{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-3)\nDany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 4.\nRozważamy wszystkie trójkąty 𝐷𝐸𝐹 spełniające jednocześnie następujące warunki:\npunkt 𝐸 leży na boku 𝐴𝐵 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷\npunkt 𝐹 leży na boku 𝐵𝐶 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷\n|𝐶𝐹| = 1\n2 ⋅|𝐸𝐵| = 𝑥, gdzie 𝑥∈(0, 2) (zobacz rysunek).\nNiech 𝑃(𝑥) oznacza pole trójkąta 𝐷𝐸𝐹 w zależności od długości 𝑥 odcinka 𝐶𝐹.\nWyznacz wzór funkcji 𝑷 zmiennej 𝒙, gdzie 𝒙∈(𝟎, 𝟐). Oblicz długość 𝒙 odcinka 𝑪𝑭,\ndla której pole trójkąta 𝑫𝑬𝑭 jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐸\n2𝑥\n𝐵\n𝐹\n𝑥\n𝐶\n𝐷\n4\n32.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nDany jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Rozważamy wszystkie trójkąty DEF spełniające jednocześnie następujące warunki: ⋅ punkt E leży na boku AB kwadratu ABCD • punkt F leży na boku BC kwadratu ABCD ⋅ |CF| = 1/2⋅|EB| = x, gdzie x∈(0,2) (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza pole trójkąta DEF w zależności od długości x odcinka CF. [rysunek] Wyznacz wzór funkcji P zmiennej x, gdzie x∈(0,2). Oblicz długość x odcinka CF, dla której pole trójkąta DEF jest najmniejsze.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki, np.\n𝑃(𝑥) = 𝑥2 -2𝑥+ 8 oraz 𝑥= 1 .\n2 pkt - wyznaczenie poprawnego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐸𝐹 w zależności od zmiennej 𝑥,\nnp. 𝑃(𝑥) = 16 -1\n2 ⋅2𝑥⋅(4 -𝑥) -1\n2 ⋅4 ⋅𝑥-1\n2 ⋅4 ⋅(4 -2𝑥) .\n1 pkt - zapisanie wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐸𝐹 w zależności od pól trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷,\n𝐷𝐴𝐸, np. 𝑃𝐷𝐸𝐹= 42 -𝑃𝐸𝐵𝐹-𝑃𝐹𝐶𝐷-𝑃𝐷𝐴𝐸\nALBO\n- zapisanie pól co najmniej dwóch spośród trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷, 𝐷𝐴𝐸 w zależności\nod zmiennej 𝑥, np.:\n𝑃𝐸𝐵𝐹= 1\n2 ⋅2𝑥⋅(4 -𝑥) oraz 𝑃𝐹𝐶𝐷= 1\n2 ⋅4 ⋅𝑥 ,\n𝑃𝐹𝐶𝐷= 1\n2 ⋅4 ⋅𝑥 oraz 𝑃𝐷𝐴𝐸= 1\n2 ⋅4 ⋅(4 -2𝑥) .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze jedynie, że szukaną wartością 𝑥 jest liczba 1, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie zapisze pola trójkąta 𝐷𝐸𝐹 jako funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥, a jedynie\nobliczy wartości pola dla wybranych długości odcinka 𝐶𝐹 i na tej podstawie wskaże\nnajmniejszą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył\nprawa do innej liczby punktów.\n3. Jeżeli zdający stosuje rachunek różniczkowy i nie uzasadni, że w punkcie będącym\nmiejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑃 jest najmniejsza wartość funkcji 𝑃, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nZa poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑃 jest najmniejsza wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada\nznak pochodnej (np. szkicuje wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna\nzmienia znak, i zaznacza na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej), oraz:\n- opisuje przedziały monotoniczności funkcji 𝑃 (słownie lub graficznie - np. przy użyciu\nstrzałek)\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma minimum\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nlokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma minimum\nlokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.