{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/18","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"18","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 18. (0-2)","answer":"Nie","answer_text":"Zadanie 18. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie prostego\nrozumowania, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność\nrozumowania, rozróżnianie dowodu od\nprzykładu.\nKLASY IV-VI\nVIII. Kąty. Uczeń:\n6) rozpoznaje kąty wierzchołkowe i przyległe\noraz korzysta z ich własności.\nIX. Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:\n3) stosuje twierdzenie o sumie kątów\nwewnętrznych trójkąta.\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n3) korzysta z własności prostych\nrównoległych, w szczególności stosuje\nrówność kątów odpowiadających\ni naprzemianległych.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia miar kątów 𝐵𝐶𝐴 i 𝐴𝐵𝐶, prawidłowe obliczenia, prawidłowe\nwyniki liczbowe (24° oraz 26°) oraz zapisanie wniosku, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest\nrównoramienny.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia miar dowolnych dwóch kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶\nLUB\n• ustalenie, np. zapisanie na rysunku miar dowolnych dwóch kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶,\nLUB\n• zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 będzie równoramienny, jeżeli |∢𝐵𝐶𝐴| = |∢𝐴𝐵𝐶| oraz że nie\nbędzie równoramienny jeżeli |∢𝐵𝐶𝐴| ≠|∢𝐴𝐵𝐶| (lub zapisy równoważne).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nKąty 𝐸𝐶𝐵 i 𝐴𝐵𝐶 to kąty naprzemianległe, zatem:\n|∢𝐴𝐵𝐶| = 26°\nOdcinek 𝐶𝐷 jest prostopadły do prostej 𝑘, zatem:\n|∢𝐵𝐶𝐴| = 90° -40° -26° = 24°\nSuma miar kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 jest równa 180°, więc:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|∢𝐶𝐴𝐵| = 180° -24° -26° = 130°\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 nie można wskazać pary kątów o tej samej mierze, więc trójkąt ten nie jest\nrównoramienny.\nII sposób\nObliczymy miary kątów: 𝐶𝐴𝐷, 𝐶𝐴𝐵, 𝐵𝐶𝐴 oraz 𝐴𝐵𝐶.\nOdcinek 𝐶𝐷 jest prostopadły do prostej 𝑙, zatem:\n|∢𝐶𝐷𝐴| = 90°\nSkorzystamy z sumy miar kątów w trójkącie 𝐷𝐴𝐶:\n|∢𝐶𝐴𝐷| = 180° -90° -40° = 50°\nSkorzystamy z własności kątów przyległych:\n|∢𝐶𝐴𝐵| = 180° -50° = 130°\nOdcinek 𝐶𝐷 jest prostopadły do prostej 𝑘, zatem:\n|∢𝐵𝐶𝐴| = 90° -40° -26° = 24°\nSkorzystamy z sumy miar kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶:\n|∢𝐴𝐵𝐶| = 180° -130° -24° = 26°\n|∢𝐵𝐶𝐴| ≠|∢𝐴𝐵𝐶|, zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest równoramienny.\nIII sposób\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest trójkątem rozwartokątnym, ponieważ |∢𝐶𝐴𝐵| = 130°, a zatem będzie on\nrównoramienny, jeżeli |∢𝐵𝐶𝐴| = |∢𝐴𝐵𝐶|.\nNatomiast jeżeli |∢𝐵𝐶𝐴| ≠|∢𝐴𝐵𝐶| trójkąt ten nie będzie równoramienny.\nObliczymy miary |∢𝐵𝐶𝐴| oraz |∢𝐴𝐵𝐶|:\n|∢𝐴𝐵𝐶| = 26° (kąt naprzemianległy do kąta 𝐸𝐶𝐵)\n|∢𝐵𝐶𝐴| = 90° -40° -26° = 24°\n24° ≠26°\n|∢𝐵𝐶𝐴| ≠|∢𝐴𝐵𝐶|, zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest równoramienny.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.","solution":"Ponieważ CD jest prostopadły do prostych równoległych k i l , kąt między CA i prostą l ma miarę:\n\n90^°-40^°=50^°\n\nZ równoległości prostych wynika, że kąt ABC ma 26^° . Kąt ACB jest różnicą kątów, które proste CA i CB tworzą z prostymi równoległymi:\n\n50^°-26^°=24^°\n\nKąty trójkąta ABC mają więc miary 130^° , 26^° i 24^° . Żadne dwa nie są równe.\n\nOdpowiedź: Nie, trójkąt ABC nie jest równoramienny.