440 = 4
Stąd
𝑥1 = -(-38) -√4
2 ⋅15
= 6
5
𝑥2 = -(-38) + √4
2 ⋅15
= 4
3
Otrzymane pierwiastki są różne od liczby 7
3 i różne od liczby 8, więc są rozwiązaniami
danego równania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}