{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDany jest sześcioelementowy zbiór 𝐾= {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ze zbioru 𝐾 losujemy bez\nzwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że liczba wylosowana\nza pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb\nbędzie większy od 𝟏𝟔. Zapisz obliczenia.\n31.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nDany jest sześcioelementowy zbiór K={2,3,4,5,6,7}. Ze zbioru K losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od 16.","answer":"(7)/(30)","answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 7\n30 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅5\nALBO\n- sporządzenie tabeli o 36 polach, z których 6 jest wykreślonych a pozostałe 30\nodpowiada zdarzeniom elementarnym,\nALBO\n- sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego,\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 7, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n30 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 7\n30 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 7 lub 30 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający rozważa losowanie ze zwracaniem, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{2, 3, 4, 5, 6, 7} i 𝑥≠𝑦.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia:\n|Ω| = 6 ⋅5 = 30\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(4, 5), (4, 6), (4, 7), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 7), więc |𝐴| = 7.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7\n30\nSposób II\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{2, 3, 4, 5, 6, 7} i 𝑥≠𝑦.\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\nDruga wylosowana liczba\nPierwsza wylosowana liczba\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟓\n𝟔\n𝟕\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝟓\n𝟔\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝟕\nWszystkich zdarzeń elementarnych jest 30. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 7.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7\n30","solution":"Losujemy dwie liczby bez zwracania ze zbioru:\n\nK=\\ 2,3,4,5,6,7\\\n\nLiczba wszystkich możliwych wyników losowania, z uwzględnieniem kolejności:\n\n6·5=30\n\nPierwsza liczba ma być parzysta, więc może być równa 2 , 4 albo 6 .\n\nSprawdzamy przypadki, w których iloczyn obu liczb jest większy od 16 :\n\ndla 2 : brak możliwości\n\ndla 4 : druga liczba 5,6,7 , czyli 3 możliwości\n\ndla 6 : druga liczba 3,4,5,7 , czyli 4 możliwości\n\nLiczba wyników sprzyjających:\n\n3+4=7\n\nPrawdopodobieństwo:\n\nP(A)=(7)/(30)\n\nOdpowiedź: (7)/(30)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":30,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 31. (0-2)<br>Dany jest sześcioelementowy zbiór 𝐾= {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ze zbioru 𝐾 losujemy bez<br>zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.<br>Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że liczba wylosowana<br>za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb<br>będzie większy od 𝟏𝟔. Zapisz obliczenia.<br>31.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dany jest sześcioelementowy zbiór K={2,3,4,5,6,7}. Ze zbioru K losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od 16.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 31. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XII.1) oblicza prawdopodobieństwo<br>w modelu klasycznym.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 7<br>30 .<br>1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych<br>zdarzeń: |Ω| = 6 ⋅5<br>ALBO</p>\n<ul><li>sporządzenie tabeli o 36 polach, z których 6 jest wykreślonych a pozostałe 30</li></ul>\n<p>odpowiada zdarzeniom elementarnym,<br>ALBO</p>\n<ul><li>sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych</li></ul>\n<p>sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,<br>ALBO</p>\n<ul><li>podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:</li></ul>\n<p>|𝐴| = 7, o ile nie zostały zliczone błędne pary,<br>ALBO</p>\n<ul><li>sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie</li></ul>\n<p>sprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej<br>jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,<br>ALBO</p>\n<ul><li>podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1</li></ul>\n<p>30 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 7</li></ul>\n<p>30 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 7 lub 30 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych</li></ol>\n<p>liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozważa losowanie ze zwracaniem, to otrzymuje 0 punktów za całe</li></ol>\n<p>rozwiązanie.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie<br>𝑥, 𝑦∈{2, 3, 4, 5, 6, 7} i 𝑥≠𝑦.<br>Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia:<br>|Ω| = 6 ⋅5 = 30<br>Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:<br>(4, 5), (4, 6), (4, 7), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 7), więc |𝐴| = 7.<br>Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7<br>30<br>Sposób II<br>Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie<br>𝑥, 𝑦∈{2, 3, 4, 5, 6, 7} i 𝑥≠𝑦.<br>W tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.<br>Druga wylosowana liczba<br>Pierwsza wylosowana liczba<br>𝟐<br>𝟑<br>𝟒<br>𝟓<br>𝟔<br>𝟕<br>𝟐<br>𝟑<br>𝟒<br>𝒜<br>𝒜<br>𝒜<br>𝟓<br>𝟔<br>𝒜<br>𝒜<br>𝒜<br>𝒜<br>𝟕<br>Wszystkich zdarzeń elementarnych jest 30. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 7.<br>Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7<br>30</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Losujemy dwie liczby bez zwracania ze zbioru:</p>\n<p>K=\\ 2,3,4,5,6,7\\</p>\n<p>Liczba wszystkich możliwych wyników losowania, z uwzględnieniem kolejności:</p>\n<p>6·5=30</p>\n<p>Pierwsza liczba ma być parzysta, więc może być równa 2 , 4 albo 6 .</p>\n<p>Sprawdzamy przypadki, w których iloczyn obu liczb jest większy od 16 :</p>\n<p>dla 2 : brak możliwości</p>\n<p>dla 4 : druga liczba 5,6,7 , czyli 3 możliwości</p>\n<p>dla 6 : druga liczba 3,4,5,7 , czyli 4 możliwości</p>\n<p>Liczba wyników sprzyjających:</p>\n<p>3+4=7</p>\n<p>Prawdopodobieństwo:</p>\n<p>P(A)=(7)/(30)</p>\n<p>Odpowiedź: (7)/(30)</p>"}]}