{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nOdcinek 𝐶𝐷 jest wysokością trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.\nProsta 𝑝 jest prostopadła do boku 𝐵𝐶 i przecina ten bok w punkcie 𝐿. Ta prosta przecina\nwysokość 𝐶𝐷 w punkcie 𝐾 oraz przecina bok 𝐴𝐶 w punkcie różnym od 𝐴.\nWykaż, że |∡𝑪𝑨𝑲| = |∡𝑲𝑫𝑳|.\n5.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nOdcinek CD jest wysokością trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Prosta p jest prostopadła do boku BC i przecina ten bok w punkcie L. Ta prosta przecina wysokość CD w punkcie K oraz przecina bok AC w punkcie różnym od A. Wykaż, że |∠CAK| = |∠KDL|.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.11) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nVIII.R1) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - zapisanie, że |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶| oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na\nczworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg\noraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że |∡𝐾𝐵𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\n1 pkt - zapisanie, że |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶|\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg\noraz zapisanie, że |∡𝐶𝑀𝐿| = |∡𝐶𝐷𝐿|\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg\noraz zapisanie, że |∡𝐶𝑀𝐾| = |∡𝐶𝐴𝐾|,\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg\noraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać\nokrąg.\n1 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny i 𝐶𝐷 jest osią symetrii tego trójkąta, więc\n|∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐿|.\nPonieważ |∡𝐾𝐷𝐵| = 90° oraz |∡𝐵𝐿𝐾| = 90°, więc na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać\nokrąg. W tym okręgu kąty wpisane 𝐾𝐷𝐿 i 𝐾𝐵𝐿 są oparte na tym samym łuku, więc mają\nrówne miary. Zatem |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nNiech 𝑀 będzie punktem przecięcia prostej 𝑝 z prostą 𝐴𝐵. Oznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐶𝐷| oraz\n𝛽= |∡𝐶𝑀𝐿|.\nTrójkąt 𝑀𝐶𝐿 jest prostokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem\nodcinka 𝑀𝐶, a promień tego okręgu jest równy 1\n2 ⋅|𝑀𝐶|. Trójkąt 𝑀𝐷𝐶 jest prostokątny,\nwięc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem odcinka 𝑀𝐶, a promień tego\nokręgu jest równy 1\n2 ⋅|𝑀𝐶|. Zatem na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg. Oznaczmy\nten okrąg przez ℴ1 (zobacz rysunek).\nKąty 𝐿𝐶𝐷 oraz 𝐿𝑀𝐷 są wpisane w okrąg ℴ1 i oparte na tym samym łuku 𝐿𝐷, więc\n|∡𝐿𝐶𝐷| = |∡𝐿𝑀𝐷| = 𝛼. Ponieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, więc\n|∡𝐾𝐶𝐴| = |∡𝐷𝐶𝐴| = 𝛼. Zatem |∡𝐾𝐶𝐴| = |∡𝐿𝑀𝐷| = |∡𝐾𝑀𝐴|, a ponieważ punkty 𝐶 oraz\n𝑀 są po tej samej stronie prostej 𝐴𝐾, więc na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg.\nOznaczmy ten okrąg przez ℴ2 (zobacz rysunek).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑝\n𝑀\nℴ1\n𝛼\n𝛽\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKąty wpisane 𝐾𝑀𝐶 oraz 𝐾𝐴𝐶 są oparte na tym samym łuku 𝐶𝐾 okręgu ℴ2, więc\n|∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝑀𝐶| i wobec |∡𝐾𝑀𝐶| = |∡𝐿𝑀𝐶| mamy |∡𝐾𝐴𝐶| = 𝛽.\nKąty wpisane 𝐶𝐷𝐿 oraz 𝐿𝑀𝐶 są oparte na tym samym łuku 𝐶𝐿 okręgu ℴ1, więc\n|∡𝐶𝐷𝐿| = |∡𝐿𝑀𝐶| = 𝛽. Zatem |∡𝐾𝐴𝐶| = 𝛽= |∡𝐶𝐷𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\nTo należało wykazać.","solution":"Ponieważ (CD) jest wysokością trójkąta równoramiennego (ABC), jest także symetralną podstawy (AB). Zatem\n\n|AD|=|DB| oraz CD⊥ AB.\n\nProsta (p) jest prostopadła do (BC), więc (∠KLB=90^°). Ponadto (∠KDB=90^°). Punkty (D,B,L,K) leżą więc na jednym okręgu - przeciwległe kąty czworokąta (DBLK) mają sumę (180^°).\nRysunek pomocniczy do zadania 5\nKąty wpisane (∠KDL) i (∠KBL) są oparte na tym samym łuku (KL), zatem\n\n|∠ KDL|=|∠ KBL|.\n\nW trójkącie równoramiennym (ABC) kąty przy podstawie są równe:\n\n|∠ CAB|=|∠ ABC|.\n\nPonieważ (A,K,L) są współliniowe, a (B,L,C) są współliniowe, mamy\n\n|∠ CAK|=|∠ CAB|=|∠ ABC|=|∠ KBL|.\n\nŁącząc otrzymane równości, dostajemy\n\n|∠ CAK|=|∠ KDL| . Teza została wykazana.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-3)<br>Odcinek 𝐶𝐷 jest wysokością trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.<br>Prosta 𝑝 jest prostopadła do boku 𝐵𝐶 i przecina ten bok w punkcie 𝐿. Ta prosta przecina<br>wysokość 𝐶𝐷 w punkcie 𝐾 oraz przecina bok 𝐴𝐶 w punkcie różnym od 𝐴.