{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWykaż, że pole 𝑷 trójkąta 𝑨𝑩𝑪 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝒂\nprostej 𝑨𝑩 jest określone wzorem\n𝑷(𝒂) = -𝒂𝟐+ 𝟒𝒂-𝟒\n𝟐𝒂\n13.1\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nIX.1) […] znajduje punkt wspólny dwóch\nprostych […];\nIX.2) posługuje się równaniami prostych na\npłaszczyźnie […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie pierwszej współrzędnej 𝑥𝐴 punktu 𝐴 oraz drugiej współrzędnej 𝑦𝐵\npunktu 𝐵 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎 prostej 𝐴𝐵: 𝑥𝐴= 𝑎 - 2\n𝑎\noraz 𝑦𝐵= 2 -𝑎.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nProsta 𝐴𝐵 przechodzi przez punkty 𝐵 oraz 𝐾= (1, 2) o różnych pierwszych\nwspółrzędnych, więc równanie tej prostej można zapisać w postaci kierunkowej\n𝑦= 𝑎(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= 𝑎𝑥+ (2 -𝑎).\nPonieważ punkt 𝐵 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑦, więc 𝐵= (0, 2 -𝑎) i 2 -𝑎> 0, czyli\n𝑎< 2.\nPonieważ punkt 𝐴 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑥, więc 𝐴= (𝑎 - 2\n𝑎\n, 0) oraz 𝑎 - 2\n𝑎\n> 0.\nWyznaczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= 1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐶| = 1\n2 ⋅|𝑎-2\n𝑎\n| ⋅|2 -𝑎| = 1\n2 ⋅𝑎 - 2\n𝑎\n⋅(2 -𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4\n2𝑎\nTo należało wykazać.","solution":"Prosta (AB) przechodzi przez punkt (K=(1,2)) i ma współczynnik kierunkowy (a), więc\n\ny=a(x-1)+2=ax-a+2.\n\nPunkt (A) leży na dodatniej półosi (Ox). Dla (y=0):\n\n0=ax-a+2, x_A=(a-2)/(a).\n\nPunkt (B) leży na dodatniej półosi (Oy). Dla (x=0):\n\ny_B=2-a.\n\nAby oba przecięcia leżały na dodatnich półosiach, musi być (a<0). Pole trójkąta prostokątnego (ABC) jest równe\n\nP=(1)/(2)|AC|·|BC|=(1)/(2)·(a-2)/(a)·(2-a).\n\nUpraszczamy:\n\nP(a)=((a-2)(2-a))/(2a)=(-(a-2)^2)/(2a)=(-a^2+4a-4)/(2a).\n\nTeza została wykazana.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13.1. (0-2)<br>Wykaż, że pole 𝑷 trójkąta 𝑨𝑩𝑪 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝒂<br>prostej 𝑨𝑩 jest określone wzorem<br>𝑷(𝒂) = -𝒂𝟐+ 𝟒𝒂-𝟒<br>𝟐𝒂<br>13.1<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13.1. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>IX.1) […] znajduje punkt wspólny dwóch<br>prostych […];<br>IX.2) posługuje się równaniami prostych na<br>płaszczyźnie […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>1 pkt - wyznaczenie pierwszej współrzędnej 𝑥𝐴 punktu 𝐴 oraz drugiej współrzędnej 𝑦𝐵<br>punktu 𝐵 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎 prostej 𝐴𝐵: 𝑥𝐴= 𝑎 - 2<br>𝑎<br>oraz 𝑦𝐵= 2 -𝑎.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Prosta 𝐴𝐵 przechodzi przez punkty 𝐵 oraz 𝐾= (1, 2) o różnych pierwszych<br>współrzędnych, więc równanie tej prostej można zapisać w postaci kierunkowej<br>𝑦= 𝑎(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= 𝑎𝑥+ (2 -𝑎).<br>Ponieważ punkt 𝐵 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑦, więc 𝐵= (0, 2 -𝑎) i 2 -𝑎&gt; 0, czyli<br>𝑎&lt; 2.<br>Ponieważ punkt 𝐴 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑥, więc 𝐴= (𝑎 - 2<br>𝑎<br>, 0) oraz 𝑎 - 2<br>𝑎</p>\n<blockquote>0.</blockquote>\n<p>Wyznaczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>𝑃= 1<br>2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐶| = 1<br>2 ⋅|𝑎-2<br>𝑎<br>| ⋅|2 -𝑎| = 1<br>2 ⋅𝑎 - 2<br>𝑎<br>⋅(2 -𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4<br>2𝑎<br>To należało wykazać.</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Prosta (AB) przechodzi przez punkt (K=(1,2)) i ma współczynnik kierunkowy (a), więc</p>\n<p>y=a(x-1)+2=ax-a+2.</p>\n<p>Punkt (A) leży na dodatniej półosi (Ox). Dla (y=0):</p>\n<p>0=ax-a+2, x_A=(a-2)/(a).</p>\n<p>Punkt (B) leży na dodatniej półosi (Oy). Dla (x=0):</p>\n<p>y_B=2-a.</p>\n<p>Aby oba przecięcia leżały na dodatnich półosiach, musi być (a&lt;0). Pole trójkąta prostokątnego (ABC) jest równe</p>\n<p>P=(1)/(2)|AC|·|BC|=(1)/(2)·(a-2)/(a)·(2-a).</p>\n<p>Upraszczamy:</p>\n<p>P(a)=((a-2)(2-a))/(2a)=(-(a-2)^2)/(2a)=(-a^2+4a-4)/(2a).</p>\n<p>Teza została wykazana.</p>"}]}