Zadanie 22. (0-3)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym
𝐷= (6, 19). Bok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 1
2 𝑥+ 9,
a bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 4𝑥-5. Punkt 𝐾= (10, 14) jest
środkiem odcinka 𝐴𝐵. Przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 przecinają się w punkcie 𝑆.
Oblicz współrzędne punktu 𝑺. Zapisz obliczenia.
22.
0-1-
2-3
MMAP-P0_100
\nMMAP-P0_100
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD, w którym D=(6,19). Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y=1/2x+9, a bok AD zawiera się w prostej o równaniu y=4x-5. Punkt K=(10,14) jest środkiem odcinka AB. Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S. Oblicz współrzędne punktu S.
Zadanie 22. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
IX.1) rozpoznaje wzajemne położenie
prostych na płaszczyźnie na podstawie ich
równań, w tym znajduje wspólny punkt
dwóch prostych, jeśli taki istnieje.
SP X. Oś liczbowa. Układ współrzędnych na
płaszczyźnie.
mają dane współrzędne (całkowite lub
wymierne) oraz znajduje współrzędne
drugiego końca odcinka, gdy dany jest
jeden koniec i środek.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑆= (11, 18).
2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (16, 17)
ALBO
ALBO
\nśrodka 𝑀𝐾𝐷 odcinka 𝐾𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (5, 15), 𝑀𝐾𝐷= (8, 33
2 ),
ALBO
2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ):
𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = [2, 8] (lub 1
2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = [1, 4]),
ALBO
𝑦= 4𝑥-26 (równanie prostej równoległej do 𝐴𝐷) oraz
𝑦= 1
2 𝑥+ 25
2 (równanie prostej równoległej do 𝐴𝐵),
ALBO
np.:
𝑥𝐵+ 6
2
= 𝑥𝑆 oraz
1
2 𝑥𝐵+ 9 + 19
2
= 4𝑥𝑆-26,
𝑥𝐵+ 6
2
= 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝐵+ 19
2
= 𝑦𝑆 oraz 𝑦𝐵= 1
2 𝑥𝐵+ 9 oraz 𝑦𝑆= 4𝑥𝑆-26.
1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (4, 11)
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań
2 ),
ALBO
𝑦= 4𝑥-26 (równanie prostej równoległej do 𝐴𝐷),
ALBO
𝑥𝐵 + 6
2
= 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝐵 + 19
2
= 𝑦𝑆 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐵
w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝐵 lub 𝑦𝐵), np. 𝐵= (𝑥𝐵, 1
2 𝑥𝐵+ 9).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
a) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,
b) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi
prostych równoległych,
c) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać
1 punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów
a)-c), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby
punktów.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań:
{ 𝑦= 1
2 𝑥+ 9
𝑦= 4𝑥-5
Stąd:
1
2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5
7
2 𝑥= 14
𝑥= 4
𝑦= 11
Zatem 𝐴= (4, 11).
Punkt 𝐾 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc:
4 + 𝑥𝐵
2
= 10 oraz 11 + 𝑦𝐵
2
= 14
𝑥𝐵= 16 oraz 𝑦𝐵= 17
Zatem 𝐵= (16, 17).
Punkt 𝑆= (𝑥𝑆, 𝑦𝑆) jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc:
𝑥𝑆= 16 + 6
2
= 11 oraz 17 + 19
2
= 18
Zatem 𝑆= (11, 18).
Sposób II
Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań:
{
𝑦= 1
2 𝑥+ 9
𝑦= 4𝑥-5
Stąd:
1
2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5
7
2 𝑥= 14
𝑥= 4
𝑦= 11
Zatem 𝐴= (4, 11).
Prosta 𝑆𝐾 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐾 jest
równy 4. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝐾:
𝑦= 4(𝑥-10) + 14
𝑦= 4𝑥-26
Oznaczmy przez 𝑀𝐴𝐷 środek odcinka 𝐴𝐷. Obliczmy współrzędne punktu 𝑀𝐴𝐷:
𝑀𝐴𝐷= (4 + 6
2
, 11 + 19
2
) = (5, 15)
Prosta 𝑆𝑀𝐴𝐷 jest równoległa do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐷
jest równy 1
2
. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐷:
𝑦= 1
2 (𝑥-5) + 15
𝑦= 1
2 𝑥+ 25
2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Punkt 𝑆 jest punktem wspólnym prostych 𝑆𝐾 i 𝑆𝑀𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań:
{
𝑦= 4𝑥-26
𝑦= 1
2 𝑥+ 25
2
Stąd:
4𝑥-26 = 1
2 𝑥+ 25
2
7
2 𝑥= 77
2
𝑥= 11
𝑦= 18
Zatem 𝑆= (11, 18).
