{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/19","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"19","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 19. (0-3)","answer":"64 cm²","answer_text":"Zadanie 19. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n6) wykonuje proste obliczenia geometryczne,\nwykorzystując sumę kątów wewnętrznych\ntrójkąta i własności trójkątów\nrównoramiennych.\nIX. Wielokąty. Uczeń:\n2) stosuje wzory na pole trójkąta, prostokąta\n[…], trapezu […].\nIII. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną\ni wieloma zmiennymi. Uczeń:\n3) zapisuje zależności przedstawione\nw zadaniach w postaci wyrażeń\nalgebraicznych jednej lub kilku zmiennych.\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia pola trapezu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik\nliczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (64 cm2).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia długości podstaw 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz poprawny sposób obliczenia\ndługości boku 𝐶𝐷,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz poprawny sposób obliczenia\ndługości boku 𝐴𝐵,\nLUB\n• ustalenie długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 𝐴𝐷\noraz zapisanie, zgodnie z przyjętymi oznaczeniami i z uwzględnieniem poprawnych\nzależności między długościami podstaw, wzoru na pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷, np.\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm) oraz\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (3𝑥+ 𝑥)\n2\n⋅8, gdzie 3𝑥 oraz 𝑥 oznaczają długości podstaw 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷\nalbo\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 8 ⋅8\n2\n+ 𝑥⋅8, gdzie 𝑥 oznacza długość podstawy 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷,\nalbo\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 3𝑥⋅8 -8 ⋅8\n2\n, gdzie 3𝑥 oznacza długość podstawy 𝐴𝐵 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 punkt\n• ustalenie długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 𝐴𝐷,\nnp. zapisanie |𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm)\nLUB\n• zapisanie zgodnie z przyjętymi oznaczeniami wzoru na pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷\nz uwzględnieniem długości odcinka 𝐵𝐶, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|)\n2\n⋅8,\nLUB\n• zapisanie zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, że pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe sumie\npola trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 𝐴𝐷 i pola prostokąta o bokach 𝐶𝐵\ni 𝐶𝐷 z uwzględnieniem długości odcinka 𝐵𝐶, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= |𝐴𝐸| ⋅|𝐷𝐸|\n2\n+ |𝐶𝐷| ⋅8,\nLUB\n• zapisanie zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, że pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe różnicy\npola prostokąta o bokach 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 i pola trójkąta przystającego do trójkąta\nprostokątnego o przeciwprostokątnej 𝐴𝐷 z uwzględnieniem długości odcinka 𝐵𝐶, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= |𝐴𝐵| ⋅8 -\n|𝐴𝐸| ⋅|𝐷𝐸|\n2\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nNie ocenia się stosowania jednostki.\nPrzykładowe rozwiązanie ocenione na 3 punkty\nI sposób\nNarysujemy wysokość 𝐷𝐸 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nDzieli ona ten trapez na trójkąt 𝐴𝐸𝐷 oraz prostokąt 𝐸𝐵𝐶𝐷. Oznaczymy bok 𝐶𝐷 jako 𝑥.\nZauważymy, że:\n|𝐸𝐵| = |𝐶𝐷| = 𝑥\n|𝐴𝐵| = 3𝑥\nZatem\n|𝐴𝐸| = 2𝑥\nTrójkąt 𝐴𝐸𝐷 jest równoramienny, więc:\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm)\nObliczymy długość boku trapezu oznaczoną\nniewiadomą 𝑥:\n|𝐴𝐸| = 2𝑥= 8 (cm)\n2𝑥= 8\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n8 cm\n45°\n𝑥\n𝐸\n2𝑥\n𝑥\n8 cm\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.\n𝑥= 4 (cm)\nObliczymy długość boku 𝐴𝐵:\n|𝐴𝐵| = 8 + 4 = 12 (cm)\nZatem podstawy trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości:\n|𝐶𝐷| = 4 (cm)\n|𝐴𝐵| = 12 (cm)\nObliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (4 + 12)\n2\n⋅8 = 16\n2 ⋅8 = 64 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 64 cm2.