<br>Wykaż, że |∡𝑪𝑨𝑲| = |∡𝑲𝑫𝑳|.<br>5.<br>0-1-<br>2-3</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Odcinek CD jest wysokością trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Prosta p jest prostopadła do boku BC i przecina ten bok w punkcie L. Ta prosta przecina wysokość CD w punkcie K oraz przecina bok AC w punkcie różnym od A. Wykaż, że |∠CAK| = |∠KDL|.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>VIII.11) przeprowadza dowody<br>geometryczne.<br>VIII.R1) stosuje własności czworokątów<br>wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.<br>Zasady oceniania (dla sposobu I)<br>3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>2 pkt - zapisanie, że |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶| oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na<br>czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg</li></ul>\n<p>oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że |∡𝐾𝐵𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.<br>1 pkt - zapisanie, że |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶|<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla sposobu II)<br>3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>2 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg<br>oraz zapisanie, że |∡𝐶𝑀𝐿| = |∡𝐶𝐷𝐿|<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg</li></ul>\n<p>oraz zapisanie, że |∡𝐶𝑀𝐾| = |∡𝐶𝐴𝐾|,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg</li></ul>\n<p>oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać<br>okrąg.<br>1 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Ponieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny i 𝐶𝐷 jest osią symetrii tego trójkąta, więc<br>|∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐿|.<br>Ponieważ |∡𝐾𝐷𝐵| = 90° oraz |∡𝐵𝐿𝐾| = 90°, więc na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać<br>okrąg. W tym okręgu kąty wpisane 𝐾𝐷𝐿 i 𝐾𝐵𝐿 są oparte na tym samym łuku, więc mają<br>równe miary. Zatem |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.<br>To należało wykazać.<br>Sposób II<br>Niech 𝑀 będzie punktem przecięcia prostej 𝑝 z prostą 𝐴𝐵. Oznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐶𝐷| oraz<br>𝛽= |∡𝐶𝑀𝐿|.<br>Trójkąt 𝑀𝐶𝐿 jest prostokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem<br>odcinka 𝑀𝐶, a promień tego okręgu jest równy 1<br>2 ⋅|𝑀𝐶|. Trójkąt 𝑀𝐷𝐶 jest prostokątny,<br>więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem odcinka 𝑀𝐶, a promień tego<br>okręgu jest równy 1<br>2 ⋅|𝑀𝐶|. Zatem na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg. Oznaczmy<br>ten okrąg przez ℴ1 (zobacz rysunek).<br>Kąty 𝐿𝐶𝐷 oraz 𝐿𝑀𝐷 są wpisane w okrąg ℴ1 i oparte na tym samym łuku 𝐿𝐷, więc<br>|∡𝐿𝐶𝐷| = |∡𝐿𝑀𝐷| = 𝛼. Ponieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, więc<br>|∡𝐾𝐶𝐴| = |∡𝐷𝐶𝐴| = 𝛼. Zatem |∡𝐾𝐶𝐴| = |∡𝐿𝑀𝐷| = |∡𝐾𝑀𝐴|, a ponieważ punkty 𝐶 oraz<br>𝑀 są po tej samej stronie prostej 𝐴𝐾, więc na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg.<br>Oznaczmy ten okrąg przez ℴ2 (zobacz rysunek).<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐾<br>𝐿<br>𝑝<br>𝑀<br>ℴ1<br>𝛼<br>𝛽<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Kąty wpisane 𝐾𝑀𝐶 oraz 𝐾𝐴𝐶 są oparte na tym samym łuku 𝐶𝐾 okręgu ℴ2, więc<br>|∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝑀𝐶| i wobec |∡𝐾𝑀𝐶| = |∡𝐿𝑀𝐶| mamy |∡𝐾𝐴𝐶| = 𝛽.<br>Kąty wpisane 𝐶𝐷𝐿 oraz 𝐿𝑀𝐶 są oparte na tym samym łuku 𝐶𝐿 okręgu ℴ1, więc<br>|∡𝐶𝐷𝐿| = |∡𝐿𝑀𝐶| = 𝛽. Zatem |∡𝐾𝐴𝐶| = 𝛽= |∡𝐶𝐷𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.<br>To należało wykazać.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Ponieważ (CD) jest wysokością trójkąta równoramiennego (ABC), jest także symetralną podstawy (AB). Zatem</p>\n<p>|AD|=|DB| oraz CD⊥ AB.</p>\n<p>Prosta (p) jest prostopadła do (BC), więc (∠KLB=90^°). Ponadto (∠KDB=90^°). Punkty (D,B,L,K) leżą więc na jednym okręgu - przeciwległe kąty czworokąta (DBLK) mają sumę (180^°).<br>Rysunek pomocniczy do zadania 5<br>Kąty wpisane (∠KDL) i (∠KBL) są oparte na tym samym łuku (KL), zatem</p>\n<p>|∠ KDL|=|∠ KBL|.</p>\n<p>W trójkącie równoramiennym (ABC) kąty przy podstawie są równe:</p>\n<p>|∠ CAB|=|∠ ABC|.</p>\n<p>Ponieważ (A,K,L) są współliniowe, a (B,L,C) są współliniowe, mamy</p>\n<p>|∠ CAK|=|∠ CAB|=|∠ ABC|=|∠ KBL|.</p>\n<p>Łącząc otrzymane równości, dostajemy</p>\n<p>|∠ CAK|=|∠ KDL| . Teza została wykazana.</p>"}]}