\n4. Jeżeli zdający nie zapisze, że 1 należy do dziedziny funkcji 𝑃, to może otrzymać\n3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZ warunków zadania wynika, że\n|𝐴𝐷| = |𝐷𝐶| = 4\n|𝐶𝐹| = 𝑥\n|𝐸𝐵| = 2𝑥\n|𝐴𝐸| = 4 -2𝑥\n|𝐵𝐹| = 4 -𝑥\n(zobacz rysunek).\nWówczas pola trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷, 𝐷𝐴𝐸 w zależności od zmiennej 𝑥 są równe:\n𝑃𝐸𝐵𝐹= 1\n2 ⋅2𝑥⋅(4 -𝑥) = 4𝑥-𝑥2\n𝑃𝐹𝐶𝐷= 1\n2 ⋅4 ⋅𝑥= 2𝑥\n𝑃𝐷𝐴𝐸= 1\n2 ⋅4 ⋅(4 -2𝑥) = 8 -4𝑥\nPole 𝑃 trójkąta 𝐷𝐸𝐹 jest różnicą pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 i sumy pól trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷\noraz 𝐷𝐴𝐸. Zatem:\n𝑃(𝑥) = 42 -(4𝑥-𝑥2 + 2𝑥+ 8 -4𝑥)\n𝑃(𝑥) = 16 -(-𝑥2 + 2𝑥+ 8)\n𝑃(𝑥) = 𝑥2 -2𝑥+ 8\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do góry.\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli:\n𝑝= -(-2)\n2 ⋅1 = 1 ∈(0, 2)\n𝐴\n𝐸\n2𝑥\n𝐵\n𝐹\n𝑥\n𝐶\n𝐷\n4\n4\n4 -2𝑥\n4 -𝑥\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu 1.\nPole trójkąta 𝐷𝐸𝐹 jest najmniejsze, gdy |𝐶𝐹| = 1.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin dodatkowy 2026.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów wynikających ze zmiany znaku liczby należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych, lub zapisze zależności pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 5.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 do postaci 7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72.\nZadanie 8.\nUwaga:\nJeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 do postaci\nrównania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego\nrównania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może\notrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\nZadanie 12.1.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 12.2.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 15.\n1 pkt - zapisanie związku 𝑎2 = 7 + 𝑟\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎4, np. 7+𝑎4\n2\n⋅4 = 54.\nZadanie 20.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 22.\n1 pkt - zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝐴,\nnp. 1\n2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5.\nZadanie 27.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością walca\nlub promieniem podstawy walca), np.: 𝐻\n4√3 = sin 30°, 2𝑟\n4√3 =\n√3\n2 .\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 30 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 8) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 8\n30), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 32.\n1 pkt - zapisanie pola jednego spośród trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷, 𝐷𝐴𝐸 w zależności\nod zmiennej 𝑥, np. 𝑃𝐹𝐶𝐷= 1\n2 ⋅4 ⋅𝑥\nALBO\n- obliczenie pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz zapisanie długości odcinków 𝐴𝐸 i 𝐵𝐹\nw zależności od zmiennej 𝑥: 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 16 oraz |𝐴𝐸| = 4 -2𝑥 oraz |𝐵𝐹| = 4 -𝑥.","solution":"Kwadrat ABCD ma bok długości 4 , więc jego pole wynosi:\n\nP_ABCD=4^2=16\n\nTrójkąt DEF otrzymujemy z kwadratu po odjęciu trzech trójkątów prostokątnych położonych przy bokach kwadratu.\n\nZ treści zadania:\n\nCF=x, EB=2x\n\nDlatego:\n\nAE=AB-EB=4-2x\n\nBF=BC-CF=4-x\n\nObliczamy pola trzech trójkątów, które odejmujemy od pola kwadratu.