{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-3)\nRozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące\nwarunki:\nna pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra 2\ncyfra 4 występuje w kodzie dokładnie trzy razy\ncyfra 8 występuje dokładnie dwa razy\npozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.\nOblicz liczbę wszystkich takich kodów. Zapisz obliczenia.\n2.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nRozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki: • na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra 2 • cyfra 4 występuje w kodzie dokładnie trzy razy • cyfra 8 występuje dokładnie dwa razy • pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi. Oblicz liczbę wszystkich takich kodów. Zapisz obliczenia.","answer":"(70,000)","answer_text":"Zadanie 2. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXI.R1) oblicza liczbę możliwych sytuacji,\nspełniających określone kryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia\ni dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 33 600.\n2 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich kodów spełniających warunki zadania, np.\n(8\n3) ⋅(5\n2) ⋅5 ⋅4 ⋅3, (8\n2) ⋅(6\n3) ⋅5 ⋅4 ⋅3.\n1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfry 4 oraz cyfry 8:\n(8\n3) oraz (5\n2) (lub (8\n2) oraz (6\n3))\nALBO\n- wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfr nieparzystych: (8\n3) ⋅5 ⋅4 ⋅3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nCyfrę 2 umieszczamy na pierwszej pozycji kodu.\nSpośród ośmiu dostępnych pozycji w kodzie wybieramy trzy pozycje, na których umieścimy\nczwórki. Liczba wszystkich takich wyborów jest równa (8\n3).\nPo umieszczeniu czwórek w kodzie mamy pięć dostępnych pozycji. Spośród nich wybieramy\ndwie, na których umieścimy ósemki. Liczba wszystkich takich wyborów jest równa (5\n2).\nPozostały jeszcze trzy nieobsadzone pozycje, na których należy umieścić trzy - parami\nróżne - cyfry nieparzyste. Liczba wszystkich takich możliwych obsadzeń tych trzech pozycji\njest równa 5 ⋅4 ⋅3.\nKorzystamy z reguły mnożenia i obliczamy liczbę wszystkich kodów spełniających warunki\nzadania:\n(8\n3) ⋅(5\n2) ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 8 ⋅7 ⋅6\n1 ⋅2 ⋅3 ⋅5 ⋅4\n1 ⋅2 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 33 600","solution":"Pierwsza cyfra kodu jest ustalona i równa (2). Pozostaje osiem miejsc.\n\nWybieramy trzy spośród tych ośmiu miejsc dla cyfr (4):\n\nbinom83.\n\nNastępnie wybieramy dwa spośród pozostałych pięciu miejsc dla cyfr (8):\n\nbinom52.\n\nNa każdym z trzech pozostałych miejsc może znaleźć się dowolna z pięciu cyfr nieparzystych: (1,3,5,7,9). Cyfry te mogą się powtarzać, dlatego mamy (5^3) możliwości.\n\nbinom83binom52·5^3=56·10·125=70 000.\n\nOdpowiedź: (70 000) kodów.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (0-3)<br>Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące<br>warunki:<br>na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra 2<br>cyfra 4 występuje w kodzie dokładnie trzy razy<br>cyfra 8 występuje dokładnie dwa razy<br>pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.<br>Oblicz liczbę wszystkich takich kodów. Zapisz obliczenia.<br>2.<br>0-1-<br>2-3</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki: • na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra 2 • cyfra 4 występuje w kodzie dokładnie trzy razy • cyfra 8 występuje dokładnie dwa razy • pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi. Oblicz liczbę wszystkich takich kodów. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>XI.R1) oblicza liczbę możliwych sytuacji,<br>spełniających określone kryteria,<br>z wykorzystaniem reguły mnożenia<br>i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na<br>liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 33 600.<br>2 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich kodów spełniających warunki zadania, np.<br>(8</p>\n<ol><li>⋅(5</li><li>⋅5 ⋅4 ⋅3, (8</li><li>⋅(6</li><li>⋅5 ⋅4 ⋅3.</li></ol>\n<p>1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfry 4 oraz cyfry 8:<br>(8</p>\n<ol><li>oraz (5</li><li>(lub (8</li><li>oraz (6</li></ol>\n<p>3))<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfr nieparzystych: (8</li></ul>\n<ol><li>⋅5 ⋅4 ⋅3.</li></ol>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Cyfrę 2 umieszczamy na pierwszej pozycji kodu.<br>Spośród ośmiu dostępnych pozycji w kodzie wybieramy trzy pozycje, na których umieścimy<br>czwórki. Liczba wszystkich takich wyborów jest równa (8<br>3).<br>Po umieszczeniu czwórek w kodzie mamy pięć dostępnych pozycji. Spośród nich wybieramy<br>dwie, na których umieścimy ósemki. Liczba wszystkich takich wyborów jest równa (5<br>2).<br>Pozostały jeszcze trzy nieobsadzone pozycje, na których należy umieścić trzy - parami<br>różne - cyfry nieparzyste. Liczba wszystkich takich możliwych obsadzeń tych trzech pozycji<br>jest równa 5 ⋅4 ⋅3.<br>Korzystamy z reguły mnożenia i obliczamy liczbę wszystkich kodów spełniających warunki<br>zadania:<br>(8</p>\n<ol><li>⋅(5</li><li>⋅5 ⋅4 ⋅3 = 8 ⋅7 ⋅6</li></ol>\n<p>1 ⋅2 ⋅3 ⋅5 ⋅4<br>1 ⋅2 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 33 600</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Pierwsza cyfra kodu jest ustalona i równa (2). Pozostaje osiem miejsc.</p>\n<p>Wybieramy trzy spośród tych ośmiu miejsc dla cyfr (4):</p>\n<p>binom83.</p>\n<p>Następnie wybieramy dwa spośród pozostałych pięciu miejsc dla cyfr (8):</p>\n<p>binom52.</p>\n<p>Na każdym z trzech pozostałych miejsc może znaleźć się dowolna z pięciu cyfr nieparzystych: (1,3,5,7,9). Cyfry te mogą się powtarzać, dlatego mamy (5^3) możliwości.</p>\n<p>binom83binom52·5^3=56·10·125=70 000.</p>\n<p>Odpowiedź: (70 000) kodów.</p>"}]}