{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nOstrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma objętość równą 36√3.\nTen ostrosłup przecięto płaszczyzną 𝛾, która:\njest prostopadła do ściany bocznej 𝐶𝐷𝑆 ostrosłupa\nprzechodzi przez środek 𝐾 krawędzi 𝐴𝐷 oraz środek 𝐿 krawędzi 𝐵𝐶\nprzecina krawędź boczną 𝐶𝑆 w punkcie 𝑀 oraz krawędź boczną 𝐷𝑆 w punkcie 𝑁\ntworzy z płaszczyzną podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 kąt o mierze 30°.\nPrzekrój 𝐾𝐿𝑀𝑁 wyznaczony przez płaszczyznę 𝛾 jest trapezem równoramiennym.\nOblicz pole trapezu 𝑲𝑳𝑴𝑵. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑆\n𝑀\n𝑁\n12.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nOstrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD ma objętość równą 36√3. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną γ, która: •jest prostopadła do ściany bocznej CDS ostrosłupa •przechodzi przez środek K krawędzi AD oraz środek L krawędzi BC •przecina krawędź boczną CS w punkcie M oraz krawędź boczną DS w punkcie N •tworzy z płaszczyzną podstawy ABCD kąt o mierze 30°. [rysunek] Przekrój KLMN wyznaczony przez płaszczyznę γ jest trapezem równoramiennym. Oblicz pole trapezu KLMN.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta\ndwuściennego między półpłaszczyznami.\nX.R2) wyznacza przekroje sześcianu\ni ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich\npola, także z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPierwszy etap polega na obliczeniu długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne\nwykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 6.\n1 pkt - wyznaczenie wysokości ostrosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy:\n𝐻= 𝑎√3\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości\ntrapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne wykonanie\ntego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n2 pkt - wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu\nw zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: |𝑀𝑁| = 3\n4 𝑎 oraz\n|𝑃𝑅| = 𝑎√3\n4\nALBO\n- obliczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu: |𝑀𝑁| = 18\n4\noraz |𝑃𝑅| = 6√3\n4 .\n1 pkt - wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu w zależności\nod długości krawędzi podstawy ostrosłupa: |𝑀𝑁| = 3\n4 𝑎 lub |𝑃𝑅| = 𝑎√3\n4\nALBO\n- obliczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu: |𝑀𝑁| = 18\n4\nlub |𝑃𝑅| = 6√3\n4 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na obliczeniu pola trapezu.\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - obliczenie pola przekroju ostrosłupa: 63√3\n8\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑃 - środek odcinka 𝐾𝐿,\n𝑄 - środek krawędzi 𝐶𝐷,\n𝑅 - środek odcinka 𝑀𝑁,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 (zobacz rysunki).\nWówczas |𝑃𝑄| = 1\n2 𝑎.\nTrójkąty 𝑃𝑄𝑅 i 𝑃𝑄𝑆 są prostokątne i mają kąty ostre o miarach 30° i 60°. Zatem\nkorzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30° i 60° (lub z funkcji\ntrygonometrycznych), otrzymujemy: |𝑄𝑅| = 1\n4 𝑎, |𝑃𝑅| = 𝑎√3\n4 , |𝑄𝑆| = 𝑎, 𝐻= |𝑃𝑆| = 𝑎√3\n2\noraz |𝑅𝑆| = 3\n4 𝑎.