{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-3)\nDane jest równanie\n3𝑥+ 4\n𝑥-1 = 𝑥+ 3\n3𝑥\n, gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1.\nWyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (-∞, -𝟐\n𝟑).\nZapisz obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nDane jest równanie 3x+4 / x-1 = x+3 / 3x, gdzie x≠0 i x≠1. Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (-∞,-2/3).","answer":"x=-(3)/(4)","answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.1) przekształca równania i nierówności\nw sposób równoważny, w tym np.\nprzekształca równoważnie równanie\n5\n𝑥 + 1 = 𝑥 + 3\n2𝑥-1;\nIII.4) rozwiązuje równania […] kwadratowe.\nI.6) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody tj. rozwiązanie równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 w zbiorze\nliczb rzeczywistych oraz wskazanie tego z rozwiązań równania, które należy do\nprzedziału (-∞, -2\n3): 𝑥= -3\n4\n2 pkt - rozwiązanie równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 w zbiorze liczb rzeczywistych:\n𝑥= -3\n4 oraz 𝑥= -1\n2\n1 pkt - przekształcenie równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 do równania kwadratowego, np.\n(3𝑥+ 4) ⋅3𝑥= (𝑥-1) ⋅(𝑥+ 3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania i otrzyma\nrównanie kwadratowe postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0, które ma co najmniej jedno rozwiązanie\nrzeczywiste i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie spełni kryterium za 1 punkt, a przy przekształcaniu równania popełnia\nbłędy i otrzyma równanie kwadratowe postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0, które nie ma rozwiązań\nrzeczywistych, albo otrzyma równanie, które nie jest kwadratowe, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje\nbłędną metodę - np. zapisze (3𝑥+ 4) ⋅(𝑥+ 3) = (𝑥-1) ⋅3𝑥, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że 0 ∉(-∞, -2\n3) oraz 1 ∉(-∞, -2\n3).\nPrzekształcamy równanie:\n3𝑥+ 4\n𝑥-1 = 𝑥+ 3\n3𝑥\n(3𝑥+ 4) ⋅3𝑥= (𝑥-1) ⋅(𝑥+ 3)\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:\n9𝑥2 + 12𝑥= 𝑥2 + 3𝑥-𝑥-3\n8𝑥2 + 10𝑥+ 3 = 0\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 8𝑥2 + 10𝑥+ 3:\nΔ = 102 -4 ⋅8 ⋅3 = 100 -96 = 4\nStąd:\n𝑥1 = -10 -√4\n2 ⋅8\n= -3\n4 ∈(-∞, -2\n3)\n𝑥2 = -10 + √4\n2 ⋅8\n= -1\n2 ∉(-∞, -2\n3)\nZatem jedynym rozwiązaniem równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 w zbiorze (-∞, -2\n3)\njest liczba (-3\n4).","solution":"Rozwiązujemy równanie:\n\n(3x+4)/(x-1)=(x+3)/(3x)\n\nMnożymy na krzyż:\n\n3x(3x+4)=(x+3)(x-1)\n\n9x^2+12x=x^2+2x-3\n\n8x^2+10x+3=0\n\nLiczymy deltę:\n\nΔ=10^2-4·8·3=100-96=4\n\n√(Δ)=2\n\nObliczamy rozwiązania:\n\nx_1=(-10-2)/(16)=-(12)/(16)=-(3)/(4)\n\nx_2=(-10+2)/(16)=-(8)/(16)=-(1)/(2)\n\nSzukamy rozwiązania z przedziału (-∞,-(2)/(3)) . Należy do niego tylko:\n\nx=-(3)/(4)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-3)<br>Dane jest równanie<br>3𝑥+ 4<br>𝑥-1 = 𝑥+ 3<br>3𝑥<br>, gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1.