{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nPole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎 prostej 𝐴𝐵 jest\nokreślone wzorem\n𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4\n2𝑎\ndla 𝑎< 0.\nWyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną 𝑨𝑩 tego z rozważanych\ntrójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.\n13.2\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2). Pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem P(a) = -a² + 4a - 4 / 2a dla a<0. Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną AB tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole.","answer":"(y=-2x+4)","answer_text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\n[…];\nXIII.R5) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji;\nXIII.R6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎= -2 oraz\nwyznaczenie równania prostej zawierającej przeciwprostokątną 𝐴𝐵 tego z trójkątów,\nktóry ma najmniejsze pole, np. 𝑦= -2𝑥+ 4.\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑎= -2\nALBO\n- przekształcenie nierówności\n(- 𝑎\n2) + (- 2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎) do postaci\n(-𝑎\n2) + (-2\n𝑎) + 2 ≥4 oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby\ndodatnie (-𝑎\n2) oraz (-2\n𝑎) są równe.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑃: 𝑎= -2\nALBO\n- obliczenie wartości 𝑎, dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej\ni geometrycznej liczb dodatnich (-𝑎\n2) oraz (-2\n𝑎): 𝑎= -2,\nALBO\n- przekształcenie nierówności\n(- 𝑎\n2) + (- 2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎) do postaci\n(-𝑎\n2) + (-2\n𝑎) + 2 ≥4.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′(𝑎) =\n(-2𝑎 + 4) ⋅ 2𝑎 - (-𝑎2 + 4𝑎 - 4) ⋅ 2\n(2𝑎)2\nALBO\n- zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb (-𝑎\n2)\noraz (-2\n𝑎):\n(- 𝑎\n2) + (- 2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji (-𝑎2 + 4𝑎-4) oraz 2𝑎\ni dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale (-∞, 0) co najmniej\njedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce/a zerowe pochodnej, za uzasadnienie\nistnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃, za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 tego\nz trójkątów, który ma najmniejsze pole).\nJeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji (-𝑎2 + 4𝑎-4) lub 2𝑎 i dalej\npopełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale (-∞, 0) co najmniej jedno\nmiejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości\nfunkcji 𝑃 oraz za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 tego z trójkątów, który ma\nnajmniejsze pole).\n3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości 𝑎, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej\nORAZ:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji,\nLUB\n- wyznaczy drugą pochodną funkcji 𝑃 i dla wyznaczonej wartości 𝑎 obliczy wartość tej\ndrugiej pochodnej oraz zapisze, że funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to jedyne\nekstremum tej funkcji.\nBadanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.\nznakami „+” i „-”) znak pochodnej.\n4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty\nza całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie\nmiejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, dla której\npole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest najmniejsze).\n5. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej,\n1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy argument, dla którego funkcja 𝑃 określona wzorem 𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎 - 4\n2𝑎\ndla\n𝑎< 0 osiąga wartość najmniejszą.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑎) =\n(-2𝑎+ 4) ⋅2𝑎-(-𝑎2 + 4𝑎-4) ⋅2\n(2𝑎)2\n𝑃′(𝑎) = -2𝑎2 + 8\n(2𝑎)2\ndla 𝑎< 0.\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑎) = 0\n-2𝑎2 + 8 = 0\n𝑎= 2 ∉(-∞, 0) ∨ 𝑎= -2 ∈(-∞, 0)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑎) < 0\n-2𝑎2 + 8 < 0 ∧ 𝑎< 0\n𝑎∈(-∞, -2)\nwięc 𝑃′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(-∞, -2) oraz 𝑃′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(-2, 0).\nZatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (-∞, -2] i rosnąca w przedziale [-2, 0).