{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (-4, 7) oraz 𝐵= (12, 3).\nProsta 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 w punkcie 𝐶.\nSymetralna odcinka 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 w punkcie 𝐷.\nOblicz współrzędne punktów 𝐶 i 𝐷 oraz pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\n[…] prostopadła do prostej danej w postaci\nkierunkowej i przechodzi przez dany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝐶= (24, 0) oraz 𝐷= (11\n4 , 0),\noraz 𝑃𝐴𝐶𝐷= 595\n8 .\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐶 oraz 𝐷: 𝐶= (24, 0), oraz 𝐷= (11\n4 , 0).\n3 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (24, 0), oraz spełnienie jednego\nz poniższych warunków:\n1) wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵: 𝑦= 4𝑥-11\n2) zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna\npunktu 𝐷, np.\n√(𝑥𝐷+ 4)2 + (0 -7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (0 -3)2 ,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (11\n4 , 0).\n2 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (24, 0), oraz spełnienie jednego\nz poniższych warunków:\n1) zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (4, 5),\n2) wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -1\n4 (lub\nzapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 𝑥+ 4𝑦-24 = 0),\n3) zapisanie równania z dwiema niewiadomymi (współrzędnymi punktu 𝐷)\nnp. √(𝑥𝐷+ 4)2 + (𝑦𝐷-7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (𝑦𝐷-3)2 ,\nALBO\n- wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵: 𝑦= 4𝑥-11,\nALBO\n- zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna punktu 𝐷, np.\n√(𝑥𝐷+ 4)2 + (0 -7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (0 -3)2 .\n1 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (24, 0),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktów 𝐶 oraz 𝐷 w postaci 𝐶= (𝑥𝐶, 0), oraz\n𝐷= (𝑥𝐷, 0),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (4, 5),\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -1\n4 (lub zapisanie\nrównania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 𝑥+ 4𝑦-24 = 0),\nALBO\n- zapisanie równania z dwiema niewiadomymi (współrzędnymi punktu 𝐷) np.\n√(𝑥𝐷+ 4)2 + (𝑦𝐷-7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (𝑦𝐷-3)2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych prostopadłych,\nc) umiejscowienie punktów 𝐶 oraz 𝐷 na osi 𝑂𝑦 (zamiast na osi 𝑂𝑥),\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-c), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵:\n(𝑦-7)(12 + 4) -(3 -7)(𝑥+ 4) = 0\n16𝑦-112 + 4𝑥+ 16 = 0\n16𝑦= -4𝑥+ 96\n𝑦= -1\n4 𝑥+ 6\nOznaczmy przez 𝑘 symetralną odcinka 𝐴𝐵. Współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵 jest\nrówny (-1\n4), zatem współczynnik kierunkowy symetralnej 𝑘 jest równy 4.\nSymetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n𝑀= (-4 + 12\n2\n, 7 + 3\n2\n) = (4, 5)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem prosta 𝑘 ma równanie postaci:\n𝑦= 4(𝑥-4) + 5\n𝑦= 4𝑥-11\nPunkt 𝐶 jest punktem przecięcia prostej 𝐴𝐵 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne\npunktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) spełniają równania:\n𝑦𝐶= -1\n4 𝑥𝐶+ 6 oraz 𝑦𝐶= 0\nStąd otrzymujemy 𝐶= (24, 0).\nPunkt 𝐷 jest punktem przecięcia prostej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne\npunktu 𝐷= (𝑥𝐷, 𝑦𝐷) spełniają równania:\n𝑦𝐷= 4𝑥𝐷-11 oraz 𝑦𝐷= 0\nStąd otrzymujemy 𝐷= (11\n4 , 0).\nObliczamy długość podstawy 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐶𝐷:\n|𝐶𝐷| = 24 -11\n4 = 85\n4\nWysokością ℎ trójkąta 𝐴𝐶𝐷 opuszczoną na podstawę 𝐶𝐷 jest odcinek, którego długość\njest równa rzędnej punktu 𝐴, zatem ℎ= 7.\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n2 ⋅85\n4 ⋅7 = 595\n8\nSposób II\nPonieważ punkty 𝐶 oraz 𝐷 leżą na osi 𝑂𝑥, więc ich współrzędne są równe 𝐶= (𝑥𝐶, 0)\noraz 𝐷= (𝑥𝐷, 0).