{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-2)\nCzterowyrazowy ciąg (7, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4) jest arytmetyczny.\nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54.\nOblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.\n15.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nCzterowyrazowy ciąg (7,a_2,a_3,a_4) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54. Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.","answer":"a_2=(34)/(3)","answer_text":"Zadanie 15. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎2 = 34\n3\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.\n7 + 7 + 𝑟+ 7 + 2𝑟+ 7 + 3𝑟= 54\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2, np.\n3𝑎2 + 3(𝑎2 -7) = 47,\nALBO\n- obliczenie trzeciego wyrazu ciągu: 𝑎3 = 47\n3\n,\nALBO\n- obliczenie czwartego wyrazu ciągu: 𝑎4 = 20 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający wypisze wszystkie cztery wyrazy rozpatrywanego ciągu arytmetycznego\n(7, 34\n3 , 47\n3 , 20), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.\nStąd i ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie:\n7 + 7 + 𝑟+ 7 + 2𝑟+ 7 + 3𝑟= 54\n28 + 6𝑟= 54\n6𝑟= 26\n𝑟= 13\n3\nZatem:\n𝑎2 = 7 + 𝑟= 7 + 13\n3 = 34\n3\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nZ treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.\nZe wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n𝑎2 = 7 + 𝑟\nStąd:\n𝑟= 𝑎2 -7\nWtedy:\n𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟= 𝑎2 + 𝑎2 -7 = 2𝑎2 -7\n𝑎4 = 𝑎2 + 2𝑟= 𝑎2 + 2(𝑎2 -7) = 3𝑎2 -14\nPrzekształcamy równanie 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54 do równania z jedną niewiadomą 𝑎2:\n7 + 𝑎2 + (2𝑎2 -7) + (3𝑎2 -14) = 54\n6𝑎2 -14 = 54\n6𝑎2 = 68\n𝑎2 = 34\n3\nSposób III\nZ treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.\nZ własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n𝑎2 = 𝑎3 -𝑟\n𝑎4 = 𝑎3 + 𝑟\nPrzekształcamy równanie 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54 do równania z jedną niewiadomą 𝑎3:\n7 + (𝑎3 -𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) = 54\n7 + 3𝑎3 = 54\n3𝑎3 = 47\n𝑎3 = 47\n3\nKorzystamy z własności sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy 𝑎2:\n𝑎2 =\n7 + 47\n3\n2\n= 68\n3 ⋅1\n2 = 34\n3\nSposób IV\nZ treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.\nZe wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n7 + 𝑎4\n2\n⋅4 = 54\n7 + 𝑎4 = 27\n𝑎4 = 20\nZe wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟\n20 = 7 + 3𝑟\n𝑟= 13\n3\nZatem:\n𝑎2 = 7 + 𝑟= 7 + 13\n3 = 34\n3","solution":"Ciąg (7,a_2,a_3,a_4) jest arytmetyczny, więc oznaczmy jego różnicę przez r .\n\na_1=7\n\na_2=7+r, a_3=7+2r, a_4=7+3r\n\nSuma wszystkich wyrazów jest równa 54 :\n\n7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54\n\n28+6r=54\n\n6r=26\n\nr=(13)/(3)\n\nDrugi wyraz ciągu:\n\na_2=7+(13)/(3)\n\na_2=(21)/(3)+(13)/(3)=(34)/(3)\n\nOdpowiedź: a_2=(34)/(3)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-2)<br>Czterowyrazowy ciąg (7, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4) jest arytmetyczny.<br>Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54.<br>Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.<br>15.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Czterowyrazowy ciąg (7,a_2,a_3,a_4) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54. Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę<br>𝑛 początkowych wyrazów ciągu<br>arytmetycznego.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎2 = 34<br>3<br>1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.<br>7 + 7 + 𝑟+ 7 + 2𝑟+ 7 + 3𝑟= 54<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2, np.</li></ul>\n<p>3𝑎2 + 3(𝑎2 -7) = 47,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie trzeciego wyrazu ciągu: 𝑎3 = 47</li></ul>\n<p>3<br>,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie czwartego wyrazu ciągu: 𝑎4 = 20 .</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający wypisze wszystkie cztery wyrazy rozpatrywanego ciągu arytmetycznego<br>(7, 34<br>3 , 47<br>3 , 20), to otrzymuje 2 punkty.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Z treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.<br>Stąd i ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie:<br>7 + 7 + 𝑟+ 7 + 2𝑟+ 7 + 3𝑟= 54<br>28 + 6𝑟= 54<br>6𝑟= 26<br>𝑟= 13<br>3<br>Zatem:<br>𝑎2 = 7 + 𝑟= 7 + 13<br>3 = 34<br>3<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób II<br>Z treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.<br>Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:<br>𝑎2 = 7 + 𝑟<br>Stąd:<br>𝑟= 𝑎2 -7<br>Wtedy:<br>𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟= 𝑎2 + 𝑎2 -7 = 2𝑎2 -7<br>𝑎4 = 𝑎2 + 2𝑟= 𝑎2 + 2(𝑎2 -7) = 3𝑎2 -14<br>Przekształcamy równanie 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54 do równania z jedną niewiadomą 𝑎2:<br>7 + 𝑎2 + (2𝑎2 -7) + (3𝑎2 -14) = 54<br>6𝑎2 -14 = 54<br>6𝑎2 = 68<br>𝑎2 = 34<br>3<br>Sposób III<br>Z treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.<br>Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:<br>𝑎2 = 𝑎3 -𝑟<br>𝑎4 = 𝑎3 + 𝑟<br>Przekształcamy równanie 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54 do równania z jedną niewiadomą 𝑎3:<br>7 + (𝑎3 -𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) = 54<br>7 + 3𝑎3 = 54<br>3𝑎3 = 47<br>𝑎3 = 47<br>3<br>Korzystamy z własności sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy 𝑎2:<br>𝑎2 =<br>7 + 47<br>3<br>2<br>= 68<br>3 ⋅1<br>2 = 34<br>3<br>Sposób IV<br>Z treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.<br>Ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy:<br>7 + 𝑎4<br>2<br>⋅4 = 54<br>7 + 𝑎4 = 27<br>𝑎4 = 20<br>Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:<br>𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟<br>20 = 7 + 3𝑟<br>𝑟= 13<br>3<br>Zatem:<br>𝑎2 = 7 + 𝑟= 7 + 13<br>3 = 34<br>3</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Ciąg (7,a_2,a_3,a_4) jest arytmetyczny, więc oznaczmy jego różnicę przez r .</p>\n<p>a_1=7</p>\n<p>a_2=7+r, a_3=7+2r, a_4=7+3r</p>\n<p>Suma wszystkich wyrazów jest równa 54 :</p>\n<p>7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54</p>\n<p>28+6r=54</p>\n<p>6r=26</p>\n<p>r=(13)/(3)</p>\n<p>Drugi wyraz ciągu:</p>\n<p>a_2=7+(13)/(3)</p>\n<p>a_2=(21)/(3)+(13)/(3)=(34)/(3)</p>\n<p>Odpowiedź: a_2=(34)/(3)</p>"}]}