\nStąd funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= -2. Wtedy prosta 𝐴𝐵 ma równanie\n𝑦= -2(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= -2𝑥+ 4.\nSposób II\nZauważmy, że 𝑃(𝑎) = -𝑎2\n2𝑎+ 4𝑎\n2𝑎-4\n2𝑎= -𝑎\n2 -2\n𝑎+ 2. Ponieważ 𝑎< 0, więc liczby (-𝑎\n2)\noraz (-2\n𝑎) są dodatnie. Z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną dla\nliczb dodatnich (-𝑎\n2) oraz (-2\n𝑎) otrzymujemy:\n(-𝑎\n2) + (-2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎)\n-𝑎\n2 -2\n𝑎≥2\n-𝑎\n2 -2\n𝑎+ 2 ≥4\n𝑃(𝑎) ≥4\nprzy czym równość zachodzi tylko dla tych 𝑎, dla których -𝑎\n2 = -2\n𝑎 i jednocześnie\n𝑎< 0, tj. dla 𝑎= -2.\nZatem funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= -2. Wtedy prosta 𝐴𝐵 ma równanie\n𝑦= -2(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= -2𝑥+ 4.","solution":"Korzystamy ze wzoru\n\nP(a)=(-a^2+4a-4)/(2a)=-(a)/(2)+2-(2)/(a), a<0.\n\nObliczamy pochodną:\n\nP'(a)=-(1)/(2)+(2)/(a^2)=(4-a^2)/(2a^2).\n\nMianownik jest dodatni dla (a≠0). Miejsca zerowe licznika to (a=-2) i (a=2), lecz w dziedzinie (a<0) pozostaje tylko (a=-2).\n\nP'(a)<0 dla a∈(-∞,-2),\n\nP'(a)>0 dla a∈(-2,0).\n\nFunkcja najpierw maleje, a następnie rośnie, więc najmniejsze pole otrzymujemy dla (a=-2).\n\nProsta przechodzi przez (K=(1,2)), zatem\n\ny=-2(x-1)+2=-2x+4.\n\nOdpowiedź: (y=-2x+4).","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.2.svg","topics":null,"page_from":30,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13.2. (0-4)<br>Pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎 prostej 𝐴𝐵 jest<br>określone wzorem<br>𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4<br>2𝑎<br>dla 𝑎&lt; 0.<br>Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną 𝑨𝑩 tego z rozważanych<br>trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.<br>13.2<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2023<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2). Pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem P(a) = -a² + 4a - 4 / 2a dla a&lt;0. Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną AB tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13.2. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>XIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej<br>o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza<br>pochodną, korzystając z twierdzeń<br>o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu<br>[…];<br>XIII.R5) stosuje pochodną do badania<br>monotoniczności funkcji;<br>XIII.R6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne<br>z zastosowaniem pochodnej.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎= -2 oraz<br>wyznaczenie równania prostej zawierającej przeciwprostokątną 𝐴𝐵 tego z trójkątów,<br>który ma najmniejsze pole, np. 𝑦= -2𝑥+ 4.<br>3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje<br>wartość najmniejszą dla 𝑎= -2<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności</li></ul>\n<p>(- 𝑎</p>\n<ol><li>+ (- 2</li></ol>\n<p>𝑎)<br>2<br>≥√(-𝑎</p>\n<ol><li>⋅(-2</li></ol>\n<p>𝑎) do postaci<br>(-𝑎</p>\n<ol><li>+ (-2</li></ol>\n<p>𝑎) + 2 ≥4 oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby<br>dodatnie (-𝑎</p>\n<ol><li>oraz (-2</li></ol>\n<p>𝑎) są równe.<br>2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑃: 𝑎= -2<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wartości 𝑎, dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej</li></ul>\n<p>i geometrycznej liczb dodatnich (-𝑎</p>\n<ol><li>oraz (-2</li></ol>\n<p>𝑎): 𝑎= -2,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności</li></ul>\n<p>(- 𝑎</p>\n<ol><li>+ (- 2</li></ol>\n<p>𝑎)<br>2<br>≥√(-𝑎</p>\n<ol><li>⋅(-2</li></ol>\n<p>𝑎) do postaci<br>(-𝑎</p>\n<ol><li>+ (-2</li></ol>\n<p>𝑎) + 2 ≥4.<br>1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′(𝑎) =<br>(-2𝑎 + 4) ⋅ 2𝑎 - (-𝑎2 + 4𝑎 - 4) ⋅ 2<br>(2𝑎)2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb (-𝑎</li></ul>\n<p>2)<br>oraz (-2<br>𝑎):<br>(- 𝑎</p>\n<ol><li>+ (- 2</li></ol>\n<p>𝑎)<br>2<br>≥√(-𝑎</p>\n<ol><li>⋅(-2</li></ol>\n<p>𝑎).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu</li></ol>\n<p>funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji (-𝑎2 + 4𝑎-4) oraz 2𝑎<br>i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale (-∞, 0) co najmniej<br>jedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co<br>najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce/a zerowe pochodnej, za uzasadnienie<br>istnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃, za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 tego<br>z trójkątów, który ma najmniejsze pole).