\nPunkt 𝐶 leży na prostej 𝐴𝐵. Stąd i ze wzoru na równanie prostej w postaci ogólnej\notrzymujemy:\n(0 -7)(12 + 4) -(3 -7)(𝑥𝐶+ 4) = 0\n-112 + 4𝑥𝐶+ 16 = 0\n4𝑥𝐶= 96\n𝑥𝐶= 24\nZatem 𝐶= (24, 0)\nPonieważ punkt 𝐷 leży na symetralnej odcinka 𝐴𝐵, więc |𝐴𝐷| = |𝐵𝐷|.\nStąd i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy równanie\n√(𝑥𝐷+ 4)2 + (0 -7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (0 -3)2\n(𝑥𝐷+ 4)2 + (0 -7)2 = (𝑥𝐷-12)2 + (0 -3)2\n𝑥𝐷\n2 + 8𝑥𝐷+ 16 + 49 = 𝑥𝐷\n2 -24𝑥𝐷+ 144 + 9\n32𝑥𝐷= 88\n𝑥𝐷= 11\n4\nZatem 𝐷= (11\n4 , 0).\nObliczamy długość podstawy 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐶𝐷:\n|𝐶𝐷| = 24 -11\n4 = 85\n4\nWysokością ℎ trójkąta 𝐴𝐶𝐷 opuszczoną na podstawę 𝐶𝐷 jest odcinek, którego długość\njest równa rzędnej punktu 𝐴, zatem ℎ= 7.\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n2 ⋅85\n4 ⋅7 = 595\n8\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin poprawkowy 2025.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n-3𝑥2 -6𝑥+ 9, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności -3𝑥2 -6𝑥> 0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (1, -3), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\n3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 27.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 850 -2145 do postaci (23)50 -2145.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 28.\nUwaga:\nJeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania\n3\n3𝑥-7 = 5𝑥\n𝑥-8 do postaci\nrównania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego\nrównania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może\notrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\nZadanie 29.\n1 pkt - zapisanie równania 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52.\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 5\n36), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 32.\n2 pkt - obliczenie szóstego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎6 = 1 oraz zapisanie równania\nz niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎6 , np. 𝑥+ 𝑟= 𝑎6 .\n1 pkt - zapisanie równania z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎6 , np. 𝑥+ 𝑟= 𝑎6 .\nZadanie 33.\n2 pkt - zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝑉= 𝑎2 ⋅ √3\n4\n⋅𝑎√3, LUB zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej\ngraniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅ √3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝑎√3.\nZadanie 34.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":32,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 34. (0-5)<br>W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (-4, 7) oraz 𝐵= (12, 3).<br>Prosta 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 w punkcie 𝐶.<br>Symetralna odcinka 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 w punkcie 𝐷.<br>Oblicz współrzędne punktów 𝐶 i 𝐷 oraz pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 34. (0-5)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>8.1) wyznacza równanie prostej<br>przechodzącej przez dwa dane punkty<br>(w postaci kierunkowej lub ogólnej);<br>8.3) wyznacza równanie prostej, która jest<br>[…] prostopadła do prostej danej w postaci<br>kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;<br>8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia<br>dwóch prostych;<br>8.6) oblicza odległość dwóch punktów.<br>Zasady oceniania<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝐶= (24, 0) oraz 𝐷= (11<br>4 , 0),<br>oraz 𝑃𝐴𝐶𝐷= 595<br>8 .<br>4 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐶 oraz 𝐷: 𝐶= (24, 0), oraz 𝐷= (11<br>4 , 0).<br>3 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (24, 0), oraz spełnienie jednego<br>z poniższych warunków:</p>\n<ol><li>wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵: 𝑦= 4𝑥-11</li><li>zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna</li></ol>\n<p>punktu 𝐷, np.