\n\n1. Trójkąt ADE\n\nP_ADE=(1)/(2)·4·(4-2x)\n\nP_ADE=2(4-2x)=8-4x\n\n2. Trójkąt EBF\n\nP_EBF=(1)/(2)·2x·(4-x)\n\nP_EBF=x(4-x)=4x-x^2\n\n3. Trójkąt DCF\n\nP_DCF=(1)/(2)·4· x=2x\n\nPole trójkąta DEF jest równe polu kwadratu pomniejszonemu o pola tych trzech trójkątów:\n\nP(x)=16-(8-4x)-(4x-x^2)-2x\n\nUpraszczamy:\n\nP(x)=16-8+4x-4x+x^2-2x\n\nP(x)=x^2-2x+8\n\nZatem:\n\nP(x)=x^2-2x+8, x∈(0,2)\n\nJest to funkcja kwadratowa, której ramiona są skierowane do góry, więc najmniejsze pole otrzymamy dla argumentu będącego współrzędną x wierzchołka paraboli.\n\nDla funkcji:\n\nP(x)=x^2-2x+8\n\nmamy:\n\na=1, b=-2\n\nObliczamy:\n\nx_w=(-b)/(2a)\n\nx_w=(-(-2))/(2·1)=(2)/(2)=1\n\nPonieważ 1∈(0,2) , to dla x=1 pole trójkąta DEF jest najmniejsze.\n\nOdpowiedź: P(x)=x^2-2x+8 , a najmniejsze pole jest dla x=1 .","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":32,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 32. (0-3)<br>Dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 4.<br>Rozważamy wszystkie trójkąty 𝐷𝐸𝐹 spełniające jednocześnie następujące warunki:<br>punkt 𝐸 leży na boku 𝐴𝐵 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷<br>punkt 𝐹 leży na boku 𝐵𝐶 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷<br>|𝐶𝐹| = 1<br>2 ⋅|𝐸𝐵| = 𝑥, gdzie 𝑥∈(0, 2) (zobacz rysunek).<br>Niech 𝑃(𝑥) oznacza pole trójkąta 𝐷𝐸𝐹 w zależności od długości 𝑥 odcinka 𝐶𝐹.<br>Wyznacz wzór funkcji 𝑷 zmiennej 𝒙, gdzie 𝒙∈(𝟎, 𝟐). Oblicz długość 𝒙 odcinka 𝑪𝑭,<br>dla której pole trójkąta 𝑫𝑬𝑭 jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.<br>𝐴<br>𝐸<br>2𝑥<br>𝐵<br>𝐹<br>𝑥<br>𝐶<br>𝐷<br>4<br>32.<br>0-1-<br>2-3</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Rozważamy wszystkie trójkąty DEF spełniające jednocześnie następujące warunki: ⋅ punkt E leży na boku AB kwadratu ABCD • punkt F leży na boku BC kwadratu ABCD ⋅ |CF| = 1/2⋅|EB| = x, gdzie x∈(0,2) (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza pole trójkąta DEF w zależności od długości x odcinka CF. [rysunek] Wyznacz wzór funkcji P zmiennej x, gdzie x∈(0,2). Oblicz długość x odcinka CF, dla której pole trójkąta DEF jest najmniejsze.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 32. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne<br>w sytuacjach dających się opisać funkcją<br>kwadratową.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki, np.<br>𝑃(𝑥) = 𝑥2 -2𝑥+ 8 oraz 𝑥= 1 .<br>2 pkt - wyznaczenie poprawnego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐸𝐹 w zależności od zmiennej 𝑥,<br>np. 𝑃(𝑥) = 16 -1<br>2 ⋅2𝑥⋅(4 -𝑥) -1<br>2 ⋅4 ⋅𝑥-1<br>2 ⋅4 ⋅(4 -2𝑥) .<br>1 pkt - zapisanie wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐸𝐹 w zależności od pól trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷,<br>𝐷𝐴𝐸, np. 𝑃𝐷𝐸𝐹= 42 -𝑃𝐸𝐵𝐹-𝑃𝐹𝐶𝐷-𝑃𝐷𝐴𝐸<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie pól co najmniej dwóch spośród trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷, 𝐷𝐴𝐸 w zależności</li></ul>\n<p>od zmiennej 𝑥, np.:<br>𝑃𝐸𝐵𝐹= 1<br>2 ⋅2𝑥⋅(4 -𝑥) oraz 𝑃𝐹𝐶𝐷= 1<br>2 ⋅4 ⋅𝑥 ,<br>𝑃𝐹𝐶𝐷= 1<br>2 ⋅4 ⋅𝑥 oraz 𝑃𝐷𝐴𝐸= 1<br>2 ⋅4 ⋅(4 -2𝑥) .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze jedynie, że szukaną wartością 𝑥 jest liczba 1, to otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie zapisze pola trójkąta 𝐷𝐸𝐹 jako funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥, a jedynie</li></ol>\n<p>obliczy wartości pola dla wybranych długości odcinka 𝐶𝐹 i na tej podstawie wskaże<br>najmniejszą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył<br>prawa do innej liczby punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający stosuje rachunek różniczkowy i nie uzasadni, że w punkcie będącym</li></ol>\n<p>miejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑃 jest najmniejsza wartość funkcji 𝑃, to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.