<br>Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu<br>funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji (-𝑎2 + 4𝑎-4) lub 2𝑎 i dalej<br>popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale (-∞, 0) co najmniej jedno<br>miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości<br>funkcji 𝑃 oraz za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 tego z trójkątów, który ma<br>najmniejsze pole).</p>\n<ol><li>Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla</li></ol>\n<p>wyznaczonej wartości 𝑎, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy<br>zdający bada znak pochodnej<br>ORAZ:</p>\n<ul><li>opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃</li></ul>\n<p>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jednocześnie jej najmniejsza wartość,<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jedyne ekstremum tej funkcji,<br>LUB</p>\n<ul><li>wyznaczy drugą pochodną funkcji 𝑃 i dla wyznaczonej wartości 𝑎 obliczy wartość tej</li></ul>\n<p>drugiej pochodnej oraz zapisze, że funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to jedyne<br>ekstremum tej funkcji.<br>Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres<br>funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.<br>znakami „+” i „-”) znak pochodnej.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty</li></ol>\n<p>za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie<br>miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, dla której<br>pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest najmniejsze).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może otrzymać co</li></ol>\n<p>najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej,<br>1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Obliczamy argument, dla którego funkcja 𝑃 określona wzorem 𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎 - 4<br>2𝑎<br>dla<br>𝑎&lt; 0 osiąga wartość najmniejszą.<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑃:<br>𝑃′(𝑎) =<br>(-2𝑎+ 4) ⋅2𝑎-(-𝑎2 + 4𝑎-4) ⋅2<br>(2𝑎)2<br>𝑃′(𝑎) = -2𝑎2 + 8<br>(2𝑎)2<br>dla 𝑎&lt; 0.<br>Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:<br>𝑃′(𝑎) = 0<br>-2𝑎2 + 8 = 0<br>𝑎= 2 ∉(-∞, 0) ∨ 𝑎= -2 ∈(-∞, 0)<br>Badamy znak pochodnej:<br>𝑃′(𝑎) &lt; 0<br>-2𝑎2 + 8 &lt; 0 ∧ 𝑎&lt; 0<br>𝑎∈(-∞, -2)<br>więc 𝑃′(𝑎) &lt; 0 dla 𝑎∈(-∞, -2) oraz 𝑃′(𝑎) &gt; 0 dla 𝑎∈(-2, 0).<br>Zatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (-∞, -2] i rosnąca w przedziale [-2, 0).<br>Stąd funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= -2. Wtedy prosta 𝐴𝐵 ma równanie<br>𝑦= -2(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= -2𝑥+ 4.<br>Sposób II<br>Zauważmy, że 𝑃(𝑎) = -𝑎2<br>2𝑎+ 4𝑎<br>2𝑎-4<br>2𝑎= -𝑎<br>2 -2<br>𝑎+ 2. Ponieważ 𝑎&lt; 0, więc liczby (-𝑎<br>2)<br>oraz (-2<br>𝑎) są dodatnie. Z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną dla<br>liczb dodatnich (-𝑎</p>\n<ol><li>oraz (-2</li></ol>\n<p>𝑎) otrzymujemy:<br>(-𝑎</p>\n<ol><li>+ (-2</li></ol>\n<p>𝑎)<br>2<br>≥√(-𝑎</p>\n<ol><li>⋅(-2</li></ol>\n<p>𝑎)<br>-𝑎<br>2 -2<br>𝑎≥2<br>-𝑎<br>2 -2<br>𝑎+ 2 ≥4<br>𝑃(𝑎) ≥4<br>przy czym równość zachodzi tylko dla tych 𝑎, dla których -𝑎<br>2 = -2<br>𝑎 i jednocześnie<br>𝑎&lt; 0, tj. dla 𝑎= -2.<br>Zatem funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= -2. Wtedy prosta 𝐴𝐵 ma równanie<br>𝑦= -2(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= -2𝑥+ 4.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.2.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Korzystamy ze wzoru</p>\n<p>P(a)=(-a^2+4a-4)/(2a)=-(a)/(2)+2-(2)/(a), a&lt;0.</p>\n<p>Obliczamy pochodną:</p>\n<p>P&#x27;(a)=-(1)/(2)+(2)/(a^2)=(4-a^2)/(2a^2).</p>\n<p>Mianownik jest dodatni dla (a≠0). Miejsca zerowe licznika to (a=-2) i (a=2), lecz w dziedzinie (a&lt;0) pozostaje tylko (a=-2).</p>\n<p>P&#x27;(a)&lt;0 dla a∈(-∞,-2),</p>\n<p>P&#x27;(a)&gt;0 dla a∈(-2,0).</p>\n<p>Funkcja najpierw maleje, a następnie rośnie, więc najmniejsze pole otrzymujemy dla (a=-2).</p>\n<p>Prosta przechodzi przez (K=(1,2)), zatem</p>\n<p>y=-2(x-1)+2=-2x+4.</p>\n<p>Odpowiedź: (y=-2x+4).</p>"}]}