{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝒙 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝒚\nprawdziwa jest nierówność\n𝒙𝒚+ 𝒙+ 𝒚≤𝒙𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝟏\n4.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierównośćxy + x + y ≤ x² + y² + 1.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować\no prawdziwości nierówności, np. 0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2\n(dla sposobu I)\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze\nwzględu na niewiadomą 𝑥 (lub niewiadomą 𝑦) oraz wyznaczenie i przeprowadzenie\nanalizy znaku wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. poprzez\nzapisanie wyróżnika w postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o jego\nznaku, lub poprzez naszkicowanie poprawnego wykresu trójmianu -3𝑦2 + 6𝑦-3\n(dla sposobu II),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 0 ≤(𝑥-1)2 -(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2\n(dla sposobu III).\n1 pkt - pomnożenie obu stron nierówności przez 2 i przekształcenie nierówności do postaci,\nw której występuje co najmniej jeden z następujących kwadratów: (𝑥-𝑦)2 lub\n(𝑥-1)2, lub (𝑦-1)2, np. (𝑥-𝑦)2 + 𝑥2 + 𝑦2 -2𝑥-2𝑦+ 2 ≥0 (dla sposobu I)\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze\nwzględu na niewiadomą 𝑥 (lub niewiadomą 𝑦) oraz wyznaczenie wyróżnika\nodpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. 0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1)\noraz Δ = -3𝑦2 + 6𝑦-3 (dla sposobu II),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 0 ≤[(𝑥-1) -(𝑦-1)]2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n(dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n2𝑥𝑦+ 2𝑥+ 2𝑦≤2𝑥2 + 2𝑦2 + 2\n0 ≤𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 -2𝑦+ 1\n0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2\nWszystkie składniki sumy (𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 są nieujemne jako kwadraty\nliczb rzeczywistych, więc nierówność 0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 jest prawdziwa\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. Zatem nierówność\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla\nkażdej liczby rzeczywistej 𝑦.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1)\nWyróżnik Δ trójmianu 𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) zmiennej 𝑥 jest równy\nΔ = (𝑦+ 1)2 -4(𝑦2 -𝑦+ 1) = -3𝑦2 + 6𝑦-3 = -3(𝑦-1)2\nWyróżnik jest niedodatni jako iloczyn liczby ujemnej i liczby nieujemnej (𝑦-1)2. Ponadto\nwspółczynnik przy 𝑥2 jest dodatni, więc trójmian 𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) przyjmuje\ntylko wartości nieujemne. Zatem nierówność 0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) jest\nprawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦, więc również\nnierówność 𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥\ni dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦.\nTo należało wykazać.\nSposób III\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n0 ≤𝑥2 + 𝑦2 -2𝑥𝑦+ 𝑥𝑦-𝑥-𝑦+ 1\n0 ≤(𝑥-𝑦)2 + 𝑥(𝑦-1) -(𝑦-1)\n0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n0 ≤[(𝑥-1) -(𝑦-1)]2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n0 ≤(𝑥-1)2 -2(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n0 ≤(𝑥-1)2 -(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2\nTę nierówność możemy równoważnie zapisać w postaci\n0 ≤𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2\ngdzie 𝑎= 𝑥-1 oraz 𝑏= 𝑦-1. Zauważmy teraz, że 𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎-1\n2 𝑏)\n2\n+ 3\n4 𝑏2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc (𝑎-1\n2 𝑏)\n2\n≥0\noraz 3\n4 𝑏2 ≥0. Zatem suma (𝑎-1\n2 𝑏)\n2\n+ 3\n4 𝑏2 jest nieujemna jako suma liczb\nnieujemnych. To oznacza, że nierówność 0 ≤𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2 jest prawdziwa dla każdej\nliczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏. Tym samym nierówność\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla\nkażdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.","solution":"Mnożymy nierówność przez (2) i przenosimy wszystkie składniki na prawą stronę:\n\n2xy+2x+2y≤2x^2+2y^2+2,\n\n0≤2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2.\n\nWyrażenie po prawej stronie zapisujemy jako sumę kwadratów:\n\n2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2=(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2.\n\nKażdy kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem\n\n(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2≥0.\n\nNierówność została wykazana.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 4. (0-3)<br>Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝒙 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝒚<br>prawdziwa jest nierówność<br>𝒙𝒚+ 𝒙+ 𝒚≤𝒙𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝟏<br>4.