{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nNieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 14. Suma sześcianów wszystkich wyrazów\nciągu (𝑎𝑛) jest równa 392.\nWyznacz wzór ogólny na 𝒏-ty wyraz ciągu (𝒂𝒏). Zapisz obliczenia.\n7.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nNieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 14. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa 392. Wyznacz wzór ogólny na n - ty wyraz ciągu (a_n). Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎𝑛= 7 ⋅(1\n2)\n𝑛-1\n,\n𝑎𝑛= 14 ⋅(1\n2)\n𝑛\n3 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑞 (lub 𝑎1).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞 (lub 𝑎1), np.\n[14 ⋅ (1 - 𝑞)]3\n1 - 𝑞3\n= 392,\n𝑎1\n3\n1 - (1 - 𝑎1\n14)\n3 = 392.\n1 pkt - wyznaczenie 𝑎1 w zależności od 𝑞: 𝑎1 = 14(1 -𝑞)\nALBO\n- zapisanie dwóch równań z dwiema niewiadomymi 𝑎1 oraz 𝑞, które wynikają\nz warunków dotyczących sumy wszystkich wyrazów ciągu i sumy sześcianów\nwszystkich wyrazów ciągu, np. 𝑎1\n1 - 𝑞= 14 oraz\n𝑎1\n3\n1 - 𝑞3 = 392.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełnia w rozwiązaniu błędy rachunkowe, w wyniku których otrzymuje\nrównanie z jedną niewiadomą 𝑞, które nie ma rozwiązań spełniających warunek |𝑞| < 1,\nto może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zapisuje sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego\njako sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu i na tym opiera swoje rozwiązanie, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego (𝑎𝑛). Ponieważ suma wszystkich wyrazów\ntego ciągu istnieje i jest równa 14, więc\n𝑎1\n1 -𝑞= 14 ∧ |𝑞| < 1\nStąd 𝑎1 = 14(1 -𝑞), gdzie |𝑞| < 1.\nCiąg sześcianów wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie\nrównym 𝑎1\n3 i ilorazie 𝑞3. Ponieważ |𝑞| < 1, więc |𝑞3| < 1. Zatem z warunków zadania\notrzymujemy\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎1\n3\n1 -𝑞3 = 392\nStąd i z zależności 𝑎1 = 14(1 -𝑞) otrzymujemy dalej:\n143 ⋅(1 -𝑞)3\n1 -𝑞3\n= 392\n7(1 -𝑞)3\n(1 -𝑞)(1 + 𝑞+ 𝑞2) = 1\n7(1 -𝑞)2 = 1 + 𝑞+ 𝑞2 ∧ 𝑞≠1\n6𝑞2 -15𝑞+ 6 = 0 ∧ 𝑞≠1\n𝑞= 1\n2 ∨ 𝑞= 2\nPo uwzględnieniu warunku |𝑞| < 1 otrzymujemy 𝑞= 1\n2 . Zatem 𝑎1 = 14(1 -𝑞) = 7.\nWzór ogólny na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) ma postać 𝑎𝑛= 7 ⋅(1\n2)\n𝑛-1","solution":"Niech (a_1) będzie pierwszym wyrazem, a (q) ilorazem ciągu. Ponieważ suma szeregu geometrycznego jest skończona, (|q|<1), a z warunku sumy:\n\n(a_1)/(1-q)=14, a_1=14(1-q).\n\nSześciany kolejnych wyrazów również tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszy wyraz wynosi (a_1^3), a iloraz (q^3). Zatem\n\n(a_1^3)/(1-q^3)=392.\n\nPodstawiamy (a_1=14(1-q)) i korzystamy z (1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)):\n\n(14^3(1-q)^3)/((1-q)(1+q+q^2))=392.\n\n7(1-q)^2=1+q+q^2,\n\n7-14q+7q^2=1+q+q^2,\n\n6q^2-15q+6=0,\n\n2q^2-5q+2=0.\n\nq=(5-3)/(4)=(1)/(2) lub q=(5+3)/(4)=2.\n\nWarunek (|q|<1) spełnia tylko (q=(1)/(2)). Wtedy\n\na_1=14 (1-(1)/(2) )=7.\n\nOdpowiedź: a_n=7 ((1)/(2) )^n-1 .","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-4)
Nieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 14. Suma sześcianów wszystkich wyrazów
ciągu (𝑎𝑛) jest równa 392.
Wyznacz wzór ogólny na 𝒏-ty wyraz ciągu (𝒂𝒏). Zapisz obliczenia.
7.
0-1-
2-3-4

