Zadanie 8. (0-4)
Trzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci
wyraz o 4, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny.
Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o 1, to
otrzymamy nowy ciąg geometryczny.
Oblicz 𝒙, 𝒚 oraz 𝒛. Zapisz obliczenia.
8.
0-1-
2-3-4
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
Trzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o 4, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o 1, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny. Oblicz x, y oraz z. Zapisz obliczenia.
Zadanie 8. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę
𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego;
VI.6) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę
𝑛 początkowych wyrazów ciągu
geometrycznego.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ).
3 pkt - obliczenie 𝑟: 𝑟= 2 oraz 𝑟= 2
3 (dla sposobu I)
ALBO
(5𝑥 + 1
2
)
2
= 𝑥[2 ⋅(5𝑥 + 1
2
) + 4 -𝑥],
𝑦2 = (2𝑦-8𝑦 + 21
5
5
),
(
𝑧 - 5
4 + 𝑧 - 4
2
)
2
= 𝑧 - 5
4
⋅𝑧 (dla sposobu II),
ALBO
9 oraz 𝑥= 1)
(dla sposobu III).
2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. 𝑟2 = 4(𝑟2 -2𝑟+ 1)
(dla sposobu I)
ALBO
𝑧, lub 𝑧, 𝑥), np.:
𝑦2 = 𝑥(2𝑦+ 4 -𝑥) oraz (𝑦-1)2 = 𝑥(2𝑦-𝑥-1),
𝑦2 = (2𝑦-𝑧+ 4)𝑧 oraz (𝑦-1)2 = (2𝑦-𝑧+ 4)(𝑧-5),
(𝑥 + 𝑧 - 4
2
)
2
= 𝑥𝑧 oraz (𝑥 + 𝑧 - 4
2
-1)
2
= 𝑥(𝑧-5) (dla sposobu II),
ALBO
1
2𝑞 - 5 =
4
(𝑞 - 1)2 (dla sposobu III).
1 pkt - zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których
jedną jest 𝑟), np.
(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4) oraz (𝑥+ 𝑟-1)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4 -5)
(dla sposobu I)
ALBO
ALBO
\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧 oraz 𝑦= 𝑥 + 𝑧 - 4
2
oraz (𝑦-1)2 = 𝑥⋅(𝑧-5) (dla sposobu II),
ALBO
𝑦2 = 𝑥(2𝑦+ 4 -𝑥), (𝑦-1)2 = (2𝑦-𝑧+ 4) ⋅(𝑧-5) (dla sposobu II),
ALBO
jedną jest 𝑞), np.
𝑥𝑞= 𝑥 + 𝑥𝑞2 - 4
2
oraz (𝑥𝑞-1)2 = 𝑥⋅(𝑥𝑞2 -5) (dla sposobu III),
ALBO
𝑥=
4
(𝑞 - 1)2 (dla sposobu III).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
rozwiązanie.
\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ), i nie odrzuci pozostałych ciągów, to może
otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I (poprzez 𝑟)
Niech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧-4). Wówczas 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz
𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4. Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny, więc korzystamy z własności
ciągu geometrycznego i otrzymujemy:
(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4)
𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 4𝑥
𝑟2 = 4𝑥
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc korzystamy z własności ciągu
geometrycznego i otrzymujemy:
(𝑥+ 𝑟-1)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4 -5)
(𝑥+ 𝑟)2 -2 ⋅(𝑥+ 𝑟) ⋅1 + 12 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟-𝑥
𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 -2𝑥-2𝑟+ 1 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟-𝑥
𝑟2 -2𝑟+ 1 = 𝑥
Stąd z i zależności 𝑟2 = 4𝑥 otrzymujemy:
𝑟2 = 4(𝑟2 -2𝑟+ 1)
0 = 3𝑟2 -8𝑟+ 4
𝑟= 2 ∨ 𝑟= 2
3
Gdy 𝑟= 2, to 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 = 1, 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 3 oraz 𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4 = 9.
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest
arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny, więc trójka liczb
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.
Gdy 𝑟= 2
3 , to 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 = 1
9 , 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 7
9 oraz 𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4 = 49
9 .
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1
9 , 7
9 , 13
9 )
jest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1
9 , -2
9 , 4
liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) także spełnia warunki zadania.
Ostatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ).
Sposób Ia (poprzez 𝑟)
Niech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧-4). Wówczas 𝑥= 𝑦-𝑟 oraz
𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4. Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny, więc korzystamy z własności
ciągu geometrycznego i otrzymujemy:
𝑦2 = (𝑦-𝑟)(𝑦+ 𝑟+ 4)
𝑦2 = 𝑦2 -𝑟2 + 4(𝑦-𝑟)
𝑟2 + 4𝑟= 4𝑦
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc ciąg (𝑦-𝑟, 𝑦-1, 𝑦+ 𝑟-1)
jest geometryczny. Korzystamy z własności ciągu geometrycznego i otrzymujemy:
(𝑦-1)2 = (𝑦-𝑟)(𝑦+ 𝑟-1)
𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑦2 -𝑟2 -(𝑦-𝑟)
𝑟2 -𝑟+ 1 = 𝑦
Stąd z i zależności 𝑟2 + 4𝑟= 4𝑦 otrzymujemy:
𝑟2 + 4𝑟= 4(𝑟2 -𝑟+ 1)
0 = 3𝑟2 -8𝑟+ 4
𝑟= 2 ∨ 𝑟= 2
3
Gdy 𝑟= 2, to 𝑦= 𝑟2 -𝑟+ 1 = 3, 𝑥= 𝑦-𝑟= 1 oraz 𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4 = 9.
