{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nDane są liczby rzeczywiste 𝑎 oraz 𝑏:\n𝑎= 16\n1\n2 ⋅ log4 36-2⋅log4 3\n𝑏= log2 9 ⋅log3 5 ⋅log5 8\nOblicz wartość ilorazu 𝒂\n𝟐𝒃 . Wynik zapisz w postaci 𝟑𝒌, gdzie 𝒌∈ℤ. Zapisz\nobliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nDane są liczby rzeczywiste a oraz b: a = 16^{1/2⋅log_4 36 - 2⋅log_4 3} b = log_2 9 ⋅ log_3 5 ⋅ log_5 8. Oblicz wartość ilorazu a/2b. Wynik zapisz w postaci 3^k, gdzie k∈Z.","answer":"(3^-3)","answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nI. Sprawność rachunkowa.\nZdający:\nI.R) stosuje wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 3-3.\n1 pkt - poprawne zastosowanie wzorów na logarytm potęgi oraz na różnicę logarytmów\ni obliczenie 𝑎: 𝑎= 36\n81\nALBO\n- poprawne zastosowanie wzorów na zamianę podstawy logarytmu oraz na logarytm\npotęgi i obliczenie 𝑏: 𝑏= 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nStosujemy wzór na logarytm potęgi oraz wzór na różnicę logarytmów i obliczamy 𝑎:\n𝑎= 16\n1\n2 ⋅ log4 36-2⋅log4 3\n= (42)\n1\n2 ⋅ log4 36-2⋅log4 3\n= 4log4 36-4⋅log4 3 = 4log4(36\n81) = 36\n81\nStosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu oraz wzór na logarytm potęgi\ni obliczamy 𝑏:\n𝑏= log2 9 ⋅log3 5 ⋅log5 8 = log3 9\nlog3 2 ⋅log3 5 ⋅log3 8\nlog3 5 =\n2\nlog3 2 ⋅log3 8 =\n2\nlog3 2 ⋅3 log3 2 = 6\nObliczamy 𝑎\n2𝑏 :\n1Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎\n2𝑏= 36\n81 ∶12 = 3-3","solution":"Najpierw obliczamy liczbę (a). Korzystamy z własności logarytmów:\n\n(1)/(2)log_4 36=log_4√(36)=log_4 6, 2log_4 3=log_4 3^2=log_4 9.\n\nZatem\n\na=16^log_4 6-log_4 9=16^log_4(2)/(3).\n\nPonieważ (16=4^2), otrzymujemy\n\na=(4^2)^log_4(2)/(3)= (4^log_4(2)/(3) )^2= ((2)/(3) )^2=(4)/(9).\n\nObliczamy teraz (b), stosując wzór na zmianę podstawy logarytmu:\n\nb=log_2 9·log_3 5·log_5 8=2log_2 3·log_3 5·log_5 8.\n\nb=2·(1)/(log_3 2)·log_3 5·(log_3 8)/(log_3 5)=(2log_3 8)/(log_3 2)=2log_2 8=6.\n\nWobec tego\n\n(a)/(2b)=(frac49)/(2·6)=(4)/(108)=(1)/(27)=3^-3.\n\nOdpowiedź: (3^-3).","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 1. (0-2)<br>Dane są liczby rzeczywiste 𝑎 oraz 𝑏:<br>𝑎= 16<br>1<br>2 ⋅ log4 36-2⋅log4 3<br>𝑏= log2 9 ⋅log3 5 ⋅log5 8<br>Oblicz wartość ilorazu 𝒂<br>𝟐𝒃 . Wynik zapisz w postaci 𝟑𝒌, gdzie 𝒌∈ℤ. Zapisz<br>obliczenia.<br>1.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Dane są liczby rzeczywiste a oraz b: a = 16^{1/2⋅log_4 36 - 2⋅log_4 3} b = log_2 9 ⋅ log_3 5 ⋅ log_5 8. Oblicz wartość ilorazu a/2b. Wynik zapisz w postaci 3^k, gdzie k∈Z.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1. (0-2)<br>Wymagania określone w podstawie programowej1<br>Wymagania ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>I. Sprawność rachunkowa.<br>Zdający:<br>I.R) stosuje wzór na zamianę podstawy<br>logarytmu.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 3-3.<br>1 pkt - poprawne zastosowanie wzorów na logarytm potęgi oraz na różnicę logarytmów<br>i obliczenie 𝑎: 𝑎= 36<br>81<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne zastosowanie wzorów na zamianę podstawy logarytmu oraz na logarytm</li></ul>\n<p>potęgi i obliczenie 𝑏: 𝑏= 6.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Stosujemy wzór na logarytm potęgi oraz wzór na różnicę logarytmów i obliczamy 𝑎:<br>𝑎= 16<br>1<br>2 ⋅ log4 36-2⋅log4 3<br>= (42)<br>1<br>2 ⋅ log4 36-2⋅log4 3<br>= 4log4 36-4⋅log4 3 = 4log4(36</p>\n<ol><li>= 36</li></ol>\n<p>81<br>Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu oraz wzór na logarytm potęgi<br>i obliczamy 𝑏:<br>𝑏= log2 9 ⋅log3 5 ⋅log5 8 = log3 9<br>log3 2 ⋅log3 5 ⋅log3 8<br>log3 5 =<br>2<br>log3 2 ⋅log3 8 =<br>2<br>log3 2 ⋅3 log3 2 = 6<br>Obliczamy 𝑎<br>2𝑏 :<br>1Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy<br>programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia<br>(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>𝑎<br>2𝑏= 36<br>81 ∶12 = 3-3</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Najpierw obliczamy liczbę (a). Korzystamy z własności logarytmów:</p>\n<p>(1)/(2)log_4 36=log_4√(36)=log_4 6, 2log_4 3=log_4 3^2=log_4 9.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>a=16^log_4 6-log_4 9=16^log_4(2)/(3).</p>\n<p>Ponieważ (16=4^2), otrzymujemy</p>\n<p>a=(4^2)^log_4(2)/(3)= (4^log_4(2)/(3) )^2= ((2)/(3) )^2=(4)/(9).</p>\n<p>Obliczamy teraz (b), stosując wzór na zmianę podstawy logarytmu:</p>\n<p>b=log_2 9·log_3 5·log_5 8=2log_2 3·log_3 5·log_5 8.</p>\n<p>b=2·(1)/(log_3 2)·log_3 5·(log_3 8)/(log_3 5)=(2log_3 8)/(log_3 2)=2log_2 8=6.</p>\n<p>Wobec tego</p>\n<p>(a)/(2b)=(frac49)/(2·6)=(4)/(108)=(1)/(27)=3^-3.</p>\n<p>Odpowiedź: (3^-3).</p>"}]}