<br>√(𝑥𝐷+ 4)2 + (0 -7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (0 -3)2 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (11</li></ul>\n<p>4 , 0).<br>2 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (24, 0), oraz spełnienie jednego<br>z poniższych warunków:</p>\n<ol><li>zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (4, 5),</li><li>wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -1</li></ol>\n<p>4 (lub<br>zapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 𝑥+ 4𝑦-24 = 0),</p>\n<ol><li>zapisanie równania z dwiema niewiadomymi (współrzędnymi punktu 𝐷)</li></ol>\n<p>np. √(𝑥𝐷+ 4)2 + (𝑦𝐷-7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (𝑦𝐷-3)2 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵: 𝑦= 4𝑥-11,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna punktu 𝐷, np.</li></ul>\n<p>√(𝑥𝐷+ 4)2 + (0 -7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (0 -3)2 .<br>1 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (24, 0),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych punktów 𝐶 oraz 𝐷 w postaci 𝐶= (𝑥𝐶, 0), oraz</li></ul>\n<p>𝐷= (𝑥𝐷, 0),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (4, 5),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -1</li></ul>\n<p>4 (lub zapisanie<br>równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 𝑥+ 4𝑦-24 = 0),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z dwiema niewiadomymi (współrzędnymi punktu 𝐷) np.</li></ul>\n<p>√(𝑥𝐷+ 4)2 + (𝑦𝐷-7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (𝑦𝐷-3)2 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:<br>a) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,<br>b) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi<br>prostych prostopadłych,<br>c) umiejscowienie punktów 𝐶 oraz 𝐷 na osi 𝑂𝑦 (zamiast na osi 𝑂𝑥),<br>i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać<br>co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.<br>Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-c), to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵:<br>(𝑦-7)(12 + 4) -(3 -7)(𝑥+ 4) = 0<br>16𝑦-112 + 4𝑥+ 16 = 0<br>16𝑦= -4𝑥+ 96<br>𝑦= -1<br>4 𝑥+ 6<br>Oznaczmy przez 𝑘 symetralną odcinka 𝐴𝐵. Współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵 jest<br>równy (-1<br>4), zatem współczynnik kierunkowy symetralnej 𝑘 jest równy 4.<br>Symetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:<br>𝑀= (-4 + 12<br>2<br>, 7 + 3<br>2<br>) = (4, 5)<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zatem prosta 𝑘 ma równanie postaci:<br>𝑦= 4(𝑥-4) + 5<br>𝑦= 4𝑥-11<br>Punkt 𝐶 jest punktem przecięcia prostej 𝐴𝐵 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne<br>punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) spełniają równania:<br>𝑦𝐶= -1<br>4 𝑥𝐶+ 6 oraz 𝑦𝐶= 0<br>Stąd otrzymujemy 𝐶= (24, 0).<br>Punkt 𝐷 jest punktem przecięcia prostej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne<br>punktu 𝐷= (𝑥𝐷, 𝑦𝐷) spełniają równania:<br>𝑦𝐷= 4𝑥𝐷-11 oraz 𝑦𝐷= 0<br>Stąd otrzymujemy 𝐷= (11<br>4 , 0).<br>Obliczamy długość podstawy 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐶𝐷:<br>|𝐶𝐷| = 24 -11<br>4 = 85<br>4<br>Wysokością ℎ trójkąta 𝐴𝐶𝐷 opuszczoną na podstawę 𝐶𝐷 jest odcinek, którego długość<br>jest równa rzędnej punktu 𝐴, zatem ℎ= 7.<br>Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷:<br>𝑃𝐴𝐶𝐷= 1<br>2 ⋅85<br>4 ⋅7 = 595<br>8<br>Sposób II<br>Ponieważ punkty 𝐶 oraz 𝐷 leżą na osi 𝑂𝑥, więc ich współrzędne są równe 𝐶= (𝑥𝐶, 0)<br>oraz 𝐷= (𝑥𝐷, 0).<br>Punkt 𝐶 leży na prostej 𝐴𝐵. Stąd i ze wzoru na równanie prostej w postaci ogólnej<br>otrzymujemy:<br>(0 -7)(12 + 4) -(3 -7)(𝑥𝐶+ 4) = 0<br>-112 + 4𝑥𝐶+ 16 = 0<br>4𝑥𝐶= 96<br>𝑥𝐶= 24<br>Zatem 𝐶= (24, 0)<br>Ponieważ punkt 𝐷 leży na symetralnej odcinka 𝐴𝐵, więc |𝐴𝐷| = |𝐵𝐷|.