Sposób III
Prosta 𝑆𝐾 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐾 jest
równy 4. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝐾:
𝑦= 4(𝑥-10) + 14
𝑦= 4𝑥-26
Punkt 𝑆 leży na prostej o równaniu 𝑦= 4𝑥-26, stąd 𝑦𝑆= 4𝑥𝑆-26.
Punkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 1
2 𝑥+ 9, stąd 𝑦𝐵= 1
2 𝑥𝐵+ 9.
Punkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc:
𝑥𝐵+ 𝑥𝐷
2
= 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝐵+ 𝑦𝐷
2
= 𝑦𝑆
Zatem:
𝑥𝐵+ 6
2
= 𝑥𝑆 oraz
1
2 𝑥𝐵+ 9 + 19
2
= 4𝑥𝑆-26
𝑥𝐵= 2𝑥𝑆-6 oraz 1
2 𝑥𝐵+ 28 = 8𝑥𝑆-52
Stąd otrzymujemy:
1
2 (2𝑥𝑆-6) + 28 = 8𝑥𝑆-52
𝑥𝑆-3 + 28 = 8𝑥𝑆-52
7𝑥𝑆= 77
𝑥𝑆= 11
Wtedy:
𝑦𝑆= 4𝑥𝑆-26 = 4 ⋅11 -26 = 18
Zatem 𝑆= (11, 18).
Sposób IV
Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań:
{ 𝑦= 1
2 𝑥+ 9
𝑦= 4𝑥-5
Stąd:
1
2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5
7
2 𝑥= 14
𝑥= 4
𝑦= 11
Zatem 𝐴= (4, 11).
Zauważmy, że 𝐾𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 1
2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . Obliczamy współrzędne wektorów 𝐾𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 1
2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ :
𝐾𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝑆-10, 𝑦𝑆-14]
1
2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 1
2 ⋅[6 -4, 19 -11] = 1
2 ⋅[2, 8] = [1, 4]
Stąd:
𝑥𝑆-10 = 1 oraz 𝑦𝑆-14 = 4
𝑥𝑆= 11 oraz 𝑦𝑆= 18
Zatem 𝑆= (11, 18).
Sposób V
Prosta 𝑆𝐾 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐾 jest
równy 4. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝐾:
𝑦= 4(𝑥-10) + 14
𝑦= 4𝑥-26
Oznaczmy przez 𝑀𝐾𝐷 środek odcinka 𝐾𝐷. Obliczmy współrzędne punktu 𝑀𝐾𝐷:
𝑀𝐾𝐷= (10 + 6
2
, 14 + 19
2
) = (8, 33
2 )
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Prosta 𝑆𝑀𝐾𝐷 jest równoległa do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐾𝐷
jest równy 1
2
. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐾𝐷:
𝑦= 1
2 (𝑥-8) + 33
2
𝑦= 1
2 𝑥+ 25
2
Punkt 𝑆 jest punktem wspólnym prostych 𝑆𝐾 i 𝑆𝑀𝐾𝐷, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań:
{
𝑦= 4𝑥-26
𝑦= 1
2 𝑥+ 25
2
Stąd:
4𝑥-26 = 1
2 𝑥+ 25
2
7
2 𝑥= 77
2
𝑥= 11
𝑦= 18
Zatem 𝑆= (11, 18).
Bok AB leży na prostej:
\ny=(1)/(2)x+9
\nBok AD leży na prostej:
\ny=4x-5
\nPunkt A jest punktem przecięcia tych prostych:
\n(1)/(2)x+9=4x-5
\n14=(7)/(2)x
\nx=4
\ny=(1)/(2)·4+9=11
\nA=(4,11)
\nPunkt K=(10,14) jest środkiem odcinka AB . Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:
\nK= ((x_A+x_B)/(2),(y_A+y_B)/(2) )
\n10=(4+x_B)/(2), 14=(11+y_B)/(2)
\nx_B=16, y_B=17
\nB=(16,17)
\nPrzekątne równoległoboku przecinają się w swoich środkach, więc punkt S jest środkiem odcinka BD .
\nD=(6,19), B=(16,17)
\nS= ((6+16)/(2),(19+17)/(2) )
\nS=(11,18)
\nRysunek pomocniczy przygotowany w GeoGebrze:
\nOdpowiedź: S=(11,18)
"}]}