\nII sposób\nZauważymy, że trójkąt 𝐴𝐸𝐷 jest równoramienny, zatem\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm)\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐷:\n𝑃𝐴𝐸𝐷= 8 ⋅8\n2\n= 32 (cm2)\nObliczymy długość boku 𝐴𝐵:\n|𝐸𝐵| = |𝐶𝐷| = 𝑥\n|𝐴𝐵| = 3𝑥 oraz |𝐴𝐵| = 8 + 𝑥\n3𝑥= 8 + 𝑥\n𝑥= 4\nObliczymy pole prostokąta 𝐸𝐵𝐶𝐷:\n𝑃 𝐸𝐵𝐶𝐷= 4 ⋅8 = 32 (cm2)\nObliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumę pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz pola prostokąta 𝐸𝐵𝐶𝐷:\n𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷= 32 + 32 = 64 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 64 cm2.\nIII sposób\nZauważymy, że\n|𝐴𝐸| = |𝐵𝐶| = 8 (cm)\noraz trójkąt 𝐴𝐷𝐸 jest równoramienny, zatem\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm)\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐷:\n𝑃𝐴𝐸𝐷= 8 ⋅8\n2\n= 32 (cm2)\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n8 cm\n45°\n𝑥\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n8 cm\n45°\n𝑥\n𝐸\n3𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczymy długość boku 𝐸𝐶:\n|𝐷𝐶| = 𝑥\n|𝐸𝐶| = 3𝑥 oraz |𝐸𝐶| = 8 + 𝑥\n3𝑥= 8 + 𝑥\n𝑥= 4\n|𝐸𝐶| = 8 + 4 = 12 (cm)\nObliczymy pole prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐸:\n𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐸= 12 ⋅8 = 96 (cm2)\nObliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako różnicę pola prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐸 i pola trójkąta 𝐴𝐷𝐸\n𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷= 96 -32 = 64 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 64 cm2.","solution":"Wysokość trapezu jest równa BC=8 cm. Ponieważ kąt DAB ma 45^° , pozioma różnica długości podstaw również wynosi 8 cm:\n\nAB-CD=8\n\nNiech CD=x . Wtedy AB=3x .\n\n3x-x=8\n\n2x=8, x=4\n\nZatem CD=4 cm, a AB=12 cm. Pole trapezu:\n\nP=((12+4)·8)/(2)=64 cm^2\n\nOdpowiedź: 64 cm^2 .","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-3)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Używanie prostych, dobrze znanych</li></ol>\n<p>obiektów matematycznych,<br>interpretowanie pojęć matematycznych<br>i operowanie obiektami matematycznymi.<br>KLASY VII i VIII<br>VIII. Własności figur geometrycznych na<br>płaszczyźnie. Uczeń:</p>\n<ol><li>wykonuje proste obliczenia geometryczne,</li></ol>\n<p>wykorzystując sumę kątów wewnętrznych<br>trójkąta i własności trójkątów<br>równoramiennych.<br>IX. Wielokąty. Uczeń:</p>\n<ol><li>stosuje wzory na pole trójkąta, prostokąta</li></ol>\n<p>[…], trapezu […].<br>III. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną<br>i wieloma zmiennymi. Uczeń:</p>\n<ol><li>zapisuje zależności przedstawione</li></ol>\n<p>w zadaniach w postaci wyrażeń<br>algebraicznych jednej lub kilku zmiennych.<br>Zasady oceniania<br>3 punkty - pełne rozwiązanie<br>poprawny sposób obliczenia pola trapezu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik<br>liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (64 cm2).<br>2 punkty<br>• poprawny sposób obliczenia długości podstaw 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷<br>LUB<br>• poprawny sposób obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz poprawny sposób obliczenia<br>długości boku 𝐶𝐷,<br>LUB<br>• poprawny sposób obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz poprawny sposób obliczenia<br>długości boku 𝐴𝐵,<br>LUB<br>• ustalenie długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 𝐴𝐷<br>oraz zapisanie, zgodnie z przyjętymi oznaczeniami i z uwzględnieniem poprawnych<br>zależności między długościami podstaw, wzoru na pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷, np.<br>|𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm) oraz<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (3𝑥+ 𝑥)<br>2<br>⋅8, gdzie 3𝑥 oraz 𝑥 oznaczają długości podstaw 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷<br>albo<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 8 ⋅8<br>2</p>\n<ul><li>𝑥⋅8, gdzie 𝑥 oznacza długość podstawy 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷,</li></ul>\n<p>albo<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 3𝑥⋅8 -8 ⋅8<br>2<br>, gdzie 3𝑥 oznacza długość podstawy 𝐴𝐵 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>1 punkt<br>• ustalenie długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 𝐴𝐷,<br>np. zapisanie |𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm)<br>LUB<br>• zapisanie zgodnie z przyjętymi oznaczeniami wzoru na pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷<br>z uwzględnieniem długości odcinka 𝐵𝐶, np.