\nPonieważ objętość ostrosłupa jest równa 36√3, więc:\n1\n3 ⋅𝑎2 ⋅𝑎√3\n2\n= 36√3\n𝑎= 6\nTrójkąty 𝐷𝐶𝑆 i 𝑁𝑀𝑆 są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt, więc stąd:\n|𝑁𝑀|\n|𝐷𝐶| = |𝑅𝑆|\n|𝑄𝑆|\n|𝑁𝑀|\n𝑎\n3\n4 𝑎\n𝑎\n|𝑁𝑀| = 9\n2\nObliczamy pole 𝑃𝐾𝐿𝑀𝑁 przekroju 𝐾𝐿𝑀𝑁:\n𝑃𝐾𝐿𝑀𝑁= 1\n2 ⋅(6 + 9\n2) ⋅6√3\n4\n= 63√3\n8\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑆\n𝑀\n𝑁\n𝑃\n𝑅\n𝑄\n30°\n1\n2 𝑎\n𝑃\n𝐻\n𝑄\n𝑆\n𝑅\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Oznaczmy długość boku kwadratowej podstawy przez (a), a wysokość ostrosłupa przez (H). Ponieważ płaszczyzna przekroju jest prostopadła do ściany (CDS) i tworzy z podstawą kąt 30°, w odpowiednim przekroju osiowym otrzymujemy\n\ntan30^°=(frac a2)/(H).\n\nStąd\n\n(1)/(√(3))=(a)/(2H), H=(a√(3))/(2).\n\nKorzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa:\n\n(1)/(3)a^2H=36√(3).\n\nPodstawiamy (H=(a√(3))/(2)):\n\n(1)/(3)a^2·(a√(3))/(2)=36√(3),\n\n(a^3√(3))/(6)=36√(3), a^3=216, a=6.\n\nW ścianie (CDS) odcinek (MN) jest równoległy do (CD). Z podobieństwa odpowiednich trójkątów wynika, że\n\n|MN|=(3)/(4)a=(9)/(2).\n\nDruga podstawa trapezu łączy środki boków (AD) i (BC), zatem\n\n|KL|=a=6.\n\nRzut wysokości trapezu na podstawę ostrosłupa ma długość (3)/(8)a=(9)/(4) . Ponieważ płaszczyzna przekroju jest nachylona do podstawy pod kątem 30°, mamy\n\nhcos30^°=(9)/(4),\n\nh=frac (9)/(4) (√(3))/(2) =(3√(3))/(2).\n\nPole trapezu:\n\nP=(|KL|+|MN|)/(2)· h=(6+frac92)/(2)·(3√(3))/(2)=(63√(3))/(8).\n\nOdpowiedź: (63√(3))/(8) .","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-5)<br>Ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma objętość równą 36√3.<br>Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną 𝛾, która:<br>jest prostopadła do ściany bocznej 𝐶𝐷𝑆 ostrosłupa<br>przechodzi przez środek 𝐾 krawędzi 𝐴𝐷 oraz środek 𝐿 krawędzi 𝐵𝐶<br>przecina krawędź boczną 𝐶𝑆 w punkcie 𝑀 oraz krawędź boczną 𝐷𝑆 w punkcie 𝑁<br>tworzy z płaszczyzną podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 kąt o mierze 30°.<br>Przekrój 𝐾𝐿𝑀𝑁 wyznaczony przez płaszczyznę 𝛾 jest trapezem równoramiennym.<br>Oblicz pole trapezu 𝑲𝑳𝑴𝑵. Zapisz obliczenia.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐾<br>𝐿<br>𝑆<br>𝑀<br>𝑁<br>12.<br>0-1-<br>2-3-<br>4-5</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD ma objętość równą 36√3. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną γ, która: •jest prostopadła do ściany bocznej CDS ostrosłupa •przechodzi przez środek K krawędzi AD oraz środek L krawędzi BC •przecina krawędź boczną CS w punkcie M oraz krawędź boczną DS w punkcie N •tworzy z płaszczyzną podstawy ABCD kąt o mierze 30°. [rysunek] Przekrój KLMN wyznaczony przez płaszczyznę γ jest trapezem równoramiennym. Oblicz pole trapezu KLMN.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-5)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>X.2) posługuje się pojęciem kąta między<br>prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta<br>dwuściennego między półpłaszczyznami.<br>X.R2) wyznacza przekroje sześcianu<br>i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich<br>pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.<br>Zasady oceniania<br>Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Pierwszy etap polega na obliczeniu długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne<br>wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.<br>Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania:<br>2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 6.