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Nieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 14. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa 392. Wyznacz wzór ogólny na n - ty wyraz ciągu (a_n). Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi
geometryczne i oblicza ich sumę.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎𝑛= 7 ⋅(1
2)
𝑛-1
,
𝑎𝑛= 14 ⋅(1
2)
𝑛
3 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑞 (lub 𝑎1).
2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞 (lub 𝑎1), np.
[14 ⋅ (1 - 𝑞)]3
1 - 𝑞3
= 392,
𝑎1
3
1 - (1 - 𝑎1
14)
3 = 392.
1 pkt - wyznaczenie 𝑎1 w zależności od 𝑞: 𝑎1 = 14(1 -𝑞)
ALBO

\n\n

z warunków dotyczących sumy wszystkich wyrazów ciągu i sumy sześcianów
wszystkich wyrazów ciągu, np. 𝑎1
1 - 𝑞= 14 oraz
𝑎1
3
1 - 𝑞3 = 392.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający popełnia w rozwiązaniu błędy rachunkowe, w wyniku których otrzymuje
\n

równanie z jedną niewiadomą 𝑞, które nie ma rozwiązań spełniających warunek |𝑞| < 1,
to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisuje sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego
\n

jako sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu i na tym opiera swoje rozwiązanie, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego (𝑎𝑛). Ponieważ suma wszystkich wyrazów
tego ciągu istnieje i jest równa 14, więc
𝑎1
1 -𝑞= 14 ∧ |𝑞| < 1
Stąd 𝑎1 = 14(1 -𝑞), gdzie |𝑞| < 1.
Ciąg sześcianów wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie
równym 𝑎1
3 i ilorazie 𝑞3. Ponieważ |𝑞| < 1, więc |𝑞3| < 1. Zatem z warunków zadania
otrzymujemy
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑎1
3
1 -𝑞3 = 392
Stąd i z zależności 𝑎1 = 14(1 -𝑞) otrzymujemy dalej:
143 ⋅(1 -𝑞)3
1 -𝑞3
= 392
7(1 -𝑞)3
(1 -𝑞)(1 + 𝑞+ 𝑞2) = 1
7(1 -𝑞)2 = 1 + 𝑞+ 𝑞2 ∧ 𝑞≠1
6𝑞2 -15𝑞+ 6 = 0 ∧ 𝑞≠1
𝑞= 1
2 ∨ 𝑞= 2
Po uwzględnieniu warunku |𝑞| < 1 otrzymujemy 𝑞= 1
2 . Zatem 𝑎1 = 14(1 -𝑞) = 7.
Wzór ogólny na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) ma postać 𝑎𝑛= 7 ⋅(1
2)
𝑛-1

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Niech (a_1) będzie pierwszym wyrazem, a (q) ilorazem ciągu. Ponieważ suma szeregu geometrycznego jest skończona, (|q|<1), a z warunku sumy:

\n

(a_1)/(1-q)=14, a_1=14(1-q).

\n

Sześciany kolejnych wyrazów również tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszy wyraz wynosi (a_1^3), a iloraz (q^3). Zatem

\n

(a_1^3)/(1-q^3)=392.

\n

Podstawiamy (a_1=14(1-q)) i korzystamy z (1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)):

\n

(14^3(1-q)^3)/((1-q)(1+q+q^2))=392.

\n

7(1-q)^2=1+q+q^2,

\n

7-14q+7q^2=1+q+q^2,

\n

6q^2-15q+6=0,

\n

2q^2-5q+2=0.

\n

q=(5-3)/(4)=(1)/(2) lub q=(5+3)/(4)=2.

\n

Warunek (|q|<1) spełnia tylko (q=(1)/(2)). Wtedy

\n

a_1=14 (1-(1)/(2) )=7.

\n

Odpowiedź: a_n=7 ((1)/(2) )^n-1 .

"}]}