<br>Za poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej<br>funkcji 𝑃 jest najmniejsza wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada<br>znak pochodnej (np. szkicuje wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna<br>zmienia znak, i zaznacza na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej), oraz:</p>\n<ul><li>opisuje przedziały monotoniczności funkcji 𝑃 (słownie lub graficznie - np. przy użyciu</li></ul>\n<p>strzałek)<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma minimum</li></ul>\n<p>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość,<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma minimum</li></ul>\n<p>lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie zapisze, że 1 należy do dziedziny funkcji 𝑃, to może otrzymać</li></ol>\n<p>3 punkty za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Z warunków zadania wynika, że<br>|𝐴𝐷| = |𝐷𝐶| = 4<br>|𝐶𝐹| = 𝑥<br>|𝐸𝐵| = 2𝑥<br>|𝐴𝐸| = 4 -2𝑥<br>|𝐵𝐹| = 4 -𝑥<br>(zobacz rysunek).<br>Wówczas pola trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷, 𝐷𝐴𝐸 w zależności od zmiennej 𝑥 są równe:<br>𝑃𝐸𝐵𝐹= 1<br>2 ⋅2𝑥⋅(4 -𝑥) = 4𝑥-𝑥2<br>𝑃𝐹𝐶𝐷= 1<br>2 ⋅4 ⋅𝑥= 2𝑥<br>𝑃𝐷𝐴𝐸= 1<br>2 ⋅4 ⋅(4 -2𝑥) = 8 -4𝑥<br>Pole 𝑃 trójkąta 𝐷𝐸𝐹 jest różnicą pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 i sumy pól trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷<br>oraz 𝐷𝐴𝐸. Zatem:<br>𝑃(𝑥) = 42 -(4𝑥-𝑥2 + 2𝑥+ 8 -4𝑥)<br>𝑃(𝑥) = 16 -(-𝑥2 + 2𝑥+ 8)<br>𝑃(𝑥) = 𝑥2 -2𝑥+ 8<br>Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do góry.<br>Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli:<br>𝑝= -(-2)<br>2 ⋅1 = 1 ∈(0, 2)<br>𝐴<br>𝐸<br>2𝑥<br>𝐵<br>𝐹<br>𝑥<br>𝐶<br>𝐷<br>4<br>4<br>4 -2𝑥<br>4 -𝑥<br>Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu 1.<br>Pole trójkąta 𝐷𝐸𝐹 jest najmniejsze, gdy |𝐶𝐹| = 1.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej<br>dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze<br>stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom<br>podstawowy, termin dodatkowy 2026.<br>I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka<br>przestawienia położenia znaku liczby.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów wynikających ze zmiany znaku liczby należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę</li></ol>\n<p>rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej<br>1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub</li></ol>\n<p>zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne<br>rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt<br>za rozwiązanie zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej</li></ol>\n<p>zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji<br>kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych, lub zapisze zależności pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych<br>sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje<br>prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób<br>ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 5.