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest
arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny, więc trójka liczb
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.
Gdy 𝑟= 2
3 , to 𝑦= 𝑟2 -𝑟+ 1 = 7
9 , 𝑥= 𝑦-𝑟= 1
9 oraz 𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4 = 49
9 . Ponieważ
ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1
9 , 7
9 , 13
9 ) jest
arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1
9 , -2
9 , 4
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) także spełnia warunki zadania.
Ostatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ).
Sposób II
Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy
𝑦2 = 𝑥⋅𝑧
Z własności ciągu arytmetycznego i warunków zadania otrzymujemy
𝑦= 𝑥+ 𝑧-4
2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc
(𝑦-1)2 = 𝑥⋅(𝑧-5)
Stąd i ze związku 𝑦2 = 𝑥⋅𝑧 otrzymujemy:
(𝑦-1)2 = 𝑥𝑧-5𝑥
𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑦2 -5𝑥
𝑦= 5𝑥+ 1
2
Ponieważ 𝑦= 𝑥 + 𝑧 - 4
2
oraz 𝑦= 5𝑥 + 1
2
, więc:
𝑥+ 𝑧-4
2
= 5𝑥+ 1
2
𝑧= 4𝑥+ 5
Ze związków 𝑦2 = 𝑥⋅𝑧, 𝑦= 5𝑥 + 1
2
oraz 𝑧= 4𝑥+ 5 otrzymujemy:
(5𝑥+ 1
2
)
2
= 𝑥(4𝑥+ 5)
25𝑥2 + 10𝑥+ 1 = 16𝑥2 + 20𝑥
9𝑥2 -10𝑥+ 1 = 0
𝑥= 1 ∨ 𝑥= 1
9
Dla 𝑥= 1 otrzymujemy 𝑦= 3 i 𝑧= 9. Wówczas ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest
geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest arytmetyczny, a ciąg
(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny.
To oznacza, że trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.
Dla 𝑥= 1
9 otrzymujemy 𝑦= 7
9 i 𝑧= 49
9 . Wówczas ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) jest
geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1
9 , 7
9 , 13
9 ) jest arytmetyczny, a ciąg
(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1
9 , -2
9 , 4
Zatem trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) także spełnia warunki zadania.
Ostatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ).
Sposób III (poprzez 𝑞)
Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧). Wówczas 𝑦= 𝑥𝑞 oraz 𝑧= 𝑥𝑞2.
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) jest arytmetyczny, więc korzystamy z własności ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy:
𝑥𝑞= 𝑥+ 𝑥𝑞2 -4
2
2𝑥𝑞= 𝑥+ 𝑥𝑞2 -4
4 = 𝑥(𝑞2 -2𝑞+ 1)
Dla 𝑞= 1 równanie 4 = 𝑥(𝑞2 -2𝑞+ 1) jest sprzeczne, więc
𝑥=
4
(𝑞-1)2 ∧ 𝑞≠1
Ponieważ (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc:
(𝑥𝑞-1)2 = 𝑥⋅(𝑥𝑞2 -5)
𝑥2𝑞2 -2𝑥𝑞+ 1 = 𝑥2𝑞2 -5𝑥
1 = (2𝑞-5)𝑥
Dla 𝑞= 5
2 równanie 1 = (2𝑞-5)𝑥 jest sprzeczne, więc
𝑥=
1
2𝑞-5 ∧ 𝑞≠5
2
Zatem 𝑞≠1 i 𝑞≠5
2 oraz:
1
2𝑞-5 =
4
(𝑞-1)2
(𝑞-1)2 = 4(2𝑞-5)
𝑞2 -10𝑞+ 21 = 0
𝑞= 3 ∨ 𝑞= 7
Gdy 𝑞= 3, to (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9). Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny,
ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest
geometryczny, więc trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.
Gdy 𝑞= 7, to (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ). Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) jest
geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1
9 , 7
9 , 13
9 ) jest arytmetyczny, a ciąg
(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1
9 , -2
9 , 4
9 , 7
9 , 49
9 )
także spełnia warunki zadania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ostatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ).
Niech (r) będzie różnicą ciągu arytmetycznego ((x,y,z-4)). Wtedy
\nx=y-r, z-4=y+r, z=y+r+4.
\nPonieważ ((x,y,z)) jest ciągiem geometrycznym:
\ny^2=xz=(y-r)(y+r+4).
\nPo rozwinięciu otrzymujemy
\ny^2=y^2+4y-r^2-4r, y=(r^2+4r)/(4).
\nCiąg ((x,y-1,z-5)) również jest geometryczny, więc
\n(y-1)^2=x(z-5)=(y-r)(y+r-1).
\nPo uproszczeniu:
\ny^2-2y+1=y^2-y-r^2+r, y=1+r^2-r.
\nPorównujemy oba wyrażenia opisujące (y):
\n(r^2+4r)/(4)=1+r^2-r,
\n3r^2-8r+4=0,
\nr=(2)/(3) lub r=2.
\nDla (r=(2)/(3)):
\ny=(7)/(9), x=y-r=(1)/(9), z=y+r+4=(49)/(9).
\nDla (r=2):
\ny=3, x=1, z=9.
\nOdpowiedź: ((x,y,z)= ((1)/(9),(7)/(9),(49)/(9) )) lub ((1,3,9)).
"}]}