<br>Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (-∞, -𝟐<br>𝟑).<br>Zapisz obliczenia.<br>8.<br>0-1-<br>2-3</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dane jest równanie 3x+4 / x-1 = x+3 / 3x, gdzie x≠0 i x≠1. Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (-∞,-2/3).</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.1) przekształca równania i nierówności<br>w sposób równoważny, w tym np.<br>przekształca równoważnie równanie<br>5<br>𝑥 + 1 = 𝑥 + 3<br>2𝑥-1;<br>III.4) rozwiązuje równania […] kwadratowe.<br>I.6) posługuje się pojęciem przedziału<br>liczbowego […].<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody tj. rozwiązanie równania 3𝑥 + 4<br>𝑥 - 1 = 𝑥 + 3<br>3𝑥 w zbiorze<br>liczb rzeczywistych oraz wskazanie tego z rozwiązań równania, które należy do<br>przedziału (-∞, -2<br>3): 𝑥= -3<br>4<br>2 pkt - rozwiązanie równania 3𝑥 + 4<br>𝑥 - 1 = 𝑥 + 3<br>3𝑥 w zbiorze liczb rzeczywistych:<br>𝑥= -3<br>4 oraz 𝑥= -1<br>2<br>1 pkt - przekształcenie równania 3𝑥 + 4<br>𝑥 - 1 = 𝑥 + 3<br>3𝑥 do równania kwadratowego, np.<br>(3𝑥+ 4) ⋅3𝑥= (𝑥-1) ⋅(𝑥+ 3).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania i otrzyma</li></ol>\n<p>równanie kwadratowe postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0, które ma co najmniej jedno rozwiązanie<br>rzeczywiste i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie spełni kryterium za 1 punkt, a przy przekształcaniu równania popełnia</li></ol>\n<p>błędy i otrzyma równanie kwadratowe postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0, które nie ma rozwiązań<br>rzeczywistych, albo otrzyma równanie, które nie jest kwadratowe, to otrzymuje 0 punktów<br>za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje</li></ol>\n<p>błędną metodę - np. zapisze (3𝑥+ 4) ⋅(𝑥+ 3) = (𝑥-1) ⋅3𝑥, to otrzymuje 0 punktów<br>za całe rozwiązanie.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Zauważmy, że 0 ∉(-∞, -2</p>\n<ol><li>oraz 1 ∉(-∞, -2</li></ol>\n<p>3).<br>Przekształcamy równanie:<br>3𝑥+ 4<br>𝑥-1 = 𝑥+ 3<br>3𝑥<br>(3𝑥+ 4) ⋅3𝑥= (𝑥-1) ⋅(𝑥+ 3)<br>Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:<br>9𝑥2 + 12𝑥= 𝑥2 + 3𝑥-𝑥-3<br>8𝑥2 + 10𝑥+ 3 = 0<br>Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 8𝑥2 + 10𝑥+ 3:<br>Δ = 102 -4 ⋅8 ⋅3 = 100 -96 = 4<br>Stąd:<br>𝑥1 = -10 -√4<br>2 ⋅8<br>= -3<br>4 ∈(-∞, -2<br>3)<br>𝑥2 = -10 + √4<br>2 ⋅8<br>= -1<br>2 ∉(-∞, -2<br>3)<br>Zatem jedynym rozwiązaniem równania 3𝑥 + 4<br>𝑥 - 1 = 𝑥 + 3<br>3𝑥 w zbiorze (-∞, -2<br>3)<br>jest liczba (-3<br>4).</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Rozwiązujemy równanie:</p>\n<p>(3x+4)/(x-1)=(x+3)/(3x)</p>\n<p>Mnożymy na krzyż:</p>\n<p>3x(3x+4)=(x+3)(x-1)</p>\n<p>9x^2+12x=x^2+2x-3</p>\n<p>8x^2+10x+3=0</p>\n<p>Liczymy deltę:</p>\n<p>Δ=10^2-4·8·3=100-96=4</p>\n<p>√(Δ)=2</p>\n<p>Obliczamy rozwiązania:</p>\n<p>x_1=(-10-2)/(16)=-(12)/(16)=-(3)/(4)</p>\n<p>x_2=(-10+2)/(16)=-(8)/(16)=-(1)/(2)</p>\n<p>Szukamy rozwiązania z przedziału (-∞,-(2)/(3)) . Należy do niego tylko:</p>\n<p>x=-(3)/(4)</p>"}]}