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 do postaci 7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72.<br>Zadanie 8.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania 3𝑥 + 4<br>𝑥 - 1 = 𝑥 + 3<br>3𝑥 do postaci<br>równania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego<br>równania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może<br>otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Zadanie 12.1.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 12.2.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zadanie 15.<br>1 pkt - zapisanie związku 𝑎2 = 7 + 𝑟<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎4, np. 7+𝑎4</li></ul>\n<p>2<br>⋅4 = 54.<br>Zadanie 20.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 22.<br>1 pkt - zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝐴,<br>np. 1<br>2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5.<br>Zadanie 27.<br>1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie<br>o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością walca<br>lub promieniem podstawy walca), np.: 𝐻<br>4√3 = sin 30°, 2𝑟<br>4√3 =<br>√3<br>2 .<br>Zadanie 31.<br>1 pkt - zapisanie jedynie liczby 30 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.</li></ol>\n<p>ze standardowych zasad oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające</li></ol>\n<p>zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 8) i konsekwentnie zapisze<br>wynik (np. 8<br>30), to otrzymuje 2 punkty.<br>Zadanie 32.<br>1 pkt - zapisanie pola jednego spośród trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷, 𝐷𝐴𝐸 w zależności<br>od zmiennej 𝑥, np. 𝑃𝐹𝐶𝐷= 1<br>2 ⋅4 ⋅𝑥<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz zapisanie długości odcinków 𝐴𝐸 i 𝐵𝐹</li></ul>\n<p>w zależności od zmiennej 𝑥: 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 16 oraz |𝐴𝐸| = 4 -2𝑥 oraz |𝐵𝐹| = 4 -𝑥.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Kwadrat ABCD ma bok długości 4 , więc jego pole wynosi:</p>\n<p>P_ABCD=4^2=16</p>\n<p>Trójkąt DEF otrzymujemy z kwadratu po odjęciu trzech trójkątów prostokątnych położonych przy bokach kwadratu.</p>\n<p>Z treści zadania:</p>\n<p>CF=x, EB=2x</p>\n<p>Dlatego:</p>\n<p>AE=AB-EB=4-2x</p>\n<p>BF=BC-CF=4-x</p>\n<p>Obliczamy pola trzech trójkątów, które odejmujemy od pola kwadratu.</p>\n<ol><li>Trójkąt ADE</li></ol>\n<p>P_ADE=(1)/(2)·4·(4-2x)</p>\n<p>P_ADE=2(4-2x)=8-4x</p>\n<ol><li>Trójkąt EBF</li></ol>\n<p>P_EBF=(1)/(2)·2x·(4-x)</p>\n<p>P_EBF=x(4-x)=4x-x^2</p>\n<ol><li>Trójkąt DCF</li></ol>\n<p>P_DCF=(1)/(2)·4· x=2x</p>\n<p>Pole trójkąta DEF jest równe polu kwadratu pomniejszonemu o pola tych trzech trójkątów:</p>\n<p>P(x)=16-(8-4x)-(4x-x^2)-2x</p>\n<p>Upraszczamy:</p>\n<p>P(x)=16-8+4x-4x+x^2-2x</p>\n<p>P(x)=x^2-2x+8</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>P(x)=x^2-2x+8, x∈(0,2)</p>\n<p>Jest to funkcja kwadratowa, której ramiona są skierowane do góry, więc najmniejsze pole otrzymamy dla argumentu będącego współrzędną x wierzchołka paraboli.</p>\n<p>Dla funkcji:</p>\n<p>P(x)=x^2-2x+8</p>\n<p>mamy:</p>\n<p>a=1, b=-2</p>\n<p>Obliczamy:</p>\n<p>x_w=(-b)/(2a)</p>\n<p>x_w=(-(-2))/(2·1)=(2)/(2)=1</p>\n<p>Ponieważ 1∈(0,2) , to dla x=1 pole trójkąta DEF jest najmniejsze.</p>\n<p>Odpowiedź: P(x)=x^2-2x+8 , a najmniejsze pole jest dla x=1 .</p>"}]}