<br>1 pkt - wyznaczenie wysokości ostrosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy:<br>𝐻= 𝑎√3<br>2 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Drugi etap polega na wyznaczeniu długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości<br>trapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne wykonanie<br>tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.<br>Podział punktów za drugi etap rozwiązania:<br>2 pkt - wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu<br>w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: |𝑀𝑁| = 3<br>4 𝑎 oraz<br>|𝑃𝑅| = 𝑎√3<br>4<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu: |𝑀𝑁| = 18</li></ul>\n<p>4<br>oraz |𝑃𝑅| = 6√3<br>4 .<br>1 pkt - wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu w zależności<br>od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: |𝑀𝑁| = 3<br>4 𝑎 lub |𝑃𝑅| = 𝑎√3<br>4<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu: |𝑀𝑁| = 18</li></ul>\n<p>4<br>lub |𝑃𝑅| = 6√3<br>4 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Trzeci etap polega na obliczeniu pola trapezu.<br>Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.<br>1 pkt - obliczenie pola przekroju ostrosłupa: 63√3<br>8<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia:<br>𝑃 - środek odcinka 𝐾𝐿,<br>𝑄 - środek krawędzi 𝐶𝐷,<br>𝑅 - środek odcinka 𝑀𝑁,<br>𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆,<br>𝐻 - wysokość ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 (zobacz rysunki).<br>Wówczas |𝑃𝑄| = 1<br>2 𝑎.<br>Trójkąty 𝑃𝑄𝑅 i 𝑃𝑄𝑆 są prostokątne i mają kąty ostre o miarach 30° i 60°. Zatem<br>korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30° i 60° (lub z funkcji<br>trygonometrycznych), otrzymujemy: |𝑄𝑅| = 1<br>4 𝑎, |𝑃𝑅| = 𝑎√3<br>4 , |𝑄𝑆| = 𝑎, 𝐻= |𝑃𝑆| = 𝑎√3<br>2<br>oraz |𝑅𝑆| = 3<br>4 𝑎.<br>Ponieważ objętość ostrosłupa jest równa 36√3, więc:<br>1<br>3 ⋅𝑎2 ⋅𝑎√3<br>2<br>= 36√3<br>𝑎= 6<br>Trójkąty 𝐷𝐶𝑆 i 𝑁𝑀𝑆 są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt, więc stąd:<br>|𝑁𝑀|<br>|𝐷𝐶| = |𝑅𝑆|<br>|𝑄𝑆|<br>|𝑁𝑀|<br>𝑎<br>3<br>4 𝑎<br>𝑎<br>|𝑁𝑀| = 9<br>2<br>Obliczamy pole 𝑃𝐾𝐿𝑀𝑁 przekroju 𝐾𝐿𝑀𝑁:<br>𝑃𝐾𝐿𝑀𝑁= 1<br>2 ⋅(6 + 9</p>\n<ol><li>⋅6√3</li></ol>\n<p>4<br>= 63√3<br>8<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐾<br>𝐿<br>𝑆<br>𝑀<br>𝑁<br>𝑃<br>𝑅<br>𝑄<br>30°<br>1<br>2 𝑎<br>𝑃<br>𝐻<br>𝑄<br>𝑆<br>𝑅<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Oznaczmy długość boku kwadratowej podstawy przez (a), a wysokość ostrosłupa przez (H). Ponieważ płaszczyzna przekroju jest prostopadła do ściany (CDS) i tworzy z podstawą kąt 30°, w odpowiednim przekroju osiowym otrzymujemy</p>\n<p>tan30^°=(frac a2)/(H).</p>\n<p>Stąd</p>\n<p>(1)/(√(3))=(a)/(2H), H=(a√(3))/(2).</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa:</p>\n<p>(1)/(3)a^2H=36√(3).</p>\n<p>Podstawiamy (H=(a√(3))/(2)):</p>\n<p>(1)/(3)a^2·(a√(3))/(2)=36√(3),</p>\n<p>(a^3√(3))/(6)=36√(3), a^3=216, a=6.</p>\n<p>W ścianie (CDS) odcinek (MN) jest równoległy do (CD). Z podobieństwa odpowiednich trójkątów wynika, że</p>\n<p>|MN|=(3)/(4)a=(9)/(2).</p>\n<p>Druga podstawa trapezu łączy środki boków (AD) i (BC), zatem</p>\n<p>|KL|=a=6.</p>\n<p>Rzut wysokości trapezu na podstawę ostrosłupa ma długość (3)/(8)a=(9)/(4) . Ponieważ płaszczyzna przekroju jest nachylona do podstawy pod kątem 30°, mamy</p>\n<p>hcos30^°=(9)/(4),</p>\n<p>h=frac (9)/(4) (√(3))/(2) =(3√(3))/(2).</p>\n<p>Pole trapezu:</p>\n<p>P=(|KL|+|MN|)/(2)· h=(6+frac92)/(2)·(3√(3))/(2)=(63√(3))/(8).</p>\n<p>Odpowiedź: (63√(3))/(8) .</p>"}]}