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"Własności kątów","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-2)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie prostego</li></ol>\n<p>rozumowania, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność<br>rozumowania, rozróżnianie dowodu od<br>przykładu.<br>KLASY IV-VI<br>VIII. Kąty. Uczeń:</p>\n<ol><li>rozpoznaje kąty wierzchołkowe i przyległe</li></ol>\n<p>oraz korzysta z ich własności.<br>IX. Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:</p>\n<ol><li>stosuje twierdzenie o sumie kątów</li></ol>\n<p>wewnętrznych trójkąta.<br>KLASY VII i VIII<br>VIII. Własności figur geometrycznych na<br>płaszczyźnie. Uczeń:</p>\n<ol><li>korzysta z własności prostych</li></ol>\n<p>równoległych, w szczególności stosuje<br>równość kątów odpowiadających<br>i naprzemianległych.<br>Zasady oceniania<br>2 punkty - pełne rozwiązanie<br>poprawny sposób obliczenia miar kątów 𝐵𝐶𝐴 i 𝐴𝐵𝐶, prawidłowe obliczenia, prawidłowe<br>wyniki liczbowe (24° oraz 26°) oraz zapisanie wniosku, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest<br>równoramienny.<br>1 punkt<br>• poprawny sposób obliczenia miar dowolnych dwóch kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶<br>LUB<br>• ustalenie, np. zapisanie na rysunku miar dowolnych dwóch kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶,<br>LUB<br>• zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 będzie równoramienny, jeżeli |∢𝐵𝐶𝐴| = |∢𝐴𝐵𝐶| oraz że nie<br>będzie równoramienny jeżeli |∢𝐵𝐶𝐴| ≠|∢𝐴𝐵𝐶| (lub zapisy równoważne).<br>0 punktów<br>rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty<br>I sposób<br>Kąty 𝐸𝐶𝐵 i 𝐴𝐵𝐶 to kąty naprzemianległe, zatem:<br>|∢𝐴𝐵𝐶| = 26°<br>Odcinek 𝐶𝐷 jest prostopadły do prostej 𝑘, zatem:<br>|∢𝐵𝐶𝐴| = 90° -40° -26° = 24°<br>Suma miar kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 jest równa 180°, więc:<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>|∢𝐶𝐴𝐵| = 180° -24° -26° = 130°<br>W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 nie można wskazać pary kątów o tej samej mierze, więc trójkąt ten nie jest<br>równoramienny.<br>II sposób<br>Obliczymy miary kątów: 𝐶𝐴𝐷, 𝐶𝐴𝐵, 𝐵𝐶𝐴 oraz 𝐴𝐵𝐶.<br>Odcinek 𝐶𝐷 jest prostopadły do prostej 𝑙, zatem:<br>|∢𝐶𝐷𝐴| = 90°<br>Skorzystamy z sumy miar kątów w trójkącie 𝐷𝐴𝐶:<br>|∢𝐶𝐴𝐷| = 180° -90° -40° = 50°<br>Skorzystamy z własności kątów przyległych:<br>|∢𝐶𝐴𝐵| = 180° -50° = 130°<br>Odcinek 𝐶𝐷 jest prostopadły do prostej 𝑘, zatem:<br>|∢𝐵𝐶𝐴| = 90° -40° -26° = 24°<br>Skorzystamy z sumy miar kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶:<br>|∢𝐴𝐵𝐶| = 180° -130° -24° = 26°<br>|∢𝐵𝐶𝐴| ≠|∢𝐴𝐵𝐶|, zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest równoramienny.<br>III sposób<br>Trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest trójkątem rozwartokątnym, ponieważ |∢𝐶𝐴𝐵| = 130°, a zatem będzie on<br>równoramienny, jeżeli |∢𝐵𝐶𝐴| = |∢𝐴𝐵𝐶|.<br>Natomiast jeżeli |∢𝐵𝐶𝐴| ≠|∢𝐴𝐵𝐶| trójkąt ten nie będzie równoramienny.<br>Obliczymy miary |∢𝐵𝐶𝐴| oraz |∢𝐴𝐵𝐶|:<br>|∢𝐴𝐵𝐶| = 26° (kąt naprzemianległy do kąta 𝐸𝐶𝐵)<br>|∢𝐵𝐶𝐴| = 90° -40° -26° = 24°<br>24° ≠26°<br>|∢𝐵𝐶𝐴| ≠|∢𝐴𝐵𝐶|, zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest równoramienny.<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Ponieważ CD jest prostopadły do prostych równoległych k i l , kąt między CA i prostą l ma miarę:</p>\n<p>90^°-40^°=50^°</p>\n<p>Z równoległości prostych wynika, że kąt ABC ma 26^° . Kąt ACB jest różnicą kątów, które proste CA i CB tworzą z prostymi równoległymi:</p>\n<p>50^°-26^°=24^°</p>\n<p>Kąty trójkąta ABC mają więc miary 130^° , 26^° i 24^° . Żadne dwa nie są równe.</p>\n<p>Odpowiedź: Nie, trójkąt ABC nie jest równoramienny.</p>"}]}