{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑥\n𝑥 - 1 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1.\nWyznacz wszystkie wartości 𝒂, dla których pochodna funkcji 𝒇 w punkcie 𝒙= 𝒂\njest równa (-𝟏\n𝟐𝒂). Zapisz obliczenia.\n3.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = ax² + x / x-1 dla każdej liczby rzeczywistej x≠1. Wyznacz wszystkie wartości a, dla których pochodna funkcji f w punkcie x=a jest równa (-1/2a). Zapisz obliczenia.","answer":"(a=2)","answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\ni funkcji złożonej.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 2.\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n(2𝑎2 + 1)(𝑎-1) -(𝑎3 + 𝑎) ⋅1\n(𝑎-1)2\n= -1\n2 𝑎\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓, np. 𝑓′(𝑥) =\n(2𝑎𝑥 + 1)(𝑥 - 1) - (𝑎𝑥2 + 𝑥) ⋅ 1\n(𝑥 - 1)2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) =\n(2𝑎𝑥+ 1)(𝑥-1) -(𝑎𝑥2 + 𝑥) ⋅1\n(𝑥-1)2\n= 𝑎𝑥2 -2𝑎𝑥-1\n(𝑥-1)2\ndla każdego 𝑥≠1.\nStąd i z warunku 𝑓′(𝑎) = -1\n2 𝑎 otrzymujemy:\n𝑎3 -2𝑎2 -1\n(𝑎-1)2\n= -1\n2 𝑎 ∧ 𝑎≠1\n2𝑎3 -4𝑎2 -2 = -𝑎(𝑎-1)2 ∧ 𝑎≠1\n3𝑎3 -6𝑎2 + 𝑎-2 = 0 ∧ 𝑎≠1\n3𝑎2(𝑎-2) + (𝑎-2) = 0 ∧ 𝑎≠1\n(3𝑎2 + 1)(𝑎-2) = 0 ∧ 𝑎≠1\n𝑎= 2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Dla ustalonego parametru (a) różniczkujemy funkcję ilorazową:\n\nf'(x)=((2ax+1)(x-1)-(ax^2+x))/((x-1)^2).\n\nUpraszczamy licznik:\n\nf'(x)=(2ax^2-2ax+x-1-ax^2-x)/((x-1)^2)=(ax^2-2ax-1)/((x-1)^2).\n\nPunkt (x=a) musi należeć do dziedziny, więc (a≠1). Podstawiamy (x=a) i korzystamy z warunku (f'(a)=-(1)/(2)a):\n\n(a^3-2a^2-1)/((a-1)^2)=-(1)/(2)a.\n\nMnożymy obie strony przez (2(a-1)^2):\n\n2a^3-4a^2-2=-a(a-1)^2=-a^3+2a^2-a.\n\n3a^3-6a^2+a-2=0,\n\n3a^2(a-2)+(a-2)=0,\n\n(a-2)(3a^2+1)=0.\n\nRównanie (3a^2+1=0) nie ma rozwiązań rzeczywistych.\n\nOdpowiedź: (a=2).","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (0-3)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑥
𝑥 - 1 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1.
Wyznacz wszystkie wartości 𝒂, dla których pochodna funkcji 𝒇 w punkcie 𝒙= 𝒂
jest równa (-𝟏
𝟐𝒂). Zapisz obliczenia.
3.
0-1-
2-3

\n

MMAP-R0_100
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = ax² + x / x-1 dla każdej liczby rzeczywistej x≠1. Wyznacz wszystkie wartości a, dla których pochodna funkcji f w punkcie x=a jest równa (-1/2a). Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
XIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej
o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń
o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu
i funkcji złożonej.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 2.
2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.
(2𝑎2 + 1)(𝑎-1) -(𝑎3 + 𝑎) ⋅1
(𝑎-1)2
= -1
2 𝑎
1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓, np. 𝑓′(𝑥) =
(2𝑎𝑥 + 1)(𝑥 - 1) - (𝑎𝑥2 + 𝑥) ⋅ 1
(𝑥 - 1)2
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑥) =
(2𝑎𝑥+ 1)(𝑥-1) -(𝑎𝑥2 + 𝑥) ⋅1
(𝑥-1)2
= 𝑎𝑥2 -2𝑎𝑥-1
(𝑥-1)2
dla każdego 𝑥≠1.
Stąd i z warunku 𝑓′(𝑎) = -1
2 𝑎 otrzymujemy:
𝑎3 -2𝑎2 -1
(𝑎-1)2
= -1
2 𝑎 ∧ 𝑎≠1
2𝑎3 -4𝑎2 -2 = -𝑎(𝑎-1)2 ∧ 𝑎≠1
3𝑎3 -6𝑎2 + 𝑎-2 = 0 ∧ 𝑎≠1
3𝑎2(𝑎-2) + (𝑎-2) = 0 ∧ 𝑎≠1
(3𝑎2 + 1)(𝑎-2) = 0 ∧ 𝑎≠1
𝑎= 2
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Dla ustalonego parametru (a) różniczkujemy funkcję ilorazową:

\n

f'(x)=((2ax+1)(x-1)-(ax^2+x))/((x-1)^2).

\n

Upraszczamy licznik:

\n

f'(x)=(2ax^2-2ax+x-1-ax^2-x)/((x-1)^2)=(ax^2-2ax-1)/((x-1)^2).

\n

Punkt (x=a) musi należeć do dziedziny, więc (a≠1). Podstawiamy (x=a) i korzystamy z warunku (f'(a)=-(1)/(2)a):

\n

(a^3-2a^2-1)/((a-1)^2)=-(1)/(2)a.

\n

Mnożymy obie strony przez (2(a-1)^2):

\n

2a^3-4a^2-2=-a(a-1)^2=-a^3+2a^2-a.

\n

3a^3-6a^2+a-2=0,

\n

3a^2(a-2)+(a-2)=0,

\n

(a-2)(3a^2+1)=0.

\n

Równanie (3a^2+1=0) nie ma rozwiązań rzeczywistych.

\n

Odpowiedź: (a=2).

"}]}