Zadanie 5. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒏≥𝟎 liczba 𝟕𝒏+ 𝟕𝒏+𝟏+ 𝟕𝒏+𝟐 jest podzielna
przez 𝟏𝟗.
5.
0-1-2
MMAP-P0_100
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n≥0 liczba 7^n + 7^{n+1} + 7^{n+2} jest podzielna przez 19.
Zadanie 5. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące
podzielności liczb całkowitych i reszt
z dzielenia […].
Zasady oceniania
2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
1 pkt - przekształcenie wyrażenia 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 do postaci 7𝑛⋅(1 + 7 + 72).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:
7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 = 7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy:
7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72 = 7𝑛⋅(1 + 7 + 72) = 7𝑛⋅57 = 19 ⋅3 ⋅7𝑛
Liczba 3 ⋅7𝑛 jest liczbą całkowitą dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0, zatem liczba
7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 jest podzielna przez 19 dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Wyłączamy wspólny czynnik 7^n :
\n7^n+7^n+1+7^n+2
7^n(1+7+7^2)
Obliczamy nawias:
\n1+7+49=57
\n57=3·19
\nCałe wyrażenie ma więc czynnik 19 .
\nLiczba jest podzielna przez 19 .
"}]}