{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 32 ⋅ (-1)𝑛\n2𝑛-1\ndla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nTrzywyrazowy ciąg (𝑥 , 𝑎6\n, 2𝑥+ 10), gdzie 𝑥 jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetyczny.\nOblicz 𝑥 oraz różnicę tego ciągu arytmetycznego.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym;\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑥= -8\n3 oraz 𝑟= 11\n3 .\n3 pkt - obliczenie wartości 𝑥, dla której ciąg (𝑥 , 1 , 2𝑥+ 10) jest arytmetyczny: 𝑥= -8\n3 ,\nALBO\n- obliczenie wartości 𝑟, dla której ciąg (𝑥 , 1 , 2𝑥+ 10) jest arytmetyczny: 𝑟= 11\n3 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2 pkt - obliczenie szóstego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎6 = 1 oraz zapisanie równania z dwiema\nniewiadomymi 𝑥 oraz 𝑎6, np.:\n𝑥+ 2𝑥+ 10\n2\n= 𝑎6 ,\n2𝑥+ 10 -𝑎6 = 𝑎6 -𝑥 ,\nALBO\n- obliczenie szóstego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎6 = 1 oraz zapisanie układu dwóch\nniezależnych równań z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎6 , np.\n𝑥+ 𝑟= 𝑎6 oraz 𝑥+ 2𝑟= 2𝑥+ 10.\n1 pkt - obliczenie szóstego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎6 = 1,\nALBO\n- zapisanie równania z dwiema niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑎6 , np.:\n𝑥+ 2𝑥+ 10\n2\n= 𝑎6 ,\n2𝑥+ 10 -𝑎6 = 𝑎6 -𝑥 ,\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎6 , np.\n𝑥+ 𝑟= 𝑎6 oraz 𝑥+ 2𝑟= 2𝑥+ 10.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy szósty wyraz ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎6 = 32 ⋅(-1)6\n26-1\n= 1\nZ warunków zadania wynika, że liczby 𝑥, 1, 2𝑥+ 10 są kolejnymi wyrazami ciągu\narytmetycznego. Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n𝑥+ 2𝑥+ 10\n2\n= 1\n3𝑥+ 10 = 2\n𝑥= -8\n3\nRóżnica 𝑟 tego ciągu arytmetycznego jest równa\n𝑟= 1 -(-8\n3) = 11\n3\nSposób II\nObliczamy szósty wyraz ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎6 = 32 ⋅(-1)6\n26-1\n= 1\nZ warunków zadania wynika, że liczby 𝑥, 1, 2𝑥+ 10 są kolejnymi wyrazami ciągu\narytmetycznego. Z własności ciągu arytmetycznego, otrzymujemy:\n{ 1 = 𝑥+ 𝑟\n2𝑥+ 10 = 1 + 𝑟\ngdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego.\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑥= 1 -𝑟 i podstawiamy w miejsce 𝑥 do\ndrugiego z równań, dzięki czemu otrzymujemy:\n2(1 -𝑟) + 10 = 1 + 𝑟\n12 -2𝑟= 1 + 𝑟\n3𝑟= 11\n𝑟= 11\n3\nWtedy\n𝑥= 1 -11\n3 = -8\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 32. (0-4)<br>Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 32 ⋅ (-1)𝑛<br>2𝑛-1<br>dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.<br>Trzywyrazowy ciąg (𝑥 , 𝑎6<br>, 2𝑥+ 10), gdzie 𝑥 jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetyczny.<br>Oblicz 𝑥 oraz różnicę tego ciągu arytmetycznego.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 32. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego<br>wzorem ogólnym;<br>5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu<br>arytmetycznego.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑥= -8<br>3 oraz 𝑟= 11<br>3 .<br>3 pkt - obliczenie wartości 𝑥, dla której ciąg (𝑥 , 1 , 2𝑥+ 10) jest arytmetyczny: 𝑥= -8<br>3 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wartości 𝑟, dla której ciąg (𝑥 , 1 , 2𝑥+ 10) jest arytmetyczny: 𝑟= 11</li></ul>\n<p>3 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>2 pkt - obliczenie szóstego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎6 = 1 oraz zapisanie równania z dwiema<br>niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑎6, np.:<br>𝑥+ 2𝑥+ 10<br>2<br>= 𝑎6 ,<br>2𝑥+ 10 -𝑎6 = 𝑎6 -𝑥 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie szóstego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎6 = 1 oraz zapisanie układu dwóch</li></ul>\n<p>niezależnych równań z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎6 , np.<br>𝑥+ 𝑟= 𝑎6 oraz 𝑥+ 2𝑟= 2𝑥+ 10.<br>1 pkt - obliczenie szóstego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎6 = 1,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z dwiema niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑎6 , np.:</li></ul>\n<p>𝑥+ 2𝑥+ 10<br>2<br>= 𝑎6 ,<br>2𝑥+ 10 -𝑎6 = 𝑎6 -𝑥 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎6 , np.</li></ul>\n<p>𝑥+ 𝑟= 𝑎6 oraz 𝑥+ 2𝑟= 2𝑥+ 10.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Obliczamy szósty wyraz ciągu (𝑎𝑛):<br>𝑎6 = 32 ⋅(-1)6<br>26-1<br>= 1<br>Z warunków zadania wynika, że liczby 𝑥, 1, 2𝑥+ 10 są kolejnymi wyrazami ciągu<br>arytmetycznego. Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:<br>𝑥+ 2𝑥+ 10<br>2<br>= 1<br>3𝑥+ 10 = 2<br>𝑥= -8<br>3<br>Różnica 𝑟 tego ciągu arytmetycznego jest równa<br>𝑟= 1 -(-8</p>\n<ol><li>= 11</li></ol>\n<p>3<br>Sposób II<br>Obliczamy szósty wyraz ciągu (𝑎𝑛):<br>𝑎6 = 32 ⋅(-1)6<br>26-1<br>= 1<br>Z warunków zadania wynika, że liczby 𝑥, 1, 2𝑥+ 10 są kolejnymi wyrazami ciągu<br>arytmetycznego. Z własności ciągu arytmetycznego, otrzymujemy:<br>{ 1 = 𝑥+ 𝑟<br>2𝑥+ 10 = 1 + 𝑟<br>gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego.<br>Z pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑥= 1 -𝑟 i podstawiamy w miejsce 𝑥 do<br>drugiego z równań, dzięki czemu otrzymujemy:<br>2(1 -𝑟) + 10 = 1 + 𝑟<br>12 -2𝑟= 1 + 𝑟<br>3𝑟= 11<br>𝑟= 11<br>3<br>Wtedy<br>𝑥= 1 -11<br>3 = -8<br>3</p>","solutions":[]}