<br>Stąd i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy równanie<br>√(𝑥𝐷+ 4)2 + (0 -7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (0 -3)2<br>(𝑥𝐷+ 4)2 + (0 -7)2 = (𝑥𝐷-12)2 + (0 -3)2<br>𝑥𝐷<br>2 + 8𝑥𝐷+ 16 + 49 = 𝑥𝐷<br>2 -24𝑥𝐷+ 144 + 9<br>32𝑥𝐷= 88<br>𝑥𝐷= 11<br>4<br>Zatem 𝐷= (11<br>4 , 0).<br>Obliczamy długość podstawy 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐶𝐷:<br>|𝐶𝐷| = 24 -11<br>4 = 85<br>4<br>Wysokością ℎ trójkąta 𝐴𝐶𝐷 opuszczoną na podstawę 𝐶𝐷 jest odcinek, którego długość<br>jest równa rzędnej punktu 𝐴, zatem ℎ= 7.<br>Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷:<br>𝑃𝐴𝐶𝐷= 1<br>2 ⋅85<br>4 ⋅7 = 595<br>8<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez<br>stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,<br>termin poprawkowy 2025.<br>I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka<br>przestawienia położenia znaku liczby.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,</li></ol>\n<p>części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie<br>z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje</li></ol>\n<p>nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub<br>stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie<br>zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,<br>istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających<br>rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę<br>wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób<br>ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 26.<br>1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego<br>-3𝑥2 -6𝑥+ 9, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego<br>i obliczenie tych pierwiastków<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze</li></ul>\n<p>dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne rozwiązanie nierówności -3𝑥2 -6𝑥&gt; 0 (tzn. stosuje się punkt 6.</li></ul>\n<p>ogólnych zasad oceniania),<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego</li></ul>\n<p>trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze</li></ol>\n<p>zbiór rozwiązań nierówności w postaci (1, -3), to może otrzymać 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.</li><li>Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są</li></ol>\n<p>liczbami wymiernymi.<br>Zadanie 27.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia 850 -2145 do postaci (23)50 -2145.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zadanie 28.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania<br>3<br>3𝑥-7 = 5𝑥<br>𝑥-8 do postaci<br>równania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego<br>równania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może<br>otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Zadanie 29.<br>1 pkt - zapisanie równania 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52.<br>Zadanie 30.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 31.<br>1 pkt - zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze</li></ol>\n<p>standardowych zasad oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające</li></ol>\n<p>zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze<br>wynik (np. 5<br>36), to otrzymuje 2 punkty.<br>Zadanie 32.<br>2 pkt - obliczenie szóstego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎6 = 1 oraz zapisanie równania<br>z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎6 , np. 𝑥+ 𝑟= 𝑎6 .<br>1 pkt - zapisanie równania z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎6 , np. 𝑥+ 𝑟= 𝑎6 .<br>Zadanie 33.<br>2 pkt - zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np.<br>𝑉= 𝑎2 ⋅ √3<br>4<br>⋅𝑎√3, LUB zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej<br>graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅ √3<br>4</p>\n<ul><li>3 ⋅𝑎⋅𝑎√3.</li></ul>\n<p>Zadanie 34.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.</p>","solutions":[]}