<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|)<br>2<br>⋅8,<br>LUB<br>• zapisanie zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, że pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe sumie<br>pola trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 𝐴𝐷 i pola prostokąta o bokach 𝐶𝐵<br>i 𝐶𝐷 z uwzględnieniem długości odcinka 𝐵𝐶, np.<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= |𝐴𝐸| ⋅|𝐷𝐸|<br>2</p>\n<ul><li>|𝐶𝐷| ⋅8,</li></ul>\n<p>LUB<br>• zapisanie zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, że pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe różnicy<br>pola prostokąta o bokach 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 i pola trójkąta przystającego do trójkąta<br>prostokątnego o przeciwprostokątnej 𝐴𝐷 z uwzględnieniem długości odcinka 𝐵𝐶, np.<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= |𝐴𝐵| ⋅8 -<br>|𝐴𝐸| ⋅|𝐷𝐸|<br>2<br>0 punktów<br>rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.<br>Uwaga<br>Nie ocenia się stosowania jednostki.<br>Przykładowe rozwiązanie ocenione na 3 punkty<br>I sposób<br>Narysujemy wysokość 𝐷𝐸 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.<br>Dzieli ona ten trapez na trójkąt 𝐴𝐸𝐷 oraz prostokąt 𝐸𝐵𝐶𝐷. Oznaczymy bok 𝐶𝐷 jako 𝑥.<br>Zauważymy, że:<br>|𝐸𝐵| = |𝐶𝐷| = 𝑥<br>|𝐴𝐵| = 3𝑥<br>Zatem<br>|𝐴𝐸| = 2𝑥<br>Trójkąt 𝐴𝐸𝐷 jest równoramienny, więc:<br>|𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm)<br>Obliczymy długość boku trapezu oznaczoną<br>niewiadomą 𝑥:<br>|𝐴𝐸| = 2𝑥= 8 (cm)<br>2𝑥= 8<br>𝐷<br>𝐶<br>𝐵<br>𝐴<br>8 cm<br>45°<br>𝑥<br>𝐸<br>2𝑥<br>𝑥<br>8 cm<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.<br>𝑥= 4 (cm)<br>Obliczymy długość boku 𝐴𝐵:<br>|𝐴𝐵| = 8 + 4 = 12 (cm)<br>Zatem podstawy trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości:<br>|𝐶𝐷| = 4 (cm)<br>|𝐴𝐵| = 12 (cm)<br>Obliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (4 + 12)<br>2<br>⋅8 = 16<br>2 ⋅8 = 64 (cm2)<br>Odpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 64 cm2.<br>II sposób<br>Zauważymy, że trójkąt 𝐴𝐸𝐷 jest równoramienny, zatem<br>|𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm)<br>Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐷:<br>𝑃𝐴𝐸𝐷= 8 ⋅8<br>2<br>= 32 (cm2)<br>Obliczymy długość boku 𝐴𝐵:<br>|𝐸𝐵| = |𝐶𝐷| = 𝑥<br>|𝐴𝐵| = 3𝑥 oraz |𝐴𝐵| = 8 + 𝑥<br>3𝑥= 8 + 𝑥<br>𝑥= 4<br>Obliczymy pole prostokąta 𝐸𝐵𝐶𝐷:<br>𝑃 𝐸𝐵𝐶𝐷= 4 ⋅8 = 32 (cm2)<br>Obliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumę pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz pola prostokąta 𝐸𝐵𝐶𝐷:<br>𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷= 32 + 32 = 64 (cm2)<br>Odpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 64 cm2.<br>III sposób<br>Zauważymy, że<br>|𝐴𝐸| = |𝐵𝐶| = 8 (cm)<br>oraz trójkąt 𝐴𝐷𝐸 jest równoramienny, zatem<br>|𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm)<br>Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐷:<br>𝑃𝐴𝐸𝐷= 8 ⋅8<br>2<br>= 32 (cm2)<br>𝐷<br>𝐶<br>𝐵<br>𝐴<br>8 cm<br>45°<br>𝑥<br>𝐸<br>𝐷<br>𝐶<br>𝐵<br>𝐴<br>8 cm<br>45°<br>𝑥<br>𝐸<br>3𝑥<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Obliczymy długość boku 𝐸𝐶:<br>|𝐷𝐶| = 𝑥<br>|𝐸𝐶| = 3𝑥 oraz |𝐸𝐶| = 8 + 𝑥<br>3𝑥= 8 + 𝑥<br>𝑥= 4<br>|𝐸𝐶| = 8 + 4 = 12 (cm)<br>Obliczymy pole prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐸:<br>𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐸= 12 ⋅8 = 96 (cm2)<br>Obliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako różnicę pola prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐸 i pola trójkąta 𝐴𝐷𝐸<br>𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷= 96 -32 = 64 (cm2)<br>Odpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 64 cm2.</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Wysokość trapezu jest równa BC=8 cm. Ponieważ kąt DAB ma 45^° , pozioma różnica długości podstaw również wynosi 8 cm:</p>\n<p>AB-CD=8</p>\n<p>Niech CD=x . Wtedy AB=3x .</p>\n<p>3x-x=8</p>\n<p>2x=8, x=4</p>\n<p>Zatem CD=4 cm, a AB=12 cm. Pole trapezu:</p>\n<p>P=((12+4)·8)/(2)=64 cm^2</p>\n<p>Odpowiedź: 64 cm^2 .</p>"}]}