{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧𝒙+ 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝐜𝐨𝐬𝒙= 𝟏\n𝟐\nZapisz obliczenia.\n10.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie sin x + sin(2x) - cos x = 1/2. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 oraz 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘, oraz\n2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘, oraz -2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n3 pkt - rozwiązanie równania sin 𝑥= 1\n2 w zbiorze ℝ, np.\n𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 oraz 𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- rozwiązanie równania cos 𝑥= -1\n2 w zbiorze ℝ, np.\n𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘 oraz 𝑥= -2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy dwóch elementarnych równań\ntrygonometrycznych: sin 𝑥= 1\n2 lub cos 𝑥= -1\n2 .\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus podwojonego argumentu i zapisanie równania\nw postaci sin 𝑥+ 2 sin 𝑥cos 𝑥-cos 𝑥= 1\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie sin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1\n2 równoważnie, stosując wzór na\nsinus podwojonego argumentu:\nsin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1\n2\nsin 𝑥+ 2 sin 𝑥cos 𝑥-cos 𝑥-1\n2 = 0\nsin 𝑥(1 + 2 cos 𝑥) -1\n2 ⋅(2 cos 𝑥+ 1) = 0\n(sin 𝑥-1\n2) (2 cos 𝑥+ 1) = 0\nsin 𝑥= 1\n2 ∨ cos 𝑥= -1\n2\n𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.","solution":"Korzystamy ze wzoru (sin2x=2sin xcos x) i przenosimy wszystko na lewą stronę:\n\nsin x+2sin xcos x-cos x-(1)/(2)=0.\n\nGrupujemy wyrazy:\n\nsin x(1+2cos x)-(1)/(2)(1+2cos x)=0,\n\n(1+2cos x) (sin x-(1)/(2) )=0.\n\nPrzypadek 1. (1+2cos x=0), czyli (cos x=-(1)/(2)):\n\nx=(2π)/(3)+2kπ lub x=(4π)/(3)+2kπ.\n\nPrzypadek 2. (sin x=(1)/(2)):\n\nx=fracπ6+2kπ lub x=(5π)/(6)+2kπ.\n\nOdpowiedź: powyższe cztery rodziny rozwiązań, gdzie (k∈mathbb Z).","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Rozwiąż równanie
𝐬𝐢𝐧𝒙+ 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝐜𝐨𝐬𝒙= 𝟏
𝟐
Zapisz obliczenia.
10.
0-1-
2-3-4

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Rozwiąż równanie sin x + sin(2x) - cos x = 1/2. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VII.R6) rozwiązuje równania
trygonometryczne.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋
6 + 2𝜋𝑘 oraz 5𝜋
6 + 2𝜋𝑘, oraz
2𝜋
3 + 2𝜋𝑘, oraz -2𝜋
3 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.
3 pkt - rozwiązanie równania sin 𝑥= 1
2 w zbiorze ℝ, np.
𝑥= 𝜋
6 + 2𝜋𝑘 oraz 𝑥= 5𝜋
6 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ
ALBO

\n\n

2 w zbiorze ℝ, np.
𝑥= 2𝜋
3 + 2𝜋𝑘 oraz 𝑥= -2𝜋
3 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.
2 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy dwóch elementarnych równań
trygonometrycznych: sin 𝑥= 1
2 lub cos 𝑥= -1
2 .
1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus podwojonego argumentu i zapisanie równania
w postaci sin 𝑥+ 2 sin 𝑥cos 𝑥-cos 𝑥= 1
2 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przekształcamy równanie sin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1
2 równoważnie, stosując wzór na
sinus podwojonego argumentu:
sin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1
2
sin 𝑥+ 2 sin 𝑥cos 𝑥-cos 𝑥-1
2 = 0
sin 𝑥(1 + 2 cos 𝑥) -1
2 ⋅(2 cos 𝑥+ 1) = 0
(sin 𝑥-1

\n
  1. (2 cos 𝑥+ 1) = 0
\n

sin 𝑥= 1
2 ∨ cos 𝑥= -1
2
𝑥= 𝜋
6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5𝜋
6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 2𝜋
3 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -2𝜋
3 + 2𝜋𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Korzystamy ze wzoru (sin2x=2sin xcos x) i przenosimy wszystko na lewą stronę:

\n

sin x+2sin xcos x-cos x-(1)/(2)=0.

\n

Grupujemy wyrazy:

\n

sin x(1+2cos x)-(1)/(2)(1+2cos x)=0,

\n

(1+2cos x) (sin x-(1)/(2) )=0.

\n

Przypadek 1. (1+2cos x=0), czyli (cos x=-(1)/(2)):

\n

x=(2π)/(3)+2kπ lub x=(4π)/(3)+2kπ.

\n

Przypadek 2. (sin x=(1)/(2)):

\n

x=fracπ6+2kπ lub x=(5π)/(6)+2kπ.

\n

Odpowiedź: powyższe cztery rodziny rozwiązań, gdzie (k∈mathbb Z).

"}]}