{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-4)\nOdcinek 𝐴𝐷 jest wysokością walca, a odcinek 𝐴𝐵 jest średnicą podstawy walca.\nOdcinek 𝐵𝐷 ma długość 4√3. Miara kąta 𝐴𝐵𝐷 jest równa 30° (zobacz rysunek).\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n30°\n4ξ3\n27.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nOdcinek AD jest wysokością walca, a odcinek AB jest średnicą podstawy walca. Odcinek BD ma długość 4√3. Miara kąta ABD jest równa 30° (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.4) rozpoznaje w walcach […] kąt między\nodcinkami oraz kąt między odcinkami\ni płaszczyznami […];\nX.5) oblicza objętości i pola powierzchni […]\nwalca […] również z wykorzystaniem\ntrygonometrii.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑉= 18𝜋√3,\n𝑃𝑐= 18𝜋+ 12𝜋√3.\n3 pkt - obliczenie objętości walca: 𝑉= 18𝜋√3\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej walca: 𝑃𝑐= 18𝜋+ 12𝜋√3.\n2 pkt - zapisanie promienia podstawy walca (lub średnicy podstawy walca): 𝑟= 3\n(lub 2𝑟= 6) oraz zapisanie wysokości walca: 𝐻= 2√3\nALBO\n- obliczenie kwadratu promienia podstawy walca (lub kwadratu średnicy podstawy\nwalca): 𝑟2 = 9 (lub (2𝑟)2 = 36) oraz zapisanie wysokości walca: 𝐻= 2√3.\n1 pkt - zapisanie promienia podstawy walca (lub średnicy podstawy walca): 𝑟= 3\n(lub 2𝑟= 6)\nALBO\n- zapisanie wysokości walca: 𝐻= 2√3,\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟 oraz 𝐻, np.:\n𝐻= 𝑥 oraz 2𝑟= 𝑥√3 oraz 2𝑥= 4√3,\n𝐻\n4√3\n= sin 30° oraz 2𝑟\n4√3\n= cos 30° .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nc) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,\nd) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° (tzn. zapisanie,\nże średnica podstawy walca jest równa 2√3 i wysokość walca jest równa 6),\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola\npowierzchni całkowitej walca).\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-d), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑟 - promień podstawy walca,\n𝐻 - wysokość walca.\nZauważamy, że kąt 𝐷𝐴𝐵 jest prosty\noraz 𝑟> 0 i 𝐻> 0.\nW trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐷 mamy:\nsin 30° = |𝐴𝐷|\n|𝐵𝐷| = 𝐻\n4√3\nZatem:\n𝐻= 4√3 ⋅sin 30° = 4√3 ⋅1\n2 = 2√3\nPonadto:\ncos 30° =\n|𝐴𝐵|\n|𝐵𝐷| = 2𝑟\n4√3\n= 𝑟\n2√3\nStąd:\n𝑟= 2√3 ⋅cos 30° = 2√3 ⋅√3\n2 = 3\nObliczamy objętość 𝑉 walca:\n𝑉= 𝜋𝑟2𝐻= 𝜋⋅32 ⋅2√3 = 18𝜋√3\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 walca:\n𝑃𝑐= 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟𝐻= 2𝜋⋅32 + 2𝜋⋅3 ⋅2√3 = 18𝜋+ 12𝜋√3\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n30°\n4ξ3\n𝐻\n2𝑟","solution":"W przekroju otrzymujemy trójkąt prostokątny ABD , w którym:\n\nBD=4√(3)\n\n|∠ ABD|=30^°\n\nWysokość walca to odcinek AD . Leży on naprzeciw kąta 30^° , więc:\n\nAD=BD·sin30^°\n\nAD=4√(3)·(1)/(2)=2√(3)\n\nOdcinek AB jest średnicą podstawy walca:\n\nAB=BD·cos30^°\n\nAB=4√(3)·frac √(3) 2 =6\n\nPromień podstawy:\n\nr=(AB)/(2)=3\n\nObjętość walca:\n\nV=π r^2 h\n\nV=π·3^2·2√(3)=18√(3)π\n\nPole powierzchni całkowitej:\n\nP_c=2π r^2+2π rh\n\nP_c=2π·3^2+2π·3·2√(3)\n\nP_c=18π+12√(3)π\n\nP_c=(18+12√(3))π\n\nOdpowiedź: V=18√(3)π, P_c=(18+12√(3))π","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Bryły obrotowe, stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-4)<br>Odcinek 𝐴𝐷 jest wysokością walca, a odcinek 𝐴𝐵 jest średnicą podstawy walca.<br>Odcinek 𝐵𝐷 ma długość 4√3. Miara kąta 𝐴𝐵𝐷 jest równa 30° (zobacz rysunek).<br>Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.