{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. Wysokość podstawy 𝐴𝐵𝐶 jest\nrówna 2√3. Przekątna 𝐴𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐵𝐸𝐷 tworzy z krawędzią 𝐴𝐵 kąt o mierze 60°\n(zobacz rysunek).\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\n2ξ3\n60°\n𝐴\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐵\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól\npowierzchni i objętości.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa\noraz poprawne wyniki: 𝑉= 48 i 𝑃𝑐= 56√3.\n3 pkt - obliczenie objętości graniastosłupa: 𝑉= 48,\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: 𝑃𝑐= 56√3.\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 4 oraz obliczenie wysokości\ngraniastosłupa: 𝐻= 4√3,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝑉= 𝑎2 ⋅ √3\n4\n⋅𝑎√3, oraz zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej\ngraniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅ √3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝑎√3.\n1 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 4,\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy a wysokością\ngraniastosłupa, np.: tg 60° = 𝐻\n𝑎\n, 𝐻= 𝑎√3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nc) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów,\nd) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,\nlub\ne) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola\npowierzchni całkowitej graniastosłupa).\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-e), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, ale otrzyma długość\nkrawędzi podstawy większą od 2√3, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej\ngraniastosłupa).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość graniastosłupa.\nZauważamy, że 𝑎> 0 i 𝐻> 0.\nPodstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, stąd:\n2√3 = 𝑎√3\n2\nZatem:\n𝑎= 4\nObliczamy wysokość 𝐻 graniastosłupa:\ntg 60° = 𝐻\n𝑎= 𝐻\n4\nStąd:\n𝐻= 4 ⋅tg 60° = 4√3\nObliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa:\n𝑉= 𝑎2 ⋅√3\n4\n⋅𝐻= 42 ⋅√3\n4\n⋅4√3 = 4√3 ⋅4√3 = 48\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 graniastosłupa:\n𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅√3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝐻= 2 ⋅42 ⋅√3\n4\n+ 3 ⋅4 ⋅4√3 = 8√3 + 48√3 = 56√3\n2ξ3\n60°\n𝐴\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐵\n𝑎\n𝐻\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. Wysokość podstawy 𝐴𝐵𝐶 jest<br>równa 2√3. Przekątna 𝐴𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐵𝐸𝐷 tworzy z krawędzią 𝐴𝐵 kąt o mierze 60°<br>(zobacz rysunek).<br>Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.<br>2ξ3<br>60°<br>𝐴<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>𝐶<br>𝐵</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń<br>długości odcinków, miar kątów, pól<br>powierzchni i objętości.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa<br>oraz poprawne wyniki: 𝑉= 48 i 𝑃𝑐= 56√3.<br>3 pkt - obliczenie objętości graniastosłupa: 𝑉= 48,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: 𝑃𝑐= 56√3.</li></ul>\n<p>2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 4 oraz obliczenie wysokości<br>graniastosłupa: 𝐻= 4√3,<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np.</li></ul>\n<p>𝑉= 𝑎2 ⋅ √3<br>4<br>⋅𝑎√3, oraz zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej<br>graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅ √3<br>4</p>\n<ul><li>3 ⋅𝑎⋅𝑎√3.</li></ul>\n<p>1 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 4,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy a wysokością</li></ul>\n<p>graniastosłupa, np.: tg 60° = 𝐻<br>𝑎<br>, 𝐻= 𝑎√3.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:</li></ol>\n<p>a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,<br>b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,<br>c) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów,<br>d) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,<br>lub<br>e) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°,<br>i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać<br>co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola<br>powierzchni całkowitej graniastosłupa).<br>Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-e), to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, ale otrzyma długość</li></ol>\n<p>krawędzi podstawy większą od 2√3, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe<br>rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej<br>graniastosłupa).<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:<br>𝑎 - długość krawędzi podstawy,<br>𝐻 - wysokość graniastosłupa.<br>Zauważamy, że 𝑎&gt; 0 i 𝐻&gt; 0.<br>Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, stąd:<br>2√3 = 𝑎√3<br>2<br>Zatem:<br>𝑎= 4<br>Obliczamy wysokość 𝐻 graniastosłupa:<br>tg 60° = 𝐻<br>𝑎= 𝐻<br>4<br>Stąd:<br>𝐻= 4 ⋅tg 60° = 4√3<br>Obliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa:<br>𝑉= 𝑎2 ⋅√3<br>4<br>⋅𝐻= 42 ⋅√3<br>4<br>⋅4√3 = 4√3 ⋅4√3 = 48<br>Obliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 graniastosłupa:<br>𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅√3<br>4</p>\n<ul><li>3 ⋅𝑎⋅𝐻= 2 ⋅42 ⋅√3</li></ul>\n<p>4</p>\n<ul><li>3 ⋅4 ⋅4√3 = 8√3 + 48√3 = 56√3</li></ul>\n<p>2ξ3<br>60°<br>𝐴<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>𝐶<br>𝐵<br>𝑎<br>𝐻<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}