<br>0-1-<br>2-3</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierównośćxy + x + y ≤ x² + y² + 1.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia<br>na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować<br>o prawdziwości nierówności, np. 0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2<br>(dla sposobu I)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze</li></ul>\n<p>względu na niewiadomą 𝑥 (lub niewiadomą 𝑦) oraz wyznaczenie i przeprowadzenie<br>analizy znaku wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. poprzez<br>zapisanie wyróżnika w postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o jego<br>znaku, lub poprzez naszkicowanie poprawnego wykresu trójmianu -3𝑦2 + 6𝑦-3<br>(dla sposobu II),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności do postaci 0 ≤(𝑥-1)2 -(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2</li></ul>\n<p>(dla sposobu III).<br>1 pkt - pomnożenie obu stron nierówności przez 2 i przekształcenie nierówności do postaci,<br>w której występuje co najmniej jeden z następujących kwadratów: (𝑥-𝑦)2 lub<br>(𝑥-1)2, lub (𝑦-1)2, np. (𝑥-𝑦)2 + 𝑥2 + 𝑦2 -2𝑥-2𝑦+ 2 ≥0 (dla sposobu I)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze</li></ul>\n<p>względu na niewiadomą 𝑥 (lub niewiadomą 𝑦) oraz wyznaczenie wyróżnika<br>odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. 0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1)<br>oraz Δ = -3𝑦2 + 6𝑦-3 (dla sposobu II),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności do postaci 0 ≤[(𝑥-1) -(𝑦-1)]2 + (𝑥-1)(𝑦-1)</li></ul>\n<p>(dla sposobu III).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:<br>𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1<br>2𝑥𝑦+ 2𝑥+ 2𝑦≤2𝑥2 + 2𝑦2 + 2<br>0 ≤𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 -2𝑦+ 1<br>0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2<br>Wszystkie składniki sumy (𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 są nieujemne jako kwadraty<br>liczb rzeczywistych, więc nierówność 0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 jest prawdziwa<br>dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. Zatem nierówność<br>𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla<br>każdej liczby rzeczywistej 𝑦.<br>To należało wykazać.<br>Sposób II<br>Przekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:<br>𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1<br>0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1)<br>Wyróżnik Δ trójmianu 𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) zmiennej 𝑥 jest równy<br>Δ = (𝑦+ 1)2 -4(𝑦2 -𝑦+ 1) = -3𝑦2 + 6𝑦-3 = -3(𝑦-1)2<br>Wyróżnik jest niedodatni jako iloczyn liczby ujemnej i liczby nieujemnej (𝑦-1)2. Ponadto<br>współczynnik przy 𝑥2 jest dodatni, więc trójmian 𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) przyjmuje<br>tylko wartości nieujemne. Zatem nierówność 0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) jest<br>prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦, więc również<br>nierówność 𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥<br>i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦.<br>To należało wykazać.<br>Sposób III<br>Przekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:<br>𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1<br>0 ≤𝑥2 + 𝑦2 -2𝑥𝑦+ 𝑥𝑦-𝑥-𝑦+ 1<br>0 ≤(𝑥-𝑦)2 + 𝑥(𝑦-1) -(𝑦-1)<br>0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)(𝑦-1)<br>0 ≤[(𝑥-1) -(𝑦-1)]2 + (𝑥-1)(𝑦-1)<br>0 ≤(𝑥-1)2 -2(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2 + (𝑥-1)(𝑦-1)<br>0 ≤(𝑥-1)2 -(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2<br>Tę nierówność możemy równoważnie zapisać w postaci<br>0 ≤𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2<br>gdzie 𝑎= 𝑥-1 oraz 𝑏= 𝑦-1. Zauważmy teraz, że 𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎-1<br>2 𝑏)<br>2</p>\n<ul><li>3</li></ul>\n<p>4 𝑏2.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc (𝑎-1<br>2 𝑏)<br>2<br>≥0<br>oraz 3<br>4 𝑏2 ≥0. Zatem suma (𝑎-1<br>2 𝑏)<br>2</p>\n<ul><li>3</li></ul>\n<p>4 𝑏2 jest nieujemna jako suma liczb<br>nieujemnych. To oznacza, że nierówność 0 ≤𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2 jest prawdziwa dla każdej<br>liczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏. Tym samym nierówność<br>𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla<br>każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Mnożymy nierówność przez (2) i przenosimy wszystkie składniki na prawą stronę:</p>\n<p>2xy+2x+2y≤2x^2+2y^2+2,</p>\n<p>0≤2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2.</p>\n<p>Wyrażenie po prawej stronie zapisujemy jako sumę kwadratów:</p>\n<p>2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2=(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2.</p>\n<p>Każdy kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem</p>\n<p>(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2≥0.</p>\n<p>Nierówność została wykazana.</p>"}]}