<br>𝐷<br>𝐵<br>𝐴<br>30°<br>4ξ3<br>27.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Odcinek AD jest wysokością walca, a odcinek AB jest średnicą podstawy walca. Odcinek BD ma długość 4√3. Miara kąta ABD jest równa 30° (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>X.4) rozpoznaje w walcach […] kąt między<br>odcinkami oraz kąt między odcinkami<br>i płaszczyznami […];<br>X.5) oblicza objętości i pola powierzchni […]<br>walca […] również z wykorzystaniem<br>trygonometrii.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑉= 18𝜋√3,<br>𝑃𝑐= 18𝜋+ 12𝜋√3.<br>3 pkt - obliczenie objętości walca: 𝑉= 18𝜋√3<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie pola powierzchni całkowitej walca: 𝑃𝑐= 18𝜋+ 12𝜋√3.</li></ul>\n<p>2 pkt - zapisanie promienia podstawy walca (lub średnicy podstawy walca): 𝑟= 3<br>(lub 2𝑟= 6) oraz zapisanie wysokości walca: 𝐻= 2√3<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie kwadratu promienia podstawy walca (lub kwadratu średnicy podstawy</li></ul>\n<p>walca): 𝑟2 = 9 (lub (2𝑟)2 = 36) oraz zapisanie wysokości walca: 𝐻= 2√3.<br>1 pkt - zapisanie promienia podstawy walca (lub średnicy podstawy walca): 𝑟= 3<br>(lub 2𝑟= 6)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wysokości walca: 𝐻= 2√3,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟 oraz 𝐻, np.:</li></ul>\n<p>𝐻= 𝑥 oraz 2𝑟= 𝑥√3 oraz 2𝑥= 4√3,<br>𝐻<br>4√3<br>= sin 30° oraz 2𝑟<br>4√3<br>= cos 30° .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:<br>a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,<br>b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,<br>c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,<br>d) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° (tzn. zapisanie,<br>że średnica podstawy walca jest równa 2√3 i wysokość walca jest równa 6),<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać<br>co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola<br>powierzchni całkowitej walca).<br>Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-d), to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:<br>𝑟 - promień podstawy walca,<br>𝐻 - wysokość walca.<br>Zauważamy, że kąt 𝐷𝐴𝐵 jest prosty<br>oraz 𝑟&gt; 0 i 𝐻&gt; 0.<br>W trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐷 mamy:<br>sin 30° = |𝐴𝐷|<br>|𝐵𝐷| = 𝐻<br>4√3<br>Zatem:<br>𝐻= 4√3 ⋅sin 30° = 4√3 ⋅1<br>2 = 2√3<br>Ponadto:<br>cos 30° =<br>|𝐴𝐵|<br>|𝐵𝐷| = 2𝑟<br>4√3<br>= 𝑟<br>2√3<br>Stąd:<br>𝑟= 2√3 ⋅cos 30° = 2√3 ⋅√3<br>2 = 3<br>Obliczamy objętość 𝑉 walca:<br>𝑉= 𝜋𝑟2𝐻= 𝜋⋅32 ⋅2√3 = 18𝜋√3<br>Obliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 walca:<br>𝑃𝑐= 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟𝐻= 2𝜋⋅32 + 2𝜋⋅3 ⋅2√3 = 18𝜋+ 12𝜋√3<br>𝐷<br>𝐵<br>𝐴<br>30°<br>4ξ3<br>𝐻<br>2𝑟</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>W przekroju otrzymujemy trójkąt prostokątny ABD , w którym:</p>\n<p>BD=4√(3)</p>\n<p>|∠ ABD|=30^°</p>\n<p>Wysokość walca to odcinek AD . Leży on naprzeciw kąta 30^° , więc:</p>\n<p>AD=BD·sin30^°</p>\n<p>AD=4√(3)·(1)/(2)=2√(3)</p>\n<p>Odcinek AB jest średnicą podstawy walca:</p>\n<p>AB=BD·cos30^°</p>\n<p>AB=4√(3)·frac √(3) 2 =6</p>\n<p>Promień podstawy:</p>\n<p>r=(AB)/(2)=3</p>\n<p>Objętość walca:</p>\n<p>V=π r^2 h</p>\n<p>V=π·3^2·2√(3)=18√(3)π</p>\n<p>Pole powierzchni całkowitej:</p>\n<p>P_c=2π r^2+2π rh</p>\n<p>P_c=2π·3^2+2π·3·2√(3)</p>\n<p>P_c=18π+12√(3)π</p>\n<p>P_c=(18+12√(3))π</p>\n<p>Odpowiedź: V=18√(3)π